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bmx-smo_o华师一附中高中数学必修1集合公式定理概念汇

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一,数学思想应用 1、数形结合思想 在解集合题中的具体应用: 数轴法, 文氏图法, 几何图形法 数几文

=

2、函数与方程思想 在解集合题中具体应用:


函数法

方程法

判别式法

构造法

3、分类讨论思想 在解集合题中具体应用: 列举法 补集法 空集的运用 数学结合

4、化归与转化思想 在解集合题中具体应用: 列方程 补集法 文氏图法

二,集合的含义与表示方法 1、一般地,我们把研究对象 研究对象统称为元素 研究对象 元素 把一些元素组成的总体叫做集合 集合 2、集合元素三特性 1.确定性; 2.互异性; 3.无序性 无 确 互 3、 a 是集合 A 的元素,a∈A a 不属于集合 A 记作 a?A 立体几何中体现为 点与直线/ 点与直线/ 点与面 的关系 元素与集合之间的关系 x ∈ A ? x ? CU A , x ∈ CU A ? x ? A .

4、非负整数集(自然数集)记作:N 含 0 正整数集 N*或 N+ 不含 0 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R


3、集合表示方法: 列举法

描述法

韦恩图

4、列举法:把集合中的元素一一列举出来,用大括号括上。 描述法:将集合中元素的共同特征 共同特征描述出来,写在大括号内表 共同特征 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:不等式 x-3>2 的解集是 {x∈R| x-3>2} U {x| x-3>2} 集合的分类: 有限集 三、集合间的基本关系 “包含”关系—子集 A ? B 有两种可能 立体几何中体现为 (a)A 是 B 的一部分
/ / (b)A 与 B 是同一集合。反之: A ? B U B ? A

无限集

空集

直线与面关系

(c)A∩B=A ? A ? B ? C UB?C UA (d)A∪B=B ? A ? B ? C UB?C UA (e) B? A ? C UA?C UB 2.“相等”关系(5≥5,且 5≤5 ? 5=5) ① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B 且 A≠ B

?

A B或B A


③A?B, B?C ④ A?B

?

A?C

且 B?A

? A=B

AUB= AIB?A=B

我们把不含任何元素的集合叫做空集,Φ 规定: 空集是任何集合的子集,Φ?A 空集是空集的子集 Φ? Φ 空集是任何集合的子集 ? 该集合可为空集,必考虑Φ 空集是任何非空集合的真子集

Φ A∩B

? A∩B 集合一定非空 ? 方程有解

四、集合的运算 1.A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、A∪B={x|x∈A,或 x∈B}.且 与 或 是区分交与并的关键 且 3、交集与并集的性质: A∩A = A A∩φ= φ A∩B = B∩A A∪A = A A∪φ= A A∪B = B∪A 4、全集与补集 (1)补集: CSA ={x | x∈S 且 x?A}
S CsA A



(2)全集:含各个集合的全部元素 U (3)性质: CU(C UA)=A (C UA)∩A=Φ CUA∪B=U ? A ? B CUU=Φ (CUA)∪A=U CUA∩B=Φ ? B ? A CUΦ=U

已知集合 A、B,当 A ∩ B = ? 时,你是否注意到“极端”情况:
A=?



B=?



A = ?∩B = ?;

求集合的子集时不能忘记 ?

1、对于含有 n 个元素的有限集合 M, 其子集个数 2 n , 真子集 2 n ? 1, 非空子集 2 n ? 1, 非空真子集为 2 n ? 2.
A I B = B I A;
( A I B) I C = A I ( B I C ) A I ( B U C ) = ( A I B) U ( A I C )

① 交换律: A U B = B U A ;

② 结合律: ( A U B) U C = A U ( B U C ) ;

③ 分配律: A U ( B I C ) = ( A U B) I ( A U C ) ; ④ A ? ( A U B)
( AU B) ? B
( A I B) ? A ( A I B) ? ( A U B)

AI B = B ? B ? A AI B = A ? A ? B
(CU A) I B = Φ ? B ? A ;

B ? ( AI B)

( A U B) ? ( A I B)

AU B = A ? B ? A;

(CU A) U B = U ? A ? B ;

⑤ 反演律:

C I ( A ∪ B) = C I A ∩ C I B , C I ( A ∩ B) = C I A ∪ C I B

并补补交 交补补并

(CU A) I (CU B ) = CU ( A U B ) ; (CU A) U (CU B ) = CU ( A I B )

补交并补 补并交补


A U B 中元素的个数的计算公式为:

Card( A U B) = CardA CardB? Card( A I B) + Card( A I B) = CardA CardB? Card( A U B) +

二并和减交 并和减交 二交和减并 交和减并

card ( A U B U C ) = cardA + cardB + cardC ? card ( A I B ) ? card ( A I B ) ? card ( B I C ) ? card (C I A) + card ( A I B I C ) 三并和减交加交 A I B = A ? A U B = B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A I CU B = Φ ? CU A U B = R

注意:讨论的时候不要遗忘了 A = φ 的情况. 3. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集. ②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R } 二、四象限的点集. ③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集. ②点集与数集的交集是 φ . 例:A ={(x,y)| y =x+1} 包含关系: B={y|y =x +1}
2

则 A∩B = ?

A ? A, Φ ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B, B ? C ? A ? C ; A I B ? A, A I B ? B; A U B ? A, A U B ? B.

等价关系: A ? B ? A I B = A ? A U B = B ? C U A U B = U 求补律:A∩CUA=φ = 吸收律 A∪CUA=U =U A∩(A∪B) = A

A∪(A∩B) = A

传递性:A?B 且 B?C ? A?C; 传递性 A?C,B?C ? A∪B?C C?A,C?B ? C?A∩B 若 A ∪B = U 且 A ∩B = ? 则 B = A。
C

? ? A ? U

A-B-C =A-(B+C)=A∩CU(B∪C)

减交补



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