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高中数学:1.2.2.1函数的表示法(人教A版必修1)_图文

第1课时

函数的表示法

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1.掌握函数的三种表示法(解析法、图象法、列表法). 2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.

1.本课重点是函数的表示法和求函数的解析式. 2.本课难点是求函数的解析式,作函数的图象.

函数的表示方法 表示法 解析法 图象法 列表法 定义 数学表达式 表示两个变量之间的对应关系 用___________ 图象 表示两个变量之间的对应关系 用_____ 列出表格 来表示两个变量之间的对应关系 通过_________

1.任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表 示吗? 提示:不一定,例如:函数的对应关系是:当 x为有理数时, 函数值等于1;当x为无理数时,函数值等于0.此函数就无法用

图象法表示.
2.判断一个图形是不是函数图象的关键是什么? 提示:考察一个图形是否为函数图象,关键是分析定义域中的 任意一个自变量是否有唯一的一个函数值与之对应 .

3.已知一次函数f(x)=ax+b的图象过点(0,1),(1,3),则f(x)= ___________.
b ?1 , 【解析】因为图象过点(0,1),(1,3),所以 ? ? b ?1 ,所以f(x)=2x+1. 解得 ? ? ?a ? 2, ?a ? b ? 3,

答案:2x+1

4.已知函数f(x+5)=x2,则f(x)=_______. 【解析】设x+5=t,则x=t-5,f(t)=(t-5)2, ∴f(x)=(x-5)2. 答案:(x-5)2

1.函数三种表示方法的优缺点
优 点 一是简明、全面概 括了变量间关系; 二是利用解析式可 求任一函数值 不需计算可以直接 看出与自变量对应 的函数值 能形象直观地表示 函数的变化情况 缺 点 不够形象、直观、而 且并不是所有函数都 有解析式

解析法

列表法

优 点

缺 仅能表示自变量取有 点 限值时的对应关系 缺 只能近似求出自变量的 值所对应的函数值,而 点 且有时误差较大

图象法





2.函数三种表示方法的内在联系 (1)解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自 变量和函数值的对应关系.

(2)在已知函数的解析式研究函数的性质时,可以先由解析式确

定函数的定义域,然后通过取一些有代表性的自变量的值与对
应的函数值列表,描点连线作出函数的图象,利用函数图象形

象直观的优点,能够帮助我们理解概念和有关性质.数形结合是
研究数学的一种重要的数学思想,是解题的一种有效途径.

函数图象作法及简单应用 【技法点拨】

1.描点法作函数图象三步走

2.作函数图象的注意事项 (1)应先确定函数的定义域,在定义域内作图. (2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托 整个图象. (3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的 交点等.要分清这些关键的点是实心的还是空心的.

【典例训练】
1.(2012·许昌高一检测)函数y=
x +x的图象是( x

)

2.作出函数y=x2-2x-2(0≤x≤3)的图象并求其值域.

【解析】1.选D.函数的定义域为{x|x≠0},可排除C;当x=1时,
y=2,可排除B;当x=-1时,y=-2,可排除A.

2.解题流程

定域

函数y=x2-2x-2是一元二次函数,所求函 数的定义域为[0,3],故此函数的图象为 抛物线的一部分

可先利用描点法作出y=x2-2x-2的图象, 然后截出需要的图象,如图所示:

作图

观察

由图像可知,函数的最小值在顶点处取得,此时 x=1,最大值在x=3时取得,当x=1时,y=-3;当x= 3时,y=1

结论

所以函数的值域为[-3,1]

【想一想】解答诸如本题 1 已知图象的选择题常用的解题方法 是什么?以及解答题2时应注意的关键点是什么? 提示: (1) 对于本题 1 常用排除法 . 通过观察图象可以确定图象

的变化趋势,便于数形结合解决问题.利用图象找出关键点,用
排除法选出正确答案,避免“小题大做”.

(2)对于题2特别注意此函数的定义域.

求函数的解析式

【技法点拨】
求函数解析式的四种常用方法 1.待定系数法:当已知函数类型时,常用待定系数法. 2. 代入法:已知 y=f(x) 的解析式,求 y=f(g(x)) 的解析式时, 可直接用新自变量g(x)替换y=f(x)中的x.

3. 换元法 ( 有时可用“配凑法” ) :已知 y=f(g(x)) 的解析式,
求y=f(x)的解析式,可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,

反解出x,然后代入y=f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x).
4.构造方程法:当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为 相反数或者互为倒数关系时,构造方程求解.

【典例训练】

1.已知f(x)=3x+2,则f(x+1)的解析式为______.
2.若f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,则f(x)的

解析式为_______.
3.已知f( x +1)=x+2 x ,求f(x). 【解析】1.(代入法)因为f(x)=3x+2, 所以f(x+1)=3(x+1)+2=3x+5. 答案:f(x+1)=3x+5

2.(待定系数法)由题意,设f(x)=ax+b(a≠0), ∵3f(x+1)-f(x)=2x+9,

∴3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9,
即2ax+3a+2b=2x+9, 由恒等式性质,得 ? ? ∴a=1,b=3, ∴所求函数解析式为f(x)=x+3. 答案:f(x)=x+3
2a ? 2, ?3a ? 2b ? 9,

3.方法一:(换元法)令 x +1=t,则t≥1, x =t-1,x=(t-1)2,

则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,∴f(x)=x2-1(x≥1).
方法二:f( x +1)=x+2 x =( x )2+2 x +1-1

=( x +1)2-1
∴f(x)=x2-1(x≥1).

