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湖北省宜昌市部分重点中学2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

2016-2017 学年湖北省宜昌市部分重点中学高二(上)期末数学试 卷(理科)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.若 p 是真命题,q 是假命题,则( ) A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题 C.﹁p 是真命题 D.﹁q 是真命题 2.若直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y﹣2=0 平行,则 m 的值为( ) A.﹣2 B.﹣3 C.2 或﹣3 D.﹣2 或﹣3 3.从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事 件是( ) A.至少有 1 个白球;都是白球 B.至少有 1 个白球;至少有 1 个红球 C.恰有 1 个白球;恰有 2 个白球 D.至少有一个白球;都是红球 4.如图,给出的是计算 + + +…+ 的值的程序框图,其中判断框内可填入的 是( )
A.i≤2 021? B.i≤2 019? C.i≤2 017? D.i≤2 015? 5.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示), 则该样本的中位数、众数、极差分别是 ( )
A.46,45,56 B.46,45,53 C.47,45,56 D.45,47,53

6.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分,余下的几何体的三视图如图, 则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

7.设随机变量 ξ~B(2,p),η~B(3,p),若 P(ξ≥1)= ,则 P(η≥2)的值 为( ) A. B. C. D. 8.某企业有 4 个分厂,新培训了一批 6 名技术人员,将这 6 名技术人员分配到各 分厂,要求每个分厂至少 1 人,则不同的分配方案种数为( ) A.1080 B.480 C.1560 D.300

9.设 F1,F2 分别为椭圆

的左右两个焦点,点 P 为椭圆上任意一点,则

使得

成立的 P 点的个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3

10.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷

酸盐 4 吨,硝酸盐 18 吨;生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 吨,硝

酸盐 15 吨.现库存磷酸盐 10 吨,硝酸盐 66 吨,在此基础上生产这两种混合肥料.如

果生产 1 车皮甲种肥料产生的利润为 12 000 元,生产 1 车皮乙种肥料产生的利润

为 7 000 元,那么可产生的最大利润是( )

A.29 000 元 B.31 000 元 C.38 000 元 D.45 000 元

11.某公司为了对一种新产品进行合理定价,将该产品按亊先拟定的价格进行试

销,得到如下数据:

单价 x(元) 4

5

6

7

8

9

销量 V(件) 90

84

83

80

75

68

由表中数据.求得线性回归方程为 =﹣4x+a.若在这些样本点中任取一点,則它 在回归直线右上方的概率为 ()
A. B. C. D. 12.已知函数 f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与 f(x)的最小值相 等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

13.直线

的倾斜角是 .

14.已知正四棱柱(底面是正方形,侧棱垂直于底面)的高为 4,体积为 16,八

个顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是 .

15.在(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)(x﹣4)(x﹣5)的展开式中,含 x4 的项的系数是 .

16.在平面直角坐标系中,动圆 P 截直线 3x﹣y=0 和 3x+y=0 所得弦长分别为 8,4,

则动圆圆心 P 到直线

的距离的最小值为 .

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 70 分.)

17.某城市随机抽取一个月(30 天)的空气质量指数 API 监测数据,统计结果如

下:

API [0, (50, (100, (150, (200, (250, (300,

50] 100]

150]

200]

250]

300]

350]

空气 优

良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污 重度污染

质量



天数 2

4

5

9

4

3

3

(Ⅰ)根据以上数据估计该城市这 30 天空气质量指数 API 的平均值;

(Ⅱ)若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失 S(单位:元)与空气质量

指数 API(记为 w)的关系式为:

S=

若在本月 30 天中随机抽取一天,试估计该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率.

18.已知 a,b,c 分别是△ABC 的角 A,B,C 所对的边,且 c=2,C= .

(1)若△ABC 的面积等于 ,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求 A 的值. 19.某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水 线上各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量值落在
产品重量 频 (克) 数 (490,495] 6 (495,500] 8 (500,505] 14 (505,510] 8 (510,515] 4 (Ⅰ)若以频率作为概率,试估计从甲流水线上任取 5 件产品,求其中合格品的 件数 X 的数学期望; (Ⅱ)从乙流水线样本的不合格品中任意取 x2+y2=2 件,求 其中超过合格品重量的件数 l:y=kx﹣2 的分布列;(Ⅲ)由以上统计数据完成下面

列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条资动包装流水线的选

择有关”.

