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2019高中数学人教a版必修4:课时跟踪检测(二十二) 平面向量数量积的物理背景及其含义 含解析

课时跟踪检测(二十二) 层级一 学业水平达标 平面向量数量积的物理背景及其含义 1. 已知向量 a, b 满足|a|=1, |b|=4, 且 a· b=2, 则 a 与 b 的夹角 θ 为( A. C. π 6 π 3 B. D. π 4 π 2 ) 解析:选 C π θ= . 3 由题意,知 a· b=|a||b|cos θ=4cos θ=2,又 0≤θ≤π,所以 3 2.已知|b|=3,a 在 b 方向上的投影为 ,则 a· b 等于( 2 A.3 C.2 解析:选 B B. D. 9 2 1 2 ) 3 设 a 与 b 的夹角为 θ.∵|a|cos θ= , 2 3 9 ∴a· b=|a||b|cos θ=3× = . 2 2 3.已知|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角是 90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c 与 d 垂直,则 k 的值为( A.-6 C.3 解析:选 B ∵c· d=0, ) B.6 D.-3 ∴(2a+3b)· (ka-4b)=0, ∴2ka2-8a· b+3ka· b-12b2=0, ∴2k=12,∴k=6. 4.已知 a,b 满足|a|=4,|b|=3,夹角为 60°,则|a+b|=( A.37 C. 37 解析:选 C B.13 D. 13 |a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2 ) = 42+2×4×3cos 60° +32= 37. ???? ???? ???? ???? 5. 在四边形 ABCD 中,AB = DC , 且 AC · 则四边形 ABCD 是( BD =0, A.矩形 C.直角梯形 解析:选 B B.菱形 ) D.等腰梯形 ???? ???? ???? ???? ???? ∵ AB = DC ,即一组对边 BD 平行且相等, AC · BD =0,即 对角线互相垂直,∴四边形 ABCD 为菱形. 6.给出以下命题: ①若 a≠0,则对任一非零向量 b 都有 a· b≠0; ②若 a· b=0,则 a 与 b 中至少有一个为 0; ③a 与 b 是两个单位向量,则 a2=b2. 其中,正确命题的序号是________. 解析:上述三个命题中只有③正确,因为|a|=|b|=1,所以 a2=|a|2=1, b2=|b|2=1,故 a2=b2.当非零向量 a,b 垂直时,有 a· b=0,显然①②错误. 答案:③ 7. 设 e1, e2 是两个单位向量, 它们的夹角为 60°, 则(2e1-e2)· (-3e1+2e2) =________. 解析:(2e1-e2)· (-3e1+2e2)=-6e2 e2-2e2 1+7e1· 2=-6+7×cos 60°-2 9 =- . 2 答案:- 9 2 8. 若|a|=1, |b|=2, c=a+b, 且 c⊥a, 则向量 a 与 b 的夹角为________. 解析:∵c⊥a,∴c· a=0, ∴(a+b)· a=0,即 a2+a· b=0. ∵|a|=1,|b|=2,∴1+2cos〈a,b〉=0, 1 ∴cos〈a,b〉=- . 2 又∵0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=120°. 答案:120° 9.已知 e1 与 e2 是两个夹角为 60°的单位向量,a=2e1+e2,b=2e2-3e1, 求 a 与 b 的夹角. 解:因为|e1|=|e2|=1, 1 所以 e1· e2=1×1×cos 60°= , 2 |a|2=(2e1+e2)2=4+1+4e1· e2=7,故|a|= 7, |b|2=(2e2-3e1)2=4+9-12e1· e2=7,故|b|= 7, 1 7 2 且 a· b=-6e2 e2=-6+2+ =- , 1+2e2+e1· 2 2 a· b 1 = =- , |a|· |b| 2 7× 7 - 7 2 所以 cos〈a,b〉= 所以 a 与 b 的夹角为 120°. 10.已知|a|=2|b|=2,且向量 a 在向量 b 方向上的投影为-1. (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求(a-2b)· b; (3)当 λ 为何值时,向量 λa+b 与向量 a-3b 互相垂直? 解:(1)∵|a|=2|b|=2, ∴|a|=2,|b|=1. 又 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ=-1, ∴a· b=|a||b|cos θ=-1. 1 2π ∴cos θ=- ,∴θ= . 2 3 (2)(a-2b)· b=a· b-2b2=-1-2=-3. (3)∵λa+b 与 a-3b 互相垂直, ∴(λa+b)· (a-3b)=λa2-3λa· b+b· a-3b2 4 =4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,∴λ= . 7 层级二 应试能力达标 ) π 1. 已知|a|=2, |b|=1, 且 a 与 b 的夹角为 , 则向量 m=a-4b 的模为( 3 A.2 C.6 B.2 3 D.12 解析: 选B 以|m|=2 3. 1 2 2 2 2 |m| =|a-4b| =a -8a· b+16b =4-8×2×1× +16=12, 所 2 ???? ???? 2.在 Rt△ABC 中,C=90°,AC=4,则 AB · AC 等于( ) A.-16 C.8 解析:选 D 法一:因为 cos A= B.-8 D.16 ???? ???? ???? ???? AC ,故 AB · | AC |cos A= AC =| AB |· AB ???? | AC |2=16,故选 D. ???? ???? ???? ???? ???? ???? 法二: AB 在 AC 上的投影为| AB |cos A=| AC |,故 AB · AC = ???? ???? ???? 2 | AC || AB |cos A=| AC | =16,故选 D. 3.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,且 a 在 b 方向上的投影与 b

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