【想一想】(1)解答题2的关键点是什么?

(2)用换元法求函数解析式应注意什么问题?
提示:(1)解答题2的关键点是设出所求函数解析式利用恒等式 求解. (2) 用换元法求函数解析式时,要注意新元的取值范围,即换 元后的函数的定义域.

函数的实际应用 【技法点拨】 实际问题中的方案设计及最优问题 解答此类问题的数学模型多是二次函数,解题的一般步骤是: (1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义,确定

自变量的取值范围.
(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次

函数的最大值或最小值.

【典例训练】 1.长为4,宽为3的矩形,当长增加x,且宽减少
x 时面积最 2

大,此时x=_____,面积S=_____.
2.某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销 售单价不低于成本单价,又不高于800元.经试销调查,发现

销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数
y=kx+b(k≠0),函数图象如图所示.

根据图象,求一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式;

【解析】1.依题意得:S=(4+x)(3-
1 2 2 2

1 x )=- x2+x+12= 2 2

25 - (x-1)2+25 ,∴当x=1时, Smax= .

答案:1

25 2

2.由图象知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,代
入y=kx+b(k≠0)中, 得?
1 ?400=600k+b, ?k=-, 解得 ? 1 000. ?300=700k+b, ?b=

所以,y=-x+1 000(500≤x≤800).

【规范解答】换元法求解函数解析式
1 x f (1 ? ) ? 【典例】(12分)已知 ,求f(x). x 1? x2

【解题指导】

【规范解答】令 1 ? 1 ? t , ?????????????2分
x

则 x ? 1 , t ? 1① , ?????????????????4分
t ?1
1 t ?1 ∴ f ? t ? ? t ?1 ? 2 . 1 2 t ? 2t 1? ( ) t ?1

?????????????8分

又t2-2t≠0,∴t≠0且t≠2, ∴t≠0,且t≠1,t≠2②, ?????????????10分 ∴f(x)=
x ?1 (x≠0,且x≠1,x≠2).????????12分 2 x ? 2x

【阅卷人点拨】通过阅卷后分析,对解答本题的失分警示和解 题启示总结如下:(注:此处的①②见规范解答过程) 在解答过程中,用换元法求函数的解析式时,若

① 失 分 警 示

忽视新元的范围,即 ①处 x ? 1 ,t≠1中漏掉 t≠1的条件,导致出错,此种情况至多得 10分. 在解答过程中,已知条件的解析式中含分母,要 1 ? 保证解析式有意义,隐含着x≠〒1,即
t ?1

② 〒1,即t≠0,2,若忽视这一隐含条件,在②处 t≠0,且t≠1,t≠2,漏掉t≠0且t≠2,导致出错, 此种情况至多得10分.

t ?1

解 题 启 示

(1)在用换元法求函数解析式时,要注意新元的范围, 即新函数的定义域. (2)解题过程中,注意挖掘题目中的隐含条件,考虑问 题要全面, 化简过程要等价转化.

【规范训练】(12分)用长为l的铁丝弯成下部为矩形,上部为
半圆形的框架,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y

与x的函数关系式,并指出其定义域.
【解题设问】(1)矩形的另一边怎样表示?l ? ? 2x ? ?x ? .
2

两边均大于0. (2)矩形的边长应满足什么关系?___________

【规范答题】由条件知,矩形的底边长为2x,即半圆的半径

为x,则半圆周长为πx,又总长为l,则矩形的另一边的长
为 l ? ? 2x ? ?x ? , ?????????????????4分
?x 2 ? ∴面积为y=2x ? ? ?(2 ? )x 2 ? lx .???7分 2 2 2 因为矩形的边长需满足2x>0且 l ? ? 2 x ? ?x ?>0 , 2 l 解得 0<x< , 2?? 所以定义域为{x|0<x< l }.?????????10分 2?? 2 l ? ? 2x ? ?x ?

∴此框架围成的面积y与x的函数关系式为:

? 2 l y=-(2+ )x +lx,0<x< .???????????12分 2 2??

1.下列各图中,不可能是函数f(x)图象的是(

)

【解析】选C.结合函数的定义知,对A,B,D,定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应,而对 C ,对大于 0 的 x 而言,有两个 不同值与之对应,不符合函数定义,故选C.

2.设函数g(x+2)=2x+3,则g(x)的表达式是g(x)=(

)

(A)2x+1

(B)2x-1

(C)2x-3

(D)2x+7

【 解 析 】 选 B. 设 x+2=t , 则 x=t-2 , g(t)=2(t-2)+3=2t1,g(x)=2x-1. 3.已知f(x)=x2+px+q,满足f(-1)=f(2)=0,则f(1)=______. 【解析】由f(-1)=f(2)=0可解得p=-1,q=-2,

∴f(x)=x2-x-2,于是f(1)=12-1-2=-2.
答案:-2

4.已知f(2x+1)=x2-2x+1,则f(5)=_____.

【 解 析 】 令 2x+1=5 , 则 x=2 , 代 入 已 知 条 件 可 得 f(5)=222〓2+1=1.

答案:1

5.某商场进了10台电脑,每台售价3 000元,试求售出台数x与
收款数 y 之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表

示出来.
【解析】(1)列表法:
x(台) y(元) 1 3 000 2 6 000 3 9 000 4 12 000 5 15 000 6 18 000 7 21 000 8 24 000 9 27 000 10 30 000

(2)图象法,如图所示:

(3)解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,?,10}.


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