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河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试(数学文)word版..

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试卷类型:B

石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷 市高中毕业班第一次模拟考试 2010 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷 数 学( 文)

说明: 1.本试卷共 4 页,包括三道大题.22 道小题,共 150 分.其中第一道大题为选择题. 2.所有答案请在答题卡上作答,在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 3.做选择题时,如需改动,请用橡皮将原选答案擦干净,再选涂其他答案. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率 是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 P n (k)=C n p k (1-p)
k n?k

(k=0,l,2,…,n)

球的表面积公式 S=4 π R 2 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V=

4 π R 3 其中 R 表示球的半径 3

一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={1,2}, B={1,2,3}, C={2,3, 4},则(A∩B)∪C= A.{1,2} B.{2,3, 4} C.{1,2,3, 4} D.{1,2,3} 2.下列函数中,周期为 π 的是 A.y=sin

x 2 x C.y=cos 4

B.y=tan2x D. y=sin2x

3.已知函数 f(x)的反函数 f ?1 (x)的图象经过 A(1,O)点,则函数 y= f(x-1)的图象必过点 A.(1,1) B.(-l,1) C.(-1,2) D. (0,1) 4.动点 P 到 A(0,2)点的距离比它到直线 l:y=-4 的距离小 2,则动点 P 的轨迹方程为 A.y 2 =4x B.x 2 =8y
10

C.x 2 =4y

D. y 2 =8x
10

5.设(1-2x) =a 0 + a 1 x+ a 2 x 2 +…+ a 10 x ,则 a 0 + a 1 的值为 A.10 8.-24 C.21 D.-19 6.若定义在[-1,1]上的函数 f(x)是偶函数,且它在[0, 1]上的图象如图所示,则不等式 xf(x)<0 的解集为
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1 1 1 , ) B.(- ,0) 2 2 2 1 1 1 1 ) D.(- ,0)∪( ,1) C. (-1,- )∪(0, 2 2 2 2
A.(7.过直线 y=x 上一点 P 引圆 x 2 +y 2 -6x+7=0 的切线,则切线长的最小值为

A.

2 2

B.

2

C.

3 2 2

D.

10 2

8.如图,长方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,AB=AA 1 =2,AD=1,E 为 CC 1 的中点,则 A 1 E 与 BD 所 成角的余弦值为

A.

3 5 3 4

B.

7 7 30 10

C.

D.

9.等腰直角三角形 ABC 中,A=

π
2

,AB=AC=2,M 是 BC 的中点,P 点在 ? ABC 内部或其

边界上运动,则即 BP · AM 的取值范围是 A.[-l,0] B.[-2,0] C.[-2,-1] D.[1,2]

10.函数 f(x)=x 3 +2x f ′ (1) , f ′ (x)为 f(x)的导函数,令 a=-

1 ,b=log 3 2,则下列关系正 2

确的是() A.f(a) > f(b) B.f(|a|) < f(b) C.f(a) = f(b) D.f(a) < f(b) 11.如图,棋盘式街道中,某人从 A 地出发到达 B 地.若限制行进的方向只能向右或向上, 则不同的走法数为

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A.

1 2

B.

3 7

C.

3 5

D.

2 5

12.椭圆

x2 y2 + =1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为其右焦点,若 AF⊥BF, a 2 b2

设∠ABF= α ,且 α ∈[

π

12 4

,

π

],则该椭圆离心率的取值范围为

A.[

2 2 3 ,1 ) B.[ , ] 2 2 2 1 ? x 的解集为 x

C.[

6 ,1) 3

D.[

2 6 , ] 2 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分;共 20 分. 13.不等式

14.已知数列{a n }为等差数列,a 1 +a 3 +a 5 =15,a 4 =7,则 S 6 的值为 15.奇函数 f(x)的图象按向量 a=(a=(

π
12

,1)平移得到函数 y=cos(2x)

π
3

)+1 的图象,则函

数 f(x)的解析式为 16.一个正三棱锥内接于球 O,且其底面的三个顶点恰好在同一个大圆上,若一个动点从三 棱锥的一个顶点出发沿球面运动,经过其余三点后返回,经过的最短距离 7 π ,则球的表面 积为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文宇说明,证明过程或演算步骤 r 17.(本小题满分 l0 分) 如图,已知平面四边形 ABCD 中, ? BCD 为正三角形,AB=AD=1,∠BAD= θ ,记四边 形 ABCD 的面积为 S.

