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第13讲 函数与方程_图文

结合二次函数的图象,了解函数的零点与 方程的根的联系,判断一元二次方程根的 存在性及根的个数.结合具体函数的图象, 能用二分法求近似解.

1.函数的零点

?1? 对于函数y ? f ? x ?,我们把使① __________ 叫做函数y ? f ? x ?的零点. ? 2 ? 方程f ? x ? ? 0有实根 ? 函数y ? f ? x ?的图象 ② ______ ? 函数y ? f ? x ? ③ __________. ? 3? 如果函数y ? f ? x ? 在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线,并且④ __________ ,那么, 函数y ? f ? x ? 在区间(a,b)内有⑤ ______ ,即存在 c ? (a,b),使得⑥ __________ ,这个c也就是 方程f ? x ? ? 0的根.

2.二分法

?1? 对于在区间[a,b]上连续不断且f ? a ? ? f ? b ? ? 0 的函数y ? f ? x ?,通过不断地把函数f ? x ?的零点
所在区间⑦ __________ ,使区间的两个端点逐 步逼近⑧ __________ ,进而得到零点近似值的 方法叫做⑨ __________.

? 2 ? 给定精确度e,用二分法求函数f ? x ?的零点
近似值的步骤如下:第一步,确定区间[a,b], 验证f ? a ? ? f ? b ? ? 0,给定精确度e;第二步,求 区间(a,b)的中点c,;第三步,计算f ? c ?; ⅰ若f ? c ? ? 0,则c就是函数的零点; () (ⅱ)若f ? a ? ? f ? c ? ? 0,则令b ? c(此时零点x0 ? (a,c)); (ⅲ)若f ? c ? ? f ? b ? ? 0,则令a ? c(此时零点x0 ? (c,b)). 第四步,判断是否达到精确度e:即若 a ? b ? e,则 得到零点近似值a (或b);否则重复第二、三、四步.

【要点指南】 ①f ? x ? ? 0的实数x;②与x轴有交点;③有零点; ④f ? a ? ? f ? b ? ? 0;⑤零点;⑥f ? c ? ? 0; ⑦一分为二;⑧零点;⑨二分法

4 1.(2012· 龙岩模拟)函数 f(x)=x-x 的零点为( A.0 C.(2,0)、(-2,0) B.± 2 D.0,2,-2

)

4 【解析】令 f(x)=0,即 x-x =0?x2-4=0 且 x≠0,所 以 x=± 2. 易错点:将函数的零点与点坐标混淆. .

2.(2011· 新课标)在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为( 1 A.(- ,0) 4 1 1 C.( , ) 4 2 ) 1 B.(0, ) 4 1 3 D.( , ) 2 4

1 1 1 【解析】显然 f(x)为 R 上增函数,又 f( )=e +4× -3 4 4 4 4 1 1 1 = e-2<0,f( )=e +4× -3= e-1>0, 2 2 2 1 1 所以在( , )内有且仅有一个零点. 4 2

3.函数 f(x)=3ax+1-2a, 在区间(-1,1)上存在一个零 点,则 a 的取值范围是( 1 A.-1<a< 5 1 C.a> 或 a<-1 5 ) 1 B.a> 5 D.a<-1

1 【解析】令 f(-1)· f(1)<0,得 a> 或 a<-1,故选 C. 5

4.如图所示,函数图象与 x 轴均有公共点,但 不能用二分法求公共点横坐标的是( )

【解析】由二分法定义可知选 B.

5.用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的 实根时,取区间中点 x0=2.5,那么下一个有根区间是 (2,2.5) .

【解析】 令 f(x)=x3-2x-5. 又 f(2)=23-2×2-5=-1<0, 53 5 45 f(2.5)=(2) -2×2-5= 8 >0, f(3)=16>0, 则下一个有根区间是(2,2.5).



