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高中数学教学课件《正切函数的图象与性质》_图文

第2课时 正切函数的图象与性质 三角函数包括正、余弦函数和正切函数,我们已经 研究了正、余弦函数的图象和性质, 因此, 进一步 研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然. 1.理解用单位圆中的正切线画正切函数的图象 的方法.(难点) 2.熟练根据正切函数的图象推导出正切函数的 性质.(重点) 3.熟练掌握正切函数的图象与性质.(重点、 难点) 探究点1:正切函数的图象 如何利用正切线画出函数 y ? tan ? 角 的终边 3 y ? ? ?? x??? , ? x, ? 2 2? 的图象? T (? , tan ? ) 3 3 A o ? 3 x ? ? ?? x ? ? ? , ? 的图象: 利用正切线画出函数 y ? tan x , ? 2 2? 作法:(1) 等分:把单位圆右半圆分成8等份. ? ? ? 3? 3? ? ? , , , . ? , (2) 作正切线 ? , 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线 一个周期 y o O ? ? 3? ? ? 0 ? ? ? 2 8 4 8 ? 8 ? 4 3? 8 ? 2 x 根据正切函数的周期性,把图象向左、向右连续平 π π x ∈(- + kπ, + kπ)? k ∈ Z ? 的图 移,得出y=tanx, 2 2 象——正切曲线. y 1 ? 3? 2 -? ? ? 2 -1 o ? 2 ? 3? 2 x 探究点2:正切函数的性质 3 ? ? 2 ?? o 利用正切函数的图象来研究它的性质: ? ? ? 1.定义域: ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ? 2.值域: R ? ? ? k ? k ? Z ? ? 且无限接近 ? k? 时, tan x ? ?? 当x小于 2 2 ? ? ? ? k ? k ? Z ? ? tan x ? ?? 当x大于 2 且无限接近? ? k? 时, 2 3.周期性: ? ? 2 ? k? , k ? Z 对任意的 x ? R, 且x ? 都有 tan ? x ? ? ? ? tan x 4.奇偶性: 奇函数,正切曲线关于原点 O 对称. ? ? 对任意 x ? (? ? k? , ? k? ) ? k ? Z ? ,都有 2 2 tan ? ?x ? ? ? tan x,所以正切函数是奇函数. k? 0) 正切函数的对称中心为 ( , ( k ? Z ) . 2 5.单调性: 正切函数在每个开区间 (? 2 ? k? , 2 ? k? ) ? k ? Z ? 内都是增函数. ? ? ? ⑴ 定义域:{ x | x ? ? k? , k ? Z }. 2 提升总结:正切函数的性质 ⑵ 值域: R. ⑶ 周期性:周期为 k ? ,最小正周期为 ? . ⑷ 奇偶性:奇函数,图象关于原点成中心对称. ⑸ 单调性: 在每一个开区间 ? ? k ? Z 内都是增函数. ( ? ? k? , ? k? ) , 2 2 ? x ? k? ? , k ? Z . (6)渐近线方程: 2 kπ ( k?Z. (7)对称中心: ,0), 2 【例题精讲】 例1.求函数y ? tan( x - )的定义域. 3 ? 解:设t ? x - ? 3 , 则函数y ? tan t的定义域是 {t | t ? R且t ? k? ? 由x - ? 2 , k ? Z }. ? k? ? ,得 3 2 5? x ? k? ? (k ? Z), 6 ? ? 因此,函数y ? tan( x - )的定义域是 3 5? { x | x ? R且 x ? k ? ? , k ? Z }. 6 ? 变式练习 求函数 tan (2 x ? )的定义域. 4 π π 【解析】由2x + ≠kπ+ 得 4 2 kπ π x≠ + ,故函数的定义域为 2 8 kπ π ? ? + ,k ∈ Z ? . ?x|x ∈ R且x≠ 2 8 ? ? ? 例2.求函数y ? tan 3x的周期. 解:因为 tan(3x ? ? ) ? tan 3x,即 tan 3( x ? ) ? tan 3x, 3 这说明自变量x至少要增加 ,函数的值才能重复取得, 3 所以, 函数y ? tan 3x的周期为 . 3 解题启示:函数y ? A tan ?? x ? ? ? 的最小正周期 ? T ? . ? ? ? ? 变式练习 求函数y ? tan (- 3 x ? )的最小正周期. 3 π π 【解析】 ω = 3,所以T = = . ω 3 ? ? 2 3 ? ,2 3 ? ?? ? ?? ? 3 ? . 1.函数y ? 2 tan x, x ? ?- , ? 的值域为 _________ ? 6 3? 【解析】由正切函数y ? tan x的图象可知 ? 3 ? ? ? ?? 当x ? ? - , ? 时, tan x ? ?, 3? , ? 6 3? ? 3 ? ? 2 3 ? 故函数的值域为 ?, 2 3?. ? 3 ? ? 2.求函数 y ? tan(x ? ) 的定义域. 4 ? 解: 令 z? x? 4 ,那么函数 y ? tan z 的定义域是 π ? ? ?z z ≠ + kπ,k ∈ Z ? . 2 ? ? ? ? ? ? ? x ? ? k ? ? ,k ∈ z ,即 x ? ? k?,k∈z. 由 x ? ? ? k?,k∈z,可得 2 4 4 4 2 ? 所以函数 y ? tan (x ? 4 ) 的定义域是 ? ? ? x x ? ? k ? , k ? Z ? ?. 4 ? ? 3.观察正切曲线,写出满足下列条件的x的取值范围. (1)tanx >0 (2)tanx <1 ? ? 2 O ? 2 ? ?

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