(I)将 S 表示为 θ 的函数; (Ⅱ)求 S 的最大值及此时 θ 的大小.

18. (本小题满分 12 分)
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已知公比 q 为正数的等比数列{ an }的前 n 项和为 sn ,且 5s2 = 4 s4 . (I)求 q 的值; (Ⅱ)若 bn = q + S n ?1 , n ≥ 2, n ∈ N 式.

(

?

) 且数列{ b }也为等比数列,求数列{ b
n

n

}的通过项公

19.(本小题满分 12 分) 如图,平行六面体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD= 其中 AC 与 BD 交于点 G, A1 点在面 ABCD 上的射影 0 恰好为线段 AD 的中点。

π
3

(I)求点 G 到平面 ADD1 A1 距离; (Ⅱ)若 AA 1 = 2 ,求二面角 A 1 -BD-A 的大小.

20.(本小题满分 l2 分) 为提高某篮球运动员的投篮水平,教练对其平时训练的表现作以详细的数据记录:每 次投中记 l 分,投不中记-1 分,统计平时的数据得该运动员每次投篮命中的概率为

2 , 3

若在某场训练中,该运动员前 n 次投篮所得总分司为 sn ,且每次投篮是否命中相互之间没 有影响. (I)求该篮球运动员前三次投篮所得总分为 1 的概率; (Ⅱ)求出现 S8 = 2 且 Si ≥ 0(i = 1,2,3) 的概率。
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21.(本小题满分 l2 分) 已知函数 f(x)=x 3 -ax 2 -1(a≠0). (I)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 a>0 时,若过原点(0,0)与函数 f(x)的图象相切的直线恰有三条,求实数 a 的取 值范围.

22.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 如图,已知双曲线 2 ? 2 = 1 (b>a>O)且 a ∈ [1,2],它的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,左、 a b
右顶点分别为 A、B.过 F2 作圆 x 2 + y 2 = a 2 的切线,切点为 T,交双曲线于 P,Q 两点.

(I) (II)

求证:直线 PQ 与双曲线的一条渐近线垂直; 若 M 为 PF2 的中点, 为坐标原点, 0 ∣OM∣-∣MT∣=1, ∣PQ∣= λ ∣AB∣, 求实数 λ 的取值范围.

2010 年石家庄市第一次模拟考试 文科数学答 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分 (A 卷答案):1-5 CBADB 6-10 CBBDA 11-12 DB (B 卷答案):1-5 CDABD 6-10 CDDBA 11-12 BD 二、填空题: 本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分

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13.

( ?∞, ?1) ∪ ( 0,1)

14.

36

15.

f ( x) = sin 2 x

16.

36π

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解:(Ⅰ)在 ?ABD 中,由余弦定理得 BD = 2 ? 2 cos θ ,
2

又S

= S ?ABD + S ?BCD = sin θ + (2 ? 2 cos θ ) sin
π 3 3 2
, θ ∈ ( 0, π)

1 2

1 2

π …………………………3 分 3

所以 S = sin(θ ? ) +

………………………………………5 分

(Ⅱ)∵ θ ∈ (0, π )

∴?

π π 2π <θ ? < ,……………………………….7 分 3 3 3
5π 3 时,S取得最大值,最大值为 1 + ….10 分 6 2
, 4 S 4 = 16a1 ,

所以当 θ ?

