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天津市高二数学必修5导学案:2.3 等差数列的前n项和(1)

二、新课导学 ◆ 学习探究 探究:等差数列的前 n 项和公式 问题: 1. 计算 1+2+…+100=? 2. 如何求 1+2+…+n=? 新知:数列 {an } 的前 n 项的和: 一般地,称 的和,用 Sn 表示,即 Sn ? 反思: ① 如何求首项为 a1 ,第 n 项为 an 的等差数列 {an } 的前 n 项的和? ② 如何求首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 {an } 的前 n 项的和? 试试:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn . ⑴ a1 ? ?4,a8 ? ?18,n ? 8; ⑵ a1 ? 14.5,d ? 0.7,n ? 15 . 小结: 1. 用 Sn ? . n(a1 ? an ) ,必须具备三个条件: 2 为数列 {an } 的前 n 项 2. 用 Sn ? na1 ? . ◆ 典型例题 例1 n(n ? 1)d ,必须已知三个条件: 2 (1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求 a8 和 d ; (2)等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是 54? 例 2 已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220. 由这些 条件能确定这个等差数列的前 n 项和的公式吗? 变式:等差数列 {an } 中,已知 a10 ? 30 , a20 ? 50 , Sn ? 242 ,求 n. 小结:等差数列前 n 项和公式就是一个关于 an、a1、n或者a1、n、d 的方程,已 知几个量,通过解方程,得出其余的未知量. ◆ 学习探究 问题:如果一个数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? pn 2 ? qn ? r ,其中 p、q、r 为常 数,且 p ? 0 ,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别 是多少? 例 1 已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n 2 ? n ,求这个数列的通项公式. 这个数列是 等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 变式:已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n 2 ? n ? 3 ,求这个数列的通项公式 小结: 若数列 {an } 的前 n 项的和 Sn ? An 2 ? Bn(A ? 0 ,A、B 是与 n 无关的常数) , 1 4 2 3 1 2 则数列 {an } 是等差数列. ◆ 动手试试 练 1(1)已知 a1 ? 3 , a 50 ? 101 ,求 S 50 ; (2)已知 a1 ? 3 , d ? 1 ,求 S10 . 2 (3)已知 a 7 ? 12 ,求 S13 . 练 2 一个凸多边形内角成等差数列,其中最小的内角为 120°,公差为 5°,那么 这个多边形的边数 n 为( A. 12 B. 16 ). C. 9 D. 16 或 9 ? ? 练 3 在等差数列 a n 中, 已知 a 6 ? a9 ? a12 ? a15 ? 34 ,求前 20 项之和. 练 4 求集合 M ? ?m | m ? 7n, n ? N * 且m ? 100?的元素个 数,并求这些元素的和 练 5 已知等差数列{an}前四项和为 21,最后四项的和为 67,所有项的和为 286, 求项数 n. ?S ? 练 6 已知数列 ? n ? 的前 n 项和为 Tn 且 ?n? 1 Sn ?n 2 ? n ,求 Tn 2 三、学习小结 1. 等差数列前 n 项和公式的两种形式; 2. 两个公式适用条件,并能灵活运用; 3. 等差数列中的“知三求二”问题,即:已知等差数列之 a1 , an , q, n, Sn 五个量中 任意的三个,列方程组可以求出其余的两个. ◆ 当堂检测 3. 在等差数列 {an } 中, a1 ? 2 , d ? ?1 ,则 S8 ? 4. 在等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , a5 ? 33 ,则 S6 ? . . 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n+5,则 a6+a7+a8=______. 6. 数列{ an }是等差数列,公差为 3, an =11,前 n 和 Sn =14,求 n 和 a3 .

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