函数零点的判断与求解

【例 1】若函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x-2 的零点之差 1 的绝对值不超过4,则 f(x)可以是( A.f(x)=4x-1 C.f(x)=e -1
x

)

B.f(x)=(x-1)2 1 D.f(x)=ln(x-2)

1 【解析】 易知 f(x)=4x-1 的零点为 x= ;f(x)= 4 (x-1)2 的零点为 x=1,f(x)=ex-1 的零点为 x=0;f(x) 1 3 =ln(x- )的零点为 x= ;作出 y1=4x 与 y2=2-2x 的 2 2 1 图象,易知零点只有一个 x0,且 g(0)=-1<0,g( )= 2 1 1 1>0,g( )= 2+ -2<0, 4 2

1 1 所以 g(x)的零点 x0∈(4,2). 又函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x-2 的零点之差的绝 1 对值不超过4,只有 f(x)=4x-1 的零点适合,故选 A.

【点评】 (1)当方程的根可能存在的区间已知时, 用零 点存在定理判断即可;当根可能存在的区间未知时,要构 造函数,观察图象.研究一个函数的零点,还是两个函数 图象的交点, 前提是函数能否易于作出图象. 再如求 x+|lgx| =2 的实根的个数, 可考察函数 y=|lgx|, y=2-x 的交点的 个数.

(2)两函数图象交点个数问题,常转化为一个函数的零 点个数问题,进而由零点存在定理判断,必要时要考察函 数的单调性.

素材1

实数 a,b,c 是图象连续不断的函数 y=f(x)定义域中 的三个数,且 a<b<c,又 f(a)· f(b)<0,f(b)· f(c)<0,则函数 y =f(x)在区间(a,c)上的零点的个数为( A.2 C.不小于 2 的自然数 . ) B.不小于 2 的偶数 D.不小于 2 的奇数

【解析】 由 f(a)· f(b)<0 知,f(x)在区间(a,b)内至少有一 个零点; 由 f(b)· f(c)<0 知,f(c)在区间(b,c)内至少有一个零点, 所以在(a,c)上至少有 2 个零点,故选 C.



函数零点的性质的应用

【例 2】已知 a∈R,函数 f(x)=x2+2ax+1,如果 函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求 a 的取值范围.

【解析】①Δ=0?a=± 1, 此时当 a=1 时,x=-1∈[-1,1];当 a=-1 时,x=1 ∈[-1,1],合乎题意. ②f(x)在区间[-1,1]上只有一个零点且不是 f(x)=0 的 重根,此时有 f(-1)f(1)<0?a>1 或 a<-1.

③函数 f(x)在区间[-1,1]上有两个相异实根,
?Δ>0 ? ?f?-1?≥0 ? 则有?f?1?≥0 ? 2a ? ?-1<- 2 <1 ?

?a∈?.

综上知,函数 f(x)=x2+2ax+1 在[-1,1]上有零点,则 a 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).

【点评】1.二次函数零点的个数就是方程 ax2+bx+c=0 的实根个数,一般地,由 Δ>0、Δ=0、Δ<0 判断. 2.在闭区间上零点的个数应由零点判定定理及函数图 象性质一并实施.

素材2

已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0),若存在实数 x0, 使 f(x0)=x0,则称 x0 是函数 f(x)的不动点.

(1)当 a=-b=2 时,求函数 f(x)的不动点; (2)若对任意的实数 b,函数 f(x)恒有两个不动点,求实数 a 的取值范围.

【解析】(1)当 a=-b=2 时,函数 f(x)=2x2-x-4. 设 x 为 f(x)的不动点, 则 2x2-x-4=x,即 2x2-2x-4=0, 解得 x1=-1 或 x2=2, 所以函数 f(x)有两个不动点-1 和 2.

(2)由于 f(x)=x,即 ax2+bx+b-2=0,依题意,此 方程有两个相异实数根, 则 Δx=b2-4a(b-2)>0,即 b2-4ab+8a>0 恒成立, 故 Δb=16a2-32a<0,解得 0<a<2, 所以,实数 a 的取值范围为(0,2).



二分法

【例 3】用二分法求函数 f(x)=x3-x-1 在区间[1,1.5] 内的一个零点(精确度为 0.1).