π
3

=

π
2

时,即θ =

18. 解: (Ⅰ)若 q = 1 ,

则 5S 2 = 10a1

∵ a1 ≠ 0, ∴ 5S 2 ≠ 4 S 4 ,不合题意. …………………………………………………3 分
若 q ≠ 1 ,由 5S 2 = 4 S 4 得 5 × ∴q =

a1 (1 ? q 2 ) a (1 ? q 4 ) 1 2 = 4× 1 ,∴ q = , 又 q > 0, 1? q 1? q 4

1 . ……………………………………………………………………………6 分 2 1 a1[1 ? ( ) n ?1 ] 1 1 1 2 (Ⅱ) bn = + = + 2a1 ? a1 ? ( ) n ?2 ,……………………………..8 分 1 2 2 2 1? 2 1 1 由 {bn } 为等比数列知: + 2a1 = 0 ,得 a1 = ? ,………………………………10 分 2 4 1 1 n?2 1 ∴ bn = ? ( ) = n . ……………………………………………………………12 分 4 2 2 19. 解: Ⅰ)连结 BO ,取 DO 中点 H ,连结 GH , (
因为 A1O ⊥ 平面 AC ,所以平面 AD1 ⊥ 平面 AC ,………………………….2 分 又底面为菱形, O 为 AD 中点, 所以 BO ⊥ 平面 AD1 , 因为 GH ∥ BO , 所以 GH ⊥ 平面 AD1 ,………………….4 分

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又 GH =

1 3 BD = , 2 2

所以点 G 到平面 ADD1 A1 的距离为

3 ………………………………….6 分 2

(Ⅱ)方法一:做 OM ⊥ BD 于 M ,连结 A1M ,则

∠A1MO 为所求二面角的平面角…………………..8 分
在直角三角形 AOA1 中, A1O = 1 , 由已知可得,

OM =

1 3 AG = ,………………………………10 分 2 2 1 2 3 = , 3 3 2 2 3 . …………………………………………12 分 3

则 tan ∠A1MO =

所以二面角 A1 ? BD ? A 的大小为 arctan

方法二:分别以 OA, OB, OA1 所在直线为 x, y , z 轴,建立如图所示的坐标系, 因为 AA1 = 2 ,所以 A1O =1, 面 ABD 的一个法向量为 n = (0, 0,1) ,…..8 分 设面 A1 BD 一个法向量为 m = ( x, y , z ) ,

A1 D = (?1, 0, ?1) , A1 B = (0, 3, ?1)
?m ? A1 D = 0; ?? x ? z = 0; ? ? ?? ,取 y = 3, ? ? ?m ? A1 B = 0. ? 3 y ? z = 0. ?
则 m = ( ?3, 3,3) ,………………………………………10 分 所以 cos n, m =

3 21 = 7 21 21 . ……………………………………..12 分 7

所以二面角 A1 ? BD ? A 的大小为 arccos

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20 解: (Ⅰ)该运动员前三次投篮的总分为 1, 说明三次投篮中有两次投中一次未投中,…………………………………………….2 分 所以所求概率为 P = C3 ?
2

? 2? ?1? 4 ? ? ? = . …………………………………………………5 分 ? 3? ?3? 9

2

(Ⅱ)若 S 8 = 2 ,说明前八次投篮中,五次投中三次未投中,………………………6 分 又 S i ≥ 0(i = 1,2,3) ,所以包含两种情况. 第一种情况:第一次投中,第二次未投中,第三次投中,后五次中任意两次未投中. 此时的概率为 P = ? 1

? 2 ?? 1 ?? 2 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? ?1? 2? 2? ? ? ? ? ? C5 ? ? ? ? = C 5 ? ? × ? ? ……………………8 分 ? 3? ?3? ? 3 ?? 3 ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ?

2

3

5

3

第二种情况:第一次和第二次都投中,后六次中任意三次未投中.此时的概率为

?1? ? 2 ?? 2 ? 3 ? 1 ? ? 2 ? 3? 2 ? P2 = ? ? ? ? C6 ? ? ? ? = C 6 ? ? × ? ? ………………………………………10 分 ? 3? ?3? ? 3 ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ?
所以出现 S8 = 2 且 Si ≥ 0(i = 1, 2, 3) 的概率为:

