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河南省信阳高级中学2016届高三(上)第四次大考数学试题(解析版)(理科)

2015-2016 学年河南省信阳高级中学高三(上)第四次大考数学 试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.信阳高中 2016 届高三第四次大考理科数学 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( ) A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} 2.复数 A. B.10 (i 是虚数单位)的模等于( C. D.5 )
x 2



3.下列命题中的假命题是(

A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=0 C.?x∈R,2 >0 D.?x∈R,x >0

4.已知 =(a,﹣2) , =(1,1﹣a) ,且 ∥ ,则 a=( A.﹣1 B.2 或﹣1 C.2 D.﹣2



5. 已知角 2α 的顶点在原点, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边经过点 ( 2π) ,则 tanα 等于( A.﹣ B. ) C.﹣ D.

) , 且 2α∈[0,

6.已知函数

,则

=(



A.

B.

C.

D.

7.已知某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是边长为 1 的正方形,俯视图是腰长 为 1 的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( )

A.2

B.1

C.
3

D.
3 3 3 3 3

8.程序框图表示求式子 2 ×5 ×11 ×23 ×47 ×95 的值,则判断框内可以填的条件为(



A.i≤90?

B.i≤100?

C.i≤200?

D.i≤300?

9.下列命题中正确的是( ) A.函数 y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数 B.函数 C.函数 D.函数 y=sinπx?cosπx 是最小正周期为 2 的奇函数 10.如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 y= (x>0)图 象下方的区域(阴影部分) ,从 D 内随机取一个点 M,则点 M 取自 E 内的概率为( ) 在区间 上是单调递增的 的最小值是﹣1

A.

B.

C.

D.

11.已知抛物线

与双曲线

有共同的焦点 F,O 为坐标原点,P

在 x 轴上方且在双曲线上,则 A. B. C.

的最小值为( D.



12.已知函数

,则下列关于函数 y=f[f(x)]+1 的零点个数的判断

正确的是( ) A.当 k>0 时,有 3 个零点;当 k<0 时,有 2 个零点 B.当 k>0 时,有 4 个零点;当 k<0 时,有 1 个零点 C.无论 k 为何值,均有 2 个零点 D.无论 k 为何值,均有 4 个零点

二、填空题(将答案填在答题卡的相应位置上,满分 12 分) 13.求 展开式的 x 项的系数是
2



14.已知 x,y 满足条件

,则 z=x+3y 的最大值是



15.已知四面体 P﹣ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上,且 PO⊥平面 ABC,2AC= 若四面体 P﹣ABC 的体积为 ,则该球的体积为 .

AB,

16.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 (A﹣B)取最大值时,角 C 的值为 .

,当 tan

三、解答题(写出必要的解答和证明过程) 17. (12 分) (2015 秋?信阳校级月考)已知数列{an}前 n 项和为 Sn,满足 Sn=n an﹣n (n ﹣1) ,a1= . (1)令 bn= Sn,证明:bn﹣bn﹣1=n(n≥2) ;
2 2

(2)在问题(1)的条件下求{an}的通项公式. 18. (12 分) (2012?道里区校级三模)口袋里装有 7 个大小相同的小球,其中三个标有数字 1,两个标有数字 2,一个标有数字 3,一个标有数字 4. (Ⅰ) 第一次从口袋里任意取一球,放回口袋里后第二次再任意取一球,记第一次与第二 次取到小球上的数字之和为 ξ.当 ξ 为何值时,其发生的概率最大?说明理由; (Ⅱ) 第一次从口袋里任意取一球,不再放回口袋里,第二次再任意取一球,记第一次与 第二次取到小球上的数字之和为 η.求 η 的分布列和数学期望. 19. (12 分) (2012?道里区校级三模)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (Ⅱ)当 值. ,且直线 AE 与平面 PBD 成角为 45°时,确定点 E 的位置,即求出 的

20. (12 分) (2012?石景山区一模)已知椭圆 为 ﹣1,短轴长为 2 (Ⅰ)求椭圆的方程; .

+

=1(a>b>0)右顶点与右焦点的距离

(Ⅱ)过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A、B 两点,若三角形 OAB 的面积为 线 AB 的方程.