甲流水线

合格品

a=

不合格品

c=

合计

乙流水线 b= d=

合计 n=

P(K2≥k) 0.15

k

2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

附:下面的临界值表供参考: (参考公式:

,其中 n=a+b+c+d)

20.如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,△PAD 为等腰三角 形,∠APD=90°,平面 PAD⊥平面 ABCD,且 AB=1,AD=2,E,F 分别为 PC,BD 的 中点. (1)证明:EF∥平面 PAD; (2)证明:直线 PA⊥平面 PCD.

21.已知命题:“? x∈{x|﹣1<x<1},使等式 x2﹣x﹣m=0 成立”是真命题. (1)求实数 m 的取值集合 M;

(2)设不等式

的解集为 N,若 x∈N 是 x∈M 的必要不充分条件,求实

数 a 的取值范围. 22.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x﹣4.设圆 C 的 半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x﹣1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

2016-2017 学年湖北省宜昌市部分重点中学高二(上)期 末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.若 p 是真命题,q 是假命题,则( ) A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题 C.﹁p 是真命题 D.﹁q 是真命题 【考点】复合命题的真假. 【分析】根据题意,由复合命题真假表,依次分析选项即可作出判断. 【解答】解:∵p 是真命题,q 是假命题, ∴p∧q 是假命题,选项 A 错误; p∨q 是真命题,选项 B 错误; ¬p 是假命题,选项 C 错误; ¬q 是真命题,选项 D 正确. 故选 D.
2.若直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y﹣2=0 平行,则 m 的值为( ) A.﹣2 B.﹣3 C.2 或﹣3 D.﹣2 或﹣3 【考点】两条直线平行的判定. 【分析】根据两直线平行,且直线 l2 的斜率存在,故它们的斜率相等,解方程求 得 m 的值. 【解答】解:∵直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y﹣2=0 平行,∴ = , 解得 m=2 或﹣3, 故选 C.
3.从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事 件是( )

A.至少有 1 个白球;都是白球 B.至少有 1 个白球;至少有 1 个红球 C.恰有 1 个白球;恰有 2 个白球 D.至少有一个白球;都是红球 【考点】互斥事件与对立事件. 【分析】由题意知所有的实验结果为:“都是白球”,“1 个白球,1 个红球”,“都是 红球”,再根据互斥事件的定义判断. 【解答】解:A、“至少有 1 个白球”包含“1 个白球,1 个红球”和“都是白球”,故 A 不对; B、“至少有 1 个红球”包含“1 个白球,1 个红球”和“都是红球”,故 B 不对; C、“恰有 1 个白球”发生时,“恰有 2 个白球”不会发生,且在一次实验中不可能必 有一个发生,故 C 对; D、“至少有 1 个白球”包含“1 个白球,1 个红球”和“都是白球”,与都是红球,是对 立事件,故 D 不对; 故选 C.

4.如图,给出的是计算 + + +…+ 是( )

的值的程序框图,其中判断框内可填入的

A.i≤2 021? B.i≤2 019? C.i≤2 017? D.i≤2 015? 【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加并输出 S 的值. 【解答】解:程序运行过程中,各变量值如下表所示:

第一次循环:i=2,S=0+ , 第二循环:i=4,S= , 第三次循环:i=6,S= + + , … 依此类推,第 1008 次循环:i=2016,S= + + +…+ , i=2018,不满足条件,退出循环,输出 s 的值, 所以 i≤2017 或 i<2017., 故选:C.
5.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示), 则该样本的中位数、众数、极差分别是 ( )

A.46,45,56 B.46,45,53 C.47,45,56 D.45,47,53 【考点】茎叶图;众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差. 【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差,即可. 【解答】解:由题意可知茎叶图共有 30 个数值,所以中位数为第 15 和 16 个数的

平均值:

=46.

众数是 45,极差为:68﹣12=56. 故选:A.

6.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分,余下的几何体的三视图如图, 则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】由三视图可得:∠AOB=90°.该几何体的体积为:V= V 圆柱+V 三棱锥 P﹣AOB.