3

3

5

3

320 320 = . ………………………………………………………….12 分 37 2187 2a 2 21.解(Ⅰ) f ' ( x) = 3 x 2 ? 2ax, 由 3 x ? 2ax = 0 得 x = 0 或 x = ,……………2 分 3 2a 2a 若a > 0, x > 当 , 或 x < 0 时, f ' ( x) > 0, 所以当 a > 0 时, f ( x) 在 (?∞,0), ( ,+∞) 上 3 3 2a 为增函数,在 (0, ) 上为减函数;…………………………………………………………4 分 3 2a 2a 若 a < 0 ,当 x < , 或 x > 0 时, f ' ( x) > 0, 所以当 a < 0 时, f ( x) 在 (?∞, ), (0,+∞) 上 3 3 2a 为增函数; ,在 ( ,0) 上为减函数. ………………………………………………………6 分 3

P = P1 + P2 =

(Ⅱ)依题意设切点为( x 0 , y 0 ) ,则切线方程为 y = (3 x 0 ? 2ax 0 ) x ,
2

∵切点在切线和 y = f (x ) 的图象上,则 y 0 = (3 x 0 ? 2ax 0 ) x 0 , y 0 = x 0 ? ax 0 ? 1 ,
2 3 2

∴ 2 x 0 ? ax 0 + 1 = 0 ,
3 2

由题意知满足条件的切线恰有三条, 则方程 2 x ? ax + 1 = 0 有三个不同的解……………………………………..8 分
3 2

令 g ( x) = 2 x ? ax + 1,
3 2

g ' ( x) = 6 x 2 ? 2ax ,
a , 3
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由 g ' ( x) = 0 得 x = 0 或 x =

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∵ a > 0 ,分析可知 f (x ) 在 ( ?∞,0), ( ,+∞) 上为增函数, 在 (0, ) 上为减函数;…………………………………………………………10 分 又当 x = 0 时, g (x ) 的极大值为 1,恒大于 0,当 x =

a 3

a 3

a a3 时, g (x ) 的极小值为 1 ? , 3 27

∴只需 1 ?

a3 < 0 即可,∴ a > 3. ………………………………………………12 分 27

故 a 的取值范围为(3,+∞). 22. 解: (Ⅰ)双曲线

x2 y2 b ? 2 = 1(b > a > 0) 的渐近线为 y = ± x , 2 a b a

设直线 PQ 的方程为 y = k ( x ? c) ,(不妨设 k < 0 ),由于与圆 x 2 + y 2 = a 2 相切,

a2 a ∴ = a ,即 k = 2 ,直线 PQ 的斜率 k = ? ,……………………….3 分 2 b b k +1 | kc |
2

因为一三象限的渐近线为

b , a

a b ? ? = ?1 .所以直线 PQ 与双曲线的一条渐近线垂直;………………………….5 分 b a

? y = k ( x ? c) ? (Ⅱ) ? x 2 y 2 得 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 + 2a 2 k 2 cx ? a 2 k 2 c 2 ? a 2b 2 = 0 , ? 2 ? 2 =1 b ?a
设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,

? ?2a 2 k 2 c x1 + x2 = 2 ? ? b ? a2k 2 则? , 2 2 2 2 2 ? x x = ?a k c ? a b ? 1 2 b2 ? a 2k 2 ?
所以 | PQ |= 因为 | OM |=

(1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] =

2ab2 (1 + k 2 ) 2ab 2 = 2 ,…………7 分 | b2 ? a2k 2 | b ? a 2

1 1 | PF1 | , | F2 M |= | PF2 | , 2 2 1 | F2 M | ? | OM |= (| PF2 | ? | PF1 |) = a , 2

| OM | ? | MT |= 1 ,代入上式得 | F2 M | ? | MT |= a + 1 ,
又 | F2 M | ? | MT |=| F2T |=

c2 ? a2 = b ,
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所以 b = a + 1 . …………………………………………………………………….9 分 因为 | AB |= 2a , | PQ |=

2ab 2 , b2 ? a 2

λ=

b2 (a + 1) 2 a2 = = + 1 ,…………………………………………………10 分 b2 ? a 2 2 a + 1 2a + 1
t ?1 1 1? 1 ? , t ∈ [3, 5] , λ = ?t + ? 2 ? + 1 ,因为 t + 在 [3,5] 为增函数,所 2 t 4? t ?

令 t = 2a + 1, 则 a =

以 λ ∈ ? , ? . …… 3 5 …………………………………………12 分

?4 9? ? ?

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