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2019高中数学人教a版必修4:课时跟踪检测(二十二) 平面向量数量积的物理背景及其含义 含解析


课时跟踪检测(二十二) 层级一 学业水平达标 平面向量数量积的物理背景及其含义 1. 已知向量 a, b 满足|a|=1, |b|=4, 且 a· b=2, 则 a 与 b 的夹角 θ 为( A. C. π 6 π 3 B. D. π 4 π 2 ) 解析:选 C π θ= . 3 由题意,知 a· b=|a||b|cos θ=4cos θ=2,又 0≤θ≤π,所以 3 2.已知|b|=3,a 在 b 方向上的投影为 ,则 a· b 等于( 2 A.3 C.2 解析:选 B B. D. 9 2 1 2 ) 3 设 a 与 b 的夹角为 θ.∵|a|cos θ= , 2 3 9 ∴a· b=|a||b|cos θ=3× = . 2 2 3.已知|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角是 90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c 与 d 垂直,则 k 的值为( A.-6 C.3 解析:选 B ∵c· d=0, ) B.6 D.-3 ∴(2a+3b)· (ka-4b)=0, ∴2ka2-8a· b+3ka· b-12b2=0, ∴2k=12,∴k=6. 4.已知 a,b 满足|a|=4,|b|=3,夹角为 60°,则|a+b|=( A.37 C. 37 解析:选 C B.13 D. 13 |a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2 ) = 42+2×4×3cos 60° +32= 37. ???? ???? ???? ???? 5. 在四边形 ABCD 中,AB = DC , 且 AC · 则四边形 ABCD 是( BD =0, A.矩形 C.直角梯形 解析:选 B B.菱形 ) D.等腰梯形 ???? ???? ???? ???? ???? ∵ AB = DC ,即一组对边 BD 平行且相等, AC · BD =0,即 对角线互相垂直,∴四边形 ABCD 为菱形. 6.给出以下命题: ①若 a≠0,则对任一非零向量 b 都有 a· b≠0; ②若 a· b=0,则 a 与 b 中至少有一个为 0; ③a 与 b 是两个单位向量,则 a2=b2. 其中,正确命题的序号是________. 解析:上述三个命题中只有③正确,因为|a|=|b|=1,所以 a2=|a|2=1, b2=|b|2=1,故 a2=b2.当非零向量 a,b 垂直时,有 a· b=0,显然①②错误. 答案:③ 7. 设 e1, e2 是两个单位向量, 它们的夹角为 60°, 则(2e1-e2)· (-3e1+2e2) =________. 解析:(2e1-e2)· (-3e1+2e2)=-6e2 e2-2e2 1+7e1· 2=-6+7×cos 60°-2 9 =- . 2 答案:- 9 2 8. 若|a|=1, |b|=2, c=a+b, 且 c⊥a, 则向量 a 与 b 的夹角为________. 解析:∵c⊥a,∴c· a=0, ∴(a+b)· a=0,即 a2+a· b=0. ∵|a|=1,|b|=2,∴1+2cos〈a,b〉=0, 1 ∴cos〈a,b〉=- . 2 又∵0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=120°. 答案:120° 9.已知 e1 与 e2 是两个夹角为 60°的单位向量,a=2e1+e2,b=2e2-3e1, 求 a 与 b 的夹角. 解:因为|e1|=|e2|=1, 1 所以 e1· e2=1×1×cos 60°= , 2 |a|2=(2e1+e2)2=4+1+4e1· e2=7,故|a|= 7, |b

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