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直线与椭圆的位置关系(教师版)


直线与椭圆的位置关系
一、新课讲解 x2 y2 1. 当 m 为何值时,直线 y=x+m 与椭圆 + =1 相交?相切?相离? 16 9 y = x + m ? ? 【解】 由? x2 y2 ,得 25x2+32mx+16m2-144=0, + = 1 ? ?16 9 ∴Δ =(32m)2-4×25×(16m2-144) =9×43(25-m2). 当Δ >0,即-5<m<5 时,直线和椭圆相交; 当Δ =0,即 m=± 5 时,直线和椭圆相切; 当Δ <0,即 m>5 或 m<-5 时,直线和椭圆相离. 综上所述,当 m>5 或 m<-5 时直线与椭圆相离; 当 m=± 5 时,直线与椭圆相切; 当-5<m<5 时,直线与椭圆相交. 【名师点评】 判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为:联立直线与椭圆方程,消去 y 或 x,得到关于 x 或 y 的一元二次方程,记该方程的判别式为Δ ,则(1)直线与椭圆相交?Δ >0;(2)直线与椭圆相切?Δ =0; (3)直线与椭圆相离?Δ <0. 变式训练 2. 已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m.当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围.

?4x2+y2=1 ? 解:由? ,得 5x2+2mx+m2-1=0. ? y = x + m ?

因为直线与椭圆有公共点,所以Δ =4m2-20(m2-1)≥0. 解得- 二.中点弦问题

5 5 ≤m≤ . 2 2

1 1.焦点分别为(0,5 2)和(0,-5 2)的椭圆截直线 y=3x-2 所得椭圆的弦中点的横坐标为 ,求此椭圆的方 2 程. 【解】 x2 y2 法一:设所求方程为 2+ 2=1(a>b>0), b a

且 a2-b2=(5 2)2=50.① x y ? ?b2+a2=1 由? , ? ?y=3x-2 得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0, 设 y=3x-2 与椭圆的交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2= x1+x2 1 6b2 1 = ,∴ 2 2= , 2 2 a +9b 2 6b2 . a +9b2
2 2 2



∴a2=3b2 ②, x2 y2 + =1. 25 75

由①②解得:a2=75,b2=25,此时Δ >0,∴

y2 x2 法二:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),直线 y=3x-2 与椭圆交于 A、B 两点.设 A(x1,y1),B(x2,y2), a b

则 y2 x2 1 1 2+ 2=1 a b

? ?y x ?a +b =1
2 2 2 2 2 2

① ②

①-②得 (y1+y2)(y1-y2) (x1+x2)(x1-x2) =- , a2 b2 即 y1-y2 a2(x1+x2) a2x1+x2 = 2 =- 2 . b y1+y2 x1-x2 -b (y1+y2)

1 1 ∵kAB=3,AB 中点(x0,y0),x0= ,y0=- , 2 2 1 2× 2 a2 a2 y2 x2 ∴3=- 2 = 2, ∴a2=3b2.又 a2-b2=(5 2)2=50,∴a2=75,b2=25,∴椭圆方程为 + =1. b 1? b 75 25 2×? ?-2? 【名师点评】 关于中点的问题一般地可以采用两种方法解决: (1)联立方程组,消元,利用根与系数的关系进行设而不解,从而简化运算解题; (2)(2)利用“点差法” ,求出与中点、斜率有关的式子,进而求解,同学们可以试一试.不管应用何种方法 我们都必须注意判别式Δ 的限制.

变式训练 x2 y2 3 2. (2011· 高考陕西卷) 设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a b 5 4 (1)求 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5 16 解:(1)将(0,4)代入 C 的方程得 2 =1, ∴b=4. b 2 2 a - b c 3 x2 y2 9 16 9 又由 e= = 得 2 = , 即 1- 2 = ,∴a=5. ∴C 的方程为 + =1. a 5 a 25 a 25 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3), 5 5 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 x2 (x-3) 4 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 + =1,即 x2-3x-8=0, 5 25 25

4 3 ? 6 -3 =- , ∴x1+x2=3.又 ? 5?2 ? 5

3 6? ∴中点坐标为? ?2,-5?.

三、弦长问题 已知椭圆 4x2+5y2=20 的一个焦点为 F, 过点 F 且倾斜角为 45°的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点, 求弦长|AB|.

【思路点拨】 求出焦点F的坐标 → 求出直线l的斜率 → 设直线l的方程 → 联立方程 → 利用根与系数的关系设而不解 → 由弦长公式求解 【解】 x2 y2 椭圆方程为 + =1,a= 5,b=2,c=1, 5 4

∴直线 l 的方程为 y=x+1(不失一般性,设 l 过左焦点),
? ?y=x+1, 由? 2 消去 y,得 9x2+10x-15=0. 2 ?4x +5y =20, ?

直线方程代入曲线方程,是解这类题目常用方法. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 10 5 则 x1+x2=- ,x1·x2=- , 9 3 |AB|= 2|x1-x2|= 2· (x1+x2)2-4x1x2 = 2· 2 ?-10? -4·?-5?= 2·8 10=16 5. ? 9? ? 3? 9 9

【名师点评】 当直线与椭圆相交时,两交点间的距离称为弦长. (1)求弦长的方法:将直线方程与椭圆方程联立,得到关于 x 的一元二次方程,然后运用根与系数的关系, 再求弦长.不必具体求出方程的根,即不必求出直线与椭圆的交点.这种方法是求弦长常采用的方法. x2 y2 已知椭圆 + =1,过点 P(2,1)作一弦,使弦在这点被平分,求此弦所在直线的方程. 16 4 解:法一:由分析可知,所求的直线不可能与 x 轴垂直,故斜率 k 存在,设所求直线的方程为 y-1=k(x- 2), 代入椭圆方程并整理,得 (4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0, 又设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1、x2 是上面的方程的两个根,∴x1+x2= ∵P 为弦 AB 的中点,∴2= 8(2k2-k) . 4k2+1

x1+x2 4(2k2-k) 1 = . 解得 k=- , 2 2 2 4k +1

∴所求直线的方程为 x+2y-4=0. 法二:设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),由分析可知,x1≠x2. ∵P 为弦 AB 的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.
2 2 2 又∵A、B 在椭圆上,∴x2 1+4y1=16,x2+4y2=16. 2 2 2 两式相减,得(x2 1-x2)+4(y1-y2)=0,

即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.



y1-y2 -(x1+x2) 1 = =- , 2 x1-x2 4(y1+y2)

1 1 即 kAB=- .∴所求直线方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0. 2 2 方法技巧

(1) 直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况,其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且 只有一个交点、无公共点,并且二者互为充要条件.

(2) 判断直线与椭圆的位置关系通常使用代数法而不使用几何法,即先将直线方程与椭圆的方程联立,消去 一个未知数 y(或 x),得到关于 x(或 y)的一个一元二次方程,至于该一元二次方程有无实数解,有几个与方 程组的解的个数相对应,故利用一元二次方程根的判别式Δ ,根据Δ >0、Δ =0 还是Δ <0 即可作出判断.

失误防范

1. 由直线和椭圆求解直线方程,要注意斜率不存在时是否成立. 2. 涉及直线和椭圆的相交,相切问题应满足判别式Δ ≥0.



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