【解答】解:由已知中的三视图,圆锥母线 l=

= ,圆锥的高 h= =2,

圆锥底面半径为 r=

= ,∠AOB=90°.

故该几何体的体积为:V= V 圆柱+V 三棱锥 P﹣AOB

=

Sh+

=

×

故选:A.

+= ,

7.设随机变量 ξ~B(2,p),η~B(3,p),若 P(ξ≥1)= ,则 P(η≥2)的值 为( ) A. B. C. D. 【考点】相互独立事件的概率乘法公式. 【分析】先根据变量 ξ~B(2,p),且 P(ξ≥1)=1﹣P(ξ<1)= ,求出 p 的值, 然后根据 P(η≥2)=1﹣P(η=0)﹣P(η=1)求出所求. 【解答】解:∵变量 ξ~B(2,p),且 P(ξ≥1)= ,

∴P(ξ≥1)=1﹣P(ξ<1)=1﹣C20?(1﹣p)2= , ∴p= , ∴P(η≥2)=1﹣P(η=0)﹣P(η=1)=1﹣C30( )0( )3 ﹣ ? ? ﹣=, 故选:C.

=1﹣

8.某企业有 4 个分厂,新培训了一批 6 名技术人员,将这 6 名技术人员分配到各 分厂,要求每个分厂至少 1 人,则不同的分配方案种数为( ) A.1080 B.480 C.1560 D.300 【考点】计数原理的应用. 【分析】先把 6 本不同的书分成 4 组,每组至少一本,再把这 4 组书分给 4 个人, 利用乘法原理,即可得出结论. 【解答】解:先把 6 本不同的书分成 4 组,每组至少一本. 若 4 个组的书的数量按 3、1、1、1 分配,则不同的分配方案有 =20 种不同的方 法.
若 4 个组的书的数量分别为 2、2、1、1,则不同的分配方案有 ? =45 种不
同的方法. 故所有的分组方法共有 20+45=65 种. 再把这 4 组书分给 4 个人,不同的方法有 65 =1560 种, 故选:C.

9.设 F1,F2 分别为椭圆

的左右两个焦点,点 P 为椭圆上任意一点,则

使得

成立的 P 点的个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】椭圆的简单性质.

【分析】设 P(x0,y0),由

和 P(x0,y0)为椭圆上任意一点,列出方

程组,能求出使得

成立的 P 点的个数.

【解答】解:设 P(x0,y0),

∵F1,F2 分别为椭圆

的左右两个焦点,点 P 为椭圆上任意一点,

∴F1(﹣4,0),F2(4,0), =(﹣4﹣x0,﹣y0), =(4﹣x0,﹣y0),



,∴(﹣4﹣x0)(4﹣x0)+(﹣y0)2=﹣7,即

=9,①

又∵设 P(x0,y0)为椭圆上任意一点,∴

,②

联立①②,得:





∴使得 故选:C.

成立的 P 点的个数为 2 个.

10.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷 酸盐 4 吨,硝酸盐 18 吨;生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 吨,硝 酸盐 15 吨.现库存磷酸盐 10 吨,硝酸盐 66 吨,在此基础上生产这两种混合肥料.如 果生产 1 车皮甲种肥料产生的利润为 12 000 元,生产 1 车皮乙种肥料产生的利润 为 7 000 元,那么可产生的最大利润是( ) A.29 000 元 B.31 000 元 C.38 000 元 D.45 000 元 【考点】简单线性规划的应用;简单线性规划. 【分析】分别设出甲乙两种肥料的车皮数,根据两种原料必须同时够用列出不等 式组,得到线性约束条件,列出利润与甲乙两种肥料车皮数的函数,利用线性规 划知识求得利润的最大值. 【解答】解:设 x、y 分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.

由题意,得



工厂的总利润 z=12000x+7000y 由约束条件得可行域如图,



,解得: ,

所以最优解为 A(2,2), 则当直线 12000x+7000y﹣z=0 过点 A(2,2)时, z 取得最大值为:38000 元,即生产甲、乙两种肥料各 2 车皮时可获得最大利润. 故选:C.

