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高中数学北师大版选修1-1课件:抛物线及其标准方程_图文

2.1 抛物线及其标准方程 抛物线的定义 如右图,我们在黑板上画一条直线 EF, 然后取一个三角板, 将一条拉链 AB 固定在三 角板的一条直角边上,并将拉链下边一半的 一端固定在 C 点,将三角板的另一条直角边 贴在直线 EF 上,在拉锁 D 处放置一支粉笔, 上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线. 问题 1:曲线上点 D 到直线 EF 的距离是什么? 提示:线段 DA 的长. 问题 2:曲线上点 D 到定点 C 的距离是什么? 提示:线段 DC 的长. 问题 3:曲线上的点到直线 EF 和定点 C 之间的距离有何关 系? 提示:相等. 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F) 定义 距离相等 的点的集合叫作抛物线 定点F __________ 定直线l __________ 焦点 准线 抛物线的标准方程 已知某定点和定直线 l(定点不在定直线 l 上),且定点到 l 的 距离为 6,曲线上的点到定点距离与到定直线 l 的距离相等.在 推导曲线的方程的过程中,由建系的不同,有以下点和直线. A(3,0),B(-3,0),C(0,3),D(0,-3); l1:x=-3,l2:x=3,l3:y=-3,l4:y=3. 问题 1: 到定点 A 和定直线 l1 距离相等的点的轨迹方程是什 么?并指出曲线开口方向. 提示:y2=12x. 向右. 问题 2: 到定点 B 和定直线 l2 距离相等的点的轨迹方程是什 么?曲线开口向哪? 提示:y2=-12x. 向左. 问题 3: 到定点 C 和定直线 l3 距离相等的点的轨迹方程是什 么?曲线开口向哪? 提示:x2=12y. 向上. 问题 4: 到定点 D 和定直线 l4 距离相等的点的轨迹方程是什 么?曲线开口向哪? 提示:x2=-12y. 向下. 抛物线的标准方程 图像 标准方程 2 y =2px(p>0) _____________ 焦点坐标 准线方程 ?p ? ? , 0? ?2 ? p x=- 2 p x= 2 2 y =-2px(p>0) _____________ ? p ? ?- ,0? ? 2 ? 图像 2 标准方程 x =2py(p>0) ______________ 2 x =-2py(p>0) _______________ 焦点坐标 准线方程 ? p? ?0, ? 2? ? ? p? ?0,- ? 2? ? p y=- 2 p y= 2 1.平面内与一定点 F 和一定直线 l 距离相等的点的集合是抛 物线,定点 F 不在定直线上,否则点的轨迹是过点 F 垂直于直线 l 的直线. 2.抛物线的标准方程有四种形式,顶点都在坐标原点,焦点 在坐标轴上. 求抛物线的焦点坐标和准线方程 [例 1] 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛 物线开口方向. 1 2 (1)y= x ; 4 (2)x=ay2(a≠0). [思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种 类型,求出 p.再写出焦点坐标和准线方程. 1 2 [精解详析] (1)抛物线 y= x 的标准形式为 x2=4y, 4 ∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是 y=-1.抛物线开口 向上. 1 (2)抛物线方程的标准形式为 y =ax, 2 1 ∴2p= . |a| p 1 ①当 a>0 时, = ,抛物线开口向右, 2 4a ?1 ? ∴焦点坐标是?4a,0?,准线方程是 ? ? 1 x=- ; 4a p 1 ②当 a<0 时, =- ,抛物线开口向左, 2 4a ?1 ? ∴焦点坐标是?4a,0?,准线方程是 ? ? 1 x=- . 4a 2 综合上述,当 a≠0 时,抛物线 x=ay ?1 ? 的焦点坐标为?4a,0?, ? ? 1 准线方程为 x=- .a>0 时,开口向右;a<0 时,开口向左. 4a [一点通] 1.先将抛物线方程化成标准形式,再判断开口方向、焦点位 置,准确地求出 p 值. 2.抛物线 y 2 ?a ? =2ax(a≠0)的焦点坐标?2,0?,准线 ? ? a x=- ,不 2 必讨论 a 的正负. 1.抛物线 x2=8y 的焦点坐标是 A.(0,2) C.(4,0) B.(0,-2) D.(-4,0) ( ) 解析:由抛物线的方程为 x2=8y 知,抛物线的焦点在 y 轴上, p 所以 2p=8, =2,所以焦点坐标为(0,2),故选 A. 2 答案:A 2 . ( 北京高考 ) 若抛物线 y2 = 2px 的焦点坐标为 (1,0) ,则 p = ________,准线方程为________. 解析:因为抛物线 y =2px 2 ?p ? 的焦点坐标为?2,0?,准线方程为 ? ? x= p - ,抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(1,0),所以 p=2,准线方程为 2 x=-1. 答案:2 x=-1 求抛物线的标准方程 [例 2] 求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上; (3)已知抛物线焦点在 y 轴上,焦点到准线的距离为 3. [思路点拨] 确定 p 的值和抛物线的开口方向,写出标准方程. [精解详析] (1)设所求的抛物线方程为 y2=-2p1x(p1>0)或 x2 =2p2y(p2>0),∵过点(-3,2), ∴4=-2p1(-3)或 9=2p2· 2. 2 9 ∴p1= 或 p2= . 3 4 4 9 2 故所求的抛物线方程为 y =- x 或 x = y. 3 2 2 (2)令 x=0 得 y=-2,令 y=0 得 x=4, ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). p 当焦点为(4,0)时, =4, 2 ∴p=8,此时抛物线方程 y2=16x; p 当焦点为(0,-2)时, =|-2|, 2 ∴p=4,

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