,求直

21. (12 分) (2011?东莞市校级二模)已知函数

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)利用 1)的结论求解不等式 2|lnx|≤ 与 的大小. 对任意 n∈N 都成立,求 a 的最大值.
*

?|x﹣1|.并利用不等式结论比较 ln (1+x)

2

(3)若不等式

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分) (2012?道里区校级三模)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,△ ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,PA 是过点 A 的直线,且∠PAC=∠ABC. (Ⅰ) 求证:PA 是⊙O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB 于点 E,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求 sin∠BCE.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23. (2013?乌鲁木齐一模)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 将圆 x +y =4 上各点的纵坐标压缩至原来的 ,所得曲线记作 C;将直线 3x﹣2y﹣8=0 绕原 点逆时针旋转 90°所得直线记作 l. (I)求直线 l 与曲线 C 的方程; (II)求 C 上的点到直线 l 的最大距离.
2 2

【选修 4-5:不等式选讲】 24. (2013?沈河区校级模拟)设关于 x 的不等式|x﹣1|≤a﹣x. (1)若 a=2,解上述不等式; (2)若上述的不等式有解,求实数 a 的取值范围.

2015-2016 学年河南省信阳高级中学高三(上)第四次大 考数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.信阳高中 2016 届高三第四次大考理科数学 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( ) A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由题意求出 A 的补集,然后求出(?UA)∪B. 解答: 解:因为全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4}, 则?UA={0,4}, (?UA)∪B={0,2,4}. 故选 C. 点评: 本题考查集合的基本运算,考查计算能力. 2.复数 A. 考点: 专题: 分析: (i 是虚数单位)的模等于( )

B.10 C. D.5 复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 首先将复数化简为 a+bi 的形式,然后求模. =1+ =3+i,故模为 ;

解答: 解:

故选:A. 点评: 本题考查了复数的混合运算以及复数模的求法;属于基础题. 3.下列命题中的假命题是( ) x 2 A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=0 C.?x∈R,2 >0 D.?x∈R,x >0 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 举例说明是 A、B 真命题, 根据指数函数的定义与性质,判断 C 是真命题; 举例说明 D 是假命题. 解答: 解:对于 A,x=1 时,lg1=0,∴A 是真命题; 对于 B,x=0 时,tan0=0,∴B 是真命题; x 对于 C,?x∈R,2 >0,∴C 是真命题; 2 对于 D,当 x=0 时,x =0,∴D 是假命题. 故选:D. 点评: 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题, 也考查了命题真假的判断问题, 是综 合性题目.

4.已知 =(a,﹣2) , =(1,1﹣a) ,且 ∥ ,则 a=( A.﹣1 B.2 或﹣1 C.2 D.﹣2 考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示.



专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两向量平行的坐标表示,列出方程,求出 a 的值即可. 解答: 解:∵ =(a,﹣2) , =(1,1﹣a) ,且 ∥ , ∴a(1﹣a)﹣(﹣2)×1=0, 2 化简得 a ﹣a﹣2=0, 解得 a=2 或 a=﹣1; ∴a 的值是 2 或﹣1. 故选:B. 点评: 本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题,是基础题目. ) , 且 2α∈[0,

5. 已知角 2α 的顶点在原点, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边经过点 ( 2π) ,则 tanα 等于( A.﹣ B. ) C.﹣ D.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据题意求出 2α= ,可得 α= ,由此求得 tanα 的值. ) ,且 2α∈[0,2π) ,可得 2α= ,

解答: 解:由角 2α 的终边经过点( 故 α= ,可得 tanα=tan = ,

故选 B. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,求出 2α= 题.本题从角的角度求解,比较简练 ,是解题的关键,属于基础

6.已知函数

,则

=(



A.

B.

C.

D.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先求出 的函数值,然后判断此函数值所在范围,继续求其函数值. 解答: 解:因为 >0,所以 f( )= =﹣2,又﹣2<0,所以 f(﹣2)=2 = ;
﹣2

故选:B. 点评: 本题考查了分段函数的函数值求法; 关键是明确自变量所属的范围, 代入对应的解 析式计算即可.

7.已知某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是边长为 1 的正方形,俯视图是腰长 为 1 的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( )

A.2

B.1

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图, 得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱; 结合图 中数据求出它的体积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得 该几何体是如图所示的直三棱柱; 且该三棱柱的底面是边长为 1 的等腰直角三角形 1,高为 1; 所以,该三棱柱的体积为 V=Sh= ×1×1×1= . 故选:C.