11.某公司为了对一种新产品进行合理定价,将该产品按亊先拟定的价格进行试

销,得到如下数据:

单价 x(元) 4

5

6

7

8

9

销量 V(件) 90

84

83

80

75

68

由表中数据.求得线性回归方程为 =﹣4x+a.若在这些样本点中任取一点,則它

在回归直线右上方的概率为

()

A. B. C. D.

【考点】线性回归方程. 【分析】根据已知中数据点坐标,我们易求出这些数据的数据中心点坐标,进而

求出回归直线方程,判断各个数据点与回归直线的位置关系后,求出所有基本事 件的个数及满足条件在回归直线右上方的基本事件个数,代入古典概率公式,即 可得到答案. 【解答】解: = (4+5+6+7+8+9)= , = (90+84+83+80+75+68)=80 ∵ =﹣4x+a, ∴a=106, ∴回归直线方程 =﹣4x+106; 数据(4,90),(5,84),(6,83),(7,80),(8,75),(9,68). 6 个点中有 3 个点在直线右上方,即(6,83),(7,80),(8,75). 其这些样本点中任取 1 点,共有 6 种不同的取法, 故这点恰好在回归直线右上方的概率 P= = . 故选:C.
12.已知函数 f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与 f(x)的最小值相 等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】求出 f(x)的最小值及极小值点,分别把“b<0”和“f(f(x))的最小值与 f(x)的最小值相等”当做条件,看能否推出另一结论即可判断. 【解答】解:f(x)的对称轴为 x=﹣ ,fmin(x)=﹣ .
(1)若 b<0,则﹣ >﹣ ,∴当 f(x)=﹣ 时,f(f(x))取得最小值 f(﹣ )
=﹣ , 即 f(f(x))的最小值与 f(x)的最小值相等. ∴“b<0”是“f(f(x))的最小值与 f(x)的最小值相等”的充分条件. (2)若 f(f(x))的最小值与 f(x)的最小值相等, 则 fmin(x)≤﹣ ,即﹣ ≤﹣ ,解得 b≤0 或 b≥2.

∴“b<0”不是“f(f(x))的最小值与 f(x)的最小值相等”的必要条件. 故选 A.

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

13.直线

的倾斜角是



【考点】直线的一般式方程;直线的倾斜角. 【分析】利用直线方程求出斜率,然后求出直线的倾斜角.

【解答】解:因为直线

的斜率为:﹣ ,

所以 tanα=﹣ ,

所以直线的倾斜角为: .

故答案为: .

14.已知正四棱柱(底面是正方形,侧棱垂直于底面)的高为 4,体积为 16,八 个顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是 24π . 【考点】球的体积和表面积. 【分析】先求正四棱柱的底面边长,然后求其对角线,就是球的直径,再求其表 面积. 【解答】解:正四棱柱高为 4,体积为 16,底面积为 4,正方形边长为 2, 正四棱柱的对角线长即球的直径为 2 , ∴球的半径为 ,球的表面积是 24π, 故答案为.
15.在(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)(x﹣4)(x﹣5)的展开式中,含 x4 的项的系数是 ﹣ 15 . 【考点】二项式系数的性质. 【分析】本题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题.本题可通过选括号(即 5 个括号中 4 个提供 x,其余 1 个提供常数)进行求解即可 【解答】解:含 x4 的项是由(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)(x﹣4)(x﹣5)的 5 个括号

中 4 个括号出 x 仅 1 个括号出常数 ∴展开式中含 x4 的项的系数是(﹣1)+(﹣2)+(﹣3)+(﹣4)+(﹣5)=﹣15. 故答案为:﹣15

16.在平面直角坐标系中,动圆 P 截直线 3x﹣y=0 和 3x+y=0 所得弦长分别为 8,4,

则动圆圆心 P 到直线

的距离的最小值为 3 .

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】动圆截直线 3x﹣y=0 和 3x+y=0 所得的弦长分别为 8,4,利用点到直线的

距离公式、垂径定理可得点 P 的轨迹方程,再利用点到直线的距离公式,可得结

论.

【解答】解:如图所示,设点 P(x,y),由条件可得,AB=4,EC=2

由点到直线的距离公式,垂径定理可得

+16=

+4,化简可得,xy=10.