【解析】 由于 f(1)=1-1-1=-1<0, f(1.5)=3.375-1.5 -1=0.875>0, 所以 f(x)在区间[1,1.5]内存在零点,取区间[1,1.5]作为计 算的初始区间.

用二分法逐次计算列表如下: 端(中) 中点函数值 点坐标 符号 零点所在区间 |an-bn|

[1,1.5] 0.5 1.25 f(1.25)<0 [1.25,1.5] 0.25 1.375 f(1.375)>0 [1.25,1.375] 0.125 1.3125 f(1.3125)<0 [1.3125,1.375] 0.0625

因为|1.375-1.3125|=0.0625<0.1, 所 以 函 数 的 零 点 落 在 区 间 长 度 小 于 0.1 的 区 间 [1.3125,1.375]内, 故函数零点的近似值为 1.3125.

【点评】 1.求函数零点的近似值的关键是判断二分法求 值过程中,区间长度是否小于精确度 ξ,当区间长度小于精 确度 ξ 时,运算结束,而此时取的中点值即为所求,当然 也可取区间端点的另一个值. 2.“精确度”与“精确到”是两个不同的概念,精确 度最后的结果不能四舍五入,而精确到只需区间两个端点 的函数值满足条件,即取近似值之后相同,则此时四舍五 入的值即为零点的近似解.

素材3

若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值 用二分法计算,其参考数据如下: f(1)=-2 f(1.375)=-0.260 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984

f(1.4375)=0.162 f(1.40625)=-0.054

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( A.1.2 C.1.4 ) B.1.3 D.1.5

【解析】由于 f(1.4375)=0.162>0,f(1.40625)=- 0.054<0,且|1.40625-1.4375|=0.03125<0.1,所以由二分 法可知其根在区间(1.40625,1.4375)上,故选 C.

备选例题

(2012· 杭州西湖中学)定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0
? 1 ?log ?x+1? x∈[0,1? 时,f(x)=? 2 ?1-|x-3| x∈[1,+∞? ?

,则关于 x 的方程 f(x)=

a(-1<a<1)的所有解之和 S= 含 a 的式子表示)

?1a ?? ? -1 ?-1<a≤0? ?2 ?1-2a ?0<a<1? ?

.(用

【解析】作出函数 f(x)的图象如图.

当-1<a≤0 时,y=a 与 y=f(x)有五个交点, 即 f(x)=a 依次有五个根 x1、x2、x3、x4、x5 且 x1+x2=-6, 1 log2(x3+1)=a,x4+x5=6,

1a 所以 x1+x2+x3+x4+x5=x3=( ) -1; 2 当 0<a<1 时, f(x)=a 依次五根为 x′1、 2、 3、 4、 记 x′ x′ x′ x′5,且 1 x′1+x′2=-6,f(x′3)=-f(-x′3)=-log (-x′3+ 2 1)=a?x′3=1-2a,x4+x5=6, 所以 x′1+x′2+x′3+x′4+x′5=1-2a,
?1-2a ? 综上可得所有解之和为 S=? 1 a ?? ? -1 ?2

?1>a>0? ?-1<a≤0? .

1.二次方程ax 2+bx+c=0(a ? 0)的根分布问题, 既可以运用公式法先求出方程的根,再列出等 价条件组,也可以引入二次函数,由函数的图 象特征列出等价的条件组,应因题而异,优化 解题的思路. 2.函数与方程这一节内容渗透了丰富的数学思 想方法,解题时需具有敏锐的观察力和较强的 等价转化问题的能力,把复杂的问题化归为二 次方程或二次函数问题,再运用等价转化思想、 函数与方程思想、分离参数方法、分类讨论思 想等解决问题.

3.二分法求方程近似解的过程中,解法的 程序框图蕴涵着算法思想、符号化、模型 化的思想.这些思想是现代数学的重要思 想,是信息技术与数学内容有机的整合. 在学习中注意体会并加以运用,有利于我 们数学能力的培养、综合素质的提高.


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