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2018届高考数学(理)一轮复习:微专题3 数列的递推关系

微专题 3 数列的递推关系 方法指导· 识技巧 数列的递推关系是指数列的前一项(前几项)与后一项的关系式.递推数列是数列中 的重要内容,通过递推关系观察、探求数列的规律,进而可求出整个数列的通项公式.通过 数列递推关系的学习,可以培养学生的观察、归纳与转化、综合运用知识等能力,因此,数 列的递推关系成为近几年高考与竞赛的热点. 已知数列的递推关系求通项,一般有两种常见思路: (1)算出前几项,再归纳、猜想; (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式. 典型示例·提能力 下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法作一总结. 一、定义法 常见形式: 已知 a1=a,an+1=an+d,① 或 a1=a≠0,an+1=an·q.② (其中,d,q 为常数且 q≠0) 定义法即根据高中所学的两大基本数列: 等差数列与等比数列的基本定义式求解的方法. 已知首项与递推关系,数列的通项即知,在此不作赘述.但这两个基本数列的求通项公 式的方法在后续学习中,在方法上起到了指导作用.即我们下面要介绍的方法. 二、迭代法 常见形式: 已知 a1=a≠0,an+1=an+f(n),③ 或 a1=a≠0,an+1=anf(n),f(n)不恒为零.④ (这里的 f(n)是关于 n 的关系式). 这两个形式的递推关系式, 虽然不是等差数列或等比数列的递推关系式, 但表达方式非 常接近.我们可以利用迭代的方法(也可以分别称为叠加法和叠乘法)来求出通项 an. 如:③a2-a1=f(1). a3-a2=f(2). …… an-an-1=f(n-1)(n≥2,n∈N*). 将以上 n-1 个式子叠加,可得 an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)(n≥2,n∈N*). 这里,我们只需知道数列的首项 a1,求出上述等式右端的和,即可求出数列 an 的通项 公式. 如:④的具体例子: 例1 n 已知数列{an},Sn 是数列的前 n 项和,a2=1,Sn= an,求 Sn. 2 三、构造法 常见形式:已知 a1=a≠0,an+1=pan+q(p,q 为常数,p≠0,p≠1,q≠0)⑤. 1.利用递推式构造法 构造新数列,转化到常用形式①或②,即基本数列定义式. an+1=pan+q. an=pan-1+q(n≥2,n∈N*). 两式相减,得 an+1-an=p(an-an-1)(n≥2,n∈N*). 其实,an+1-an 与 an-an-1 不正是一个数列的前后两项吗?所以,构造一个新的等比数 列{an-an-1},这个数列的首项是 a2-a1,公比是 p.因为各项是差的形式,利用等比数列求 和公式,即可求出通项公式. - (a2-a1)(1-pn 1) 由累加法可得 an=a1+ (n∈N*). 1-p 2.利用不动点构造法 利用函数不动点的方法.an+1=pan+q(p,q 为常数,p≠0,p≠1,q≠0)其实是一个函 q 数关系 y=px+q.利用函数不动点的特点,解方程 f(x)=x,即 px+q=x,解得 x= ,通 1-p 过这个不动点,易构造新的等比数列: q q an+1- =p(an- ) 1-p 1-p q q - an= +(a1- )pn 1 1-p 1-p 3.利用待定系数构造法 若通过观察,对常数 q 适当地拆分,即可以构造新数列,那么也可以用先猜想后待定的 办法确定新数列. q 设递推关系式可化为 an+1-t=p(an-t),可解出 t= . 1-p 以上三种构造法,可以用来解决很多问题. 如:常见形式:an+1=pan+qn(p,q 为常数,p≠0,p≠1,q≠0)⑥ an+1 p an 1 + 可以用方法三中的“利用递推式构造法”,两边同时除以 qn 1,得 n+1= · n+ ,即 q q q q 转化到常见形式⑤来处理. 或者利用待定系数法,但不能把 qn 当成常数进行拆分,需要考虑到与项数的关系:an+ 1 n+1 =p(an-tqn),然后利用同样的方法,解出系数 t= . 1-tq q-p (当然,递推关系的证明题是可以用数学归纳法来证明的) 又如常见形式:an+2=pan+1+qan(p,q 为常数,p≠0,q≠0)⑦ 这是连续三项的递推关系, 利用 an+1 的前后关联性构造新数列, 不妨采用待定系数法. an+2-αan+1=β(an+1-αan), 即 an+2=(α+β)an+1-αβan, 这时,我们只需令 α+β=p,-αβ=q, 不难解出 α,β,构造出新数列. 例2 已知数列{an},a1=2,an+1= 2an+6 ,求数列{an}的通项公式. an+1 四、换元法 例3 已知数列{an},a1= 2,an= 2+an-1(n≥2,n∈N*),求数列{an}的通项公式. 五、周期性 有些数列是具有周期性的,通过研究周期性,即可确定通项公式. 例4 已知数列{an},a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,则 a2018=________. 题组训练· 试身手 1.已知数列{an}满足:an+1=an(1-an+1),a1=1,数列{bn}满足:bn=an·an+1,则 数 列 {bn} 的 前 10 项 的 和 S10 = ________________________________________________________________________. 2.在数列{an}中,a1=-2101,且当 2≤n≤100 时,an+2a102-n=3×2n 恒成立,则数列 {an}的前 100 项和 S100=________. 3.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,a1=1,2Sn=(n+1)an,若关于正整数 n 的不等式 a2 n -tan≤2t2 的解集中的整数解有两个,则正实数 t 的取值范围为__________. + 2x 1 x+1 4.已知函数 y= x 与函数 y= 的图象共有 k(k∈N*)个公共点,A1(x1,y1),

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