∴点 P 的轨迹方程为 xy=10.

动圆圆心 P 到直线

的距离 d=

≥3,

∴动圆圆心 P 到直线 故答案为 3.

的距离的最小值为 3,

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 70 分.) 17.某城市随机抽取一个月(30 天)的空气质量指数 API 监测数据,统计结果如 下: API [0, (50, (100, (150, (200, (250, (300,

50] 100]

150]

200]

250]

300]

350]

空气 优

良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污 重度污染

质量



天数 2

4

5

9

4

3

3

(Ⅰ)根据以上数据估计该城市这 30 天空气质量指数 API 的平均值;

(Ⅱ)若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失 S(单位:元)与空气质量

指数 API(记为 w)的关系式为:

S=

若在本月 30 天中随机抽取一天,试估计该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式;分段函数的应用. 【分析】(Ⅰ)根据平均数的计算公式即可估计该城市这 30 天空气质量指数 API 的平均值; (Ⅱ)根据分段函数的表达式,求出满足经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元 对应的天数,根据古典概型的概率公式即可得到结论. 【解答】解:(Ⅰ)根据以上数据估计该城市这 30 天空气质量指数 API 的平均值为

[25×2+75×4+125×5+175×9+225×4+275×3+325×3]=



(Ⅱ)由分段函数的表达式可知,若经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元, 则得 200<4w﹣400≤600,即 600<4w≤1000, 解得 150<w≤250,此时对应的天数为 9+4=13,

则对应的概率 P= .

18.已知 a,b,c 分别是△ABC 的角 A,B,C 所对的边,且 c=2,C= . (1)若△ABC 的面积等于 ,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求 A 的值. 【考点】余弦定理;正弦定理.

【分析】(1)c=2,C= ,由余弦定理可得:c2=a2+b2﹣2abcosC,即 4=a2+b2﹣ab,

利用三角形面积计算公式

= ,即 ab=4.联立解出即可.

(2)由 sinC=sin(B+A),sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,可得 2sinBcosA=4sinAcosA.当

cosA=0 时,解得 A= ;当 cosA≠0 时,sinB=2sinA,由正弦定理可得:b=2a,联

立解得即可.

【解答】解:(1)∵c=2,C= ,由余弦定理可得:c2=a2+b2﹣2abcosC,

∴4=a2+b2﹣ab,



= ,化为 ab=4.

联立

,解得 a=2,b=2.

(2)∵sinC=sin(B+A),sinC+sin(B﹣A)=2sin2A, ∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=2sin2A, 2sinBcosA=4sinAcosA, 当 cosA=0 时,解得 A= ; 当 cosA≠0 时,sinB=2sinA, 由正弦定理可得:b=2a,

联立

,解得

,b= ,

∴b2=a2+c2, ∴, 又 ,∴ . 综上可得:A= 或 .

19.某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水 线上各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量值落在
产品重量 频

(克) 数 (490,495] 6 (495,500] 8 (500,505] 14 (505,510] 8 (510,515] 4 (Ⅰ)若以频率作为概率,试估计从甲流水线上任取 5 件产品,求其中合格品的 件数 X 的数学期望; (Ⅱ)从乙流水线样本的不合格品中任意取 x2+y2=2 件,求 其中超过合格品重量的件数 l:y=kx﹣2 的分布列;(Ⅲ)由以上统计数据完成下面

列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条资动包装流水线的选

择有关”.

甲流水线

合格品

a=

不合格品

c=

合计

乙流水线 b= d=

合计 n=

P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05

k

2.072 2.706 3.841

附:下面的临界值表供参考:

(参考公式:

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

,其中 n=a+b+c+d)

0.001 10.828

【考点】独立性检验的应用.

【分析】(Ⅰ)计算甲样本中合格品数与频率,利用独立重复试验的概率公式计算 EX 的值; (Ⅱ)计算乙流水线样本中不合格品数,求出 Y 的可能取值,写出 Y 的分布列; (Ⅲ)填写 2×2 列联表,计算 K2,对照临界值表得出结论. 【解答】解:(Ⅰ)由图 1 知,甲样本中合格品数为(0.06+0.09+0.03)×5×40=36,
∴合格品的频率为 =0.9,
由此可估计从甲流水线上任取一件产品,该产品为合格品的概率为 P=0.9; 则 X~B(5,0.9), ∴EX=5×0.9=4.5; (Ⅱ)由表 1 知乙流水线样本中不合格品共 10 个,超过合格品重量的有 4 件, 则 Y 的取值为 0,1,2;





于是有:



∴Y 的分布列为

Y

01 2

P

(Ⅲ)2×2 列联表如下:

甲流水线 乙流水线

合格品

a=36

b=30

不合格品

c=4

d=10

合计

40

40

合计 66 14 n=80

计算

=

>2.706,

∴有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.

20.如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,△PAD 为等腰三角 形,∠APD=90°,平面 PAD⊥平面 ABCD,且 AB=1,AD=2,E,F 分别为 PC,BD 的 中点.

(1)证明:EF∥平面 PAD; (2)证明:直线 PA⊥平面 PCD.
【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】(1)根据线面平行的判定定理进行证明即可. (2)证明 CD⊥PA,PA⊥PD,运用线面垂直的定理可证明. 【解答】证明:(1)连结 AC,则 F 也是 AC 的中点, 又 E 是 PC 的中点,∴EF∥PA, 又 EF?平面 PAD,PA? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD; (2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,CD⊥AD,面 PAD∩面 ABCD=AD,∴CD⊥面 PAD, ∵PA? 面 PAD,∴CD⊥PA, ∵∠APD=90°, ∴PA⊥PD, ∵CD∩PD=D, ∴PA⊥平面 PCD

21.已知命题:“? x∈{x|﹣1<x<1},使等式 x2﹣x﹣m=0 成立”是真命题. (1)求实数 m 的取值集合 M;

(2)设不等式

的解集为 N,若 x∈N 是 x∈M 的必要不充分条件,求实

数 a 的取值范围.

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的真假判断与应用. 【分析】(1)根据一元二次不等式的性质进行转化求解即可. (2)根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可. 【解答】解:(1)由题意知,方程 x2﹣x﹣m=0 在(﹣1,1)上有解,

即 m 的取值范围就是函数 y=x2﹣x 在(﹣1,1)上的值域,易得



(2)因为 x∈N 是 x∈M 的必要不充分条件,所以 M? N 且 M≠N 若 M? N,分以下几种情形研究; ①当 a=1 时,解集 N 为空集,不满足题意, ②当 a>1 时,a>2﹣a,此时集合 N={x|2﹣a≤x<a},



解得 ,且 时,M≠N,故 满足题意,

③当 a<1 时,a<2﹣a,此时集合 N={x|a<x≤2﹣a},



,解得



综上, 或

时,x∈N 是 x∈M 的必要不充分条件.

22.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x﹣4.设圆 C 的 半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x﹣1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

【考点】圆的切线方程;点到直线的距离公式;圆与圆的位置关系及其判定. 【分析】(1)联立直线 l 与直线 y=x﹣1 解析式,求出方程组的解得到圆心 C 坐标, 根据 A 坐标设出切线的方程,由圆心到切线的距离等于圆的半径,列出关于 k 的

方程,求出方程的解得到 k 的值,确定出切线方程即可; (2)设 M(x,y),由 MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理后得 到点 M 的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D,由 M 在圆 C 上,得到圆 C 与圆 D 相交或相切,根据两圆的半径长,得出两圆心间的距离范围, 利用两点间的距离公式列出不等式,求出不等式的解集,即可得到 a 的范围.

【解答】解:(1)联立得:



解得: , ∴圆心 C(3,2). 若 k 不存在,不合题意;

若 k 存在,设切线为:y=kx+3,可得圆心到切线的距离 d=r,即

=1,

解得:k=0 或 k=﹣ ,

则所求切线为 y=3 或 y=﹣ x+3;

(2)设点 M(x,y),由 MA=2MO,知:

=2



化简得:x2+(y+1)2=4, ∴点 M 的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D, 又∵点 M 在圆 C 上,C(a,2a﹣4), ∴圆 C 与圆 D 的关系为相交或相切,

∴1≤|CD|≤3,其中|CD|=



∴1≤

≤3,

解得:0≤a≤ .

2017 年 3 月 7 日


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