点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了空间想象能力的应用问题, 是基础题目. 8.程序框图表示求式子 2 ×5 ×11 ×23 ×47 ×95 的值,则判断框内可以填的条件为(
3 3 3 3 3 3



A.i≤90? B.i≤100? C.i≤200? D.i≤300? 考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数, 然后根据运行的后输出的结果, 从 而得出所求. 解答: 解:根据题意可知该循环体运行情况如下: 3 第 1 次:s=1×2 ,i=1×2+1=5 3 3 第 2 次:s=2 ×5 ,i=5×2+1=11 3 3 3 第 3 次:s=2 ×5 ×11 ,i=11×2+1=23 3 3 3 3 第 4 次:s=2 ×5 ×11 ×23 ,i=23×2+1=47 3 3 3 3 3 第 5 次:s=2 ×5 ×11 ×23 ×47 ,i=47×2+1=95 3 3 3 3 3 3 第 6 次:s=2 ×5 ×11 ×23 ×47 ×95 ,i=95×2+1=191 3 3 3 3 3 3 因为输出结果是 2 ×5 ×11 ×23 ×47 ×95 的值,结束循环,判断框应该是 i≤100?. 故选 B. 点评: 本题主要考查了循环结构, 循环结构有两种形式: 当型循环结构和直到型循环结构, 以及周期性的运用,属于基础题.新课改地区高考常考题型.也可以利用循环的规律求解. 9.下列命题中正确的是( ) A.函数 y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数 B.函数 C.函数 在区间 上是单调递增的 的最小值是﹣1

D.函数 y=sinπx?cosπx 是最小正周期为 2 的奇函数 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: A:利用奇函数的定义域必须关于原点对称,可得 A 不正确. B:由 x∈ 得出 的取值范围,再利用正弦函数的单调性进行判断.

C:利用诱导公式化简函数的解析式为 y=2sin( 最小值.

﹣x) ,再根据正弦函数的值域求出它的

D:利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为 sin2πx,从而得到函数的周期性和奇偶 性. 解答: 解:对于 A:由于函数 y=sinx,x∈[0,2π]的定义域不关于原点对称,故它不奇函 数,故 A 不正确. B:由 x∈ 是增函数, 函数 C:由于函数 = 在区间 上是单调递减的,故 B 错误. = ,它的最小值是﹣1,正确. ﹣ 得出 ∈(﹣ , ) ,正弦函数 f(x)=sinx 在(﹣ , )上

D:由函数 y=sinπx?cosπx= sin2πx,它是最小正周期为 1 的奇函数,故 D 不正确. 故选 C. 点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值, 正弦函数的周期性与求法, 正弦函 数的奇偶性,属于中档题.

10.如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 y= (x>0)图 象下方的区域(阴影部分) ,从 D 内随机取一个点 M,则点 M 取自 E 内的概率为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 定积分;几何概型. 专题: 计算题. 分析: 先由积分的知识求解阴影部分的面积,然后可求试验的区域所对应的矩形的面积, 由几何概率的求解公式代入可求 解答: 解:本题是几何概型问题, 区域 E 的面积为:S=2× =1+ =1﹣ln =1+ln2

∴“该点在 E 中的概率”事件对应的区域面积为 1+ln2, 矩形的面积为 2

由集合概率的求解可得 P= 故选 C 点评: 本题综合考查了反比例函数的图象,几何概型,及定积分在求面积中的应用,考查 计算能力与转化思想.属于基础题.

11.已知抛物线

与双曲线

有共同的焦点 F,O 为坐标原点,P

在 x 轴上方且在双曲线上,则 A. B. C.

的最小值为( D.



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 抛物线 ,可得 x =8y,焦点 F 为(0,2) ,则双曲线
2



c=2,可得双曲线方程,利用向量的数量积公式,结合配方法,即可求出 解答: 解: 抛物线 的 c=2, 则 a =3,即双曲线方程为 设 P(m,n) (n≥ 则
2 2 2

的最小值.

, 可得 x =8y, 焦点 F 为 ( 0, 2) , 则双曲线

2


2 2

) ,则 n ﹣3m =3,∴m = n ﹣1,
2 2 2 2 2

=(m,n)?(m,n﹣2)=m +n ﹣2n= n ﹣1+n ﹣2n= (n﹣ ) ﹣ ,

因为 n≥ ,故当 n= 时取得最小值,最小值为 3﹣2 , 故选:A. 点评: 本题考查抛物线、双曲线的方程与性质,考查向量的数量积公式,考查学生的计算 能力,属于中档题.

12.已知函数

,则下列关于函数 y=f[f(x)]+1 的零点个数的判断

正确的是( ) A.当 k>0 时,有 3 个零点;当 k<0 时,有 2 个零点 B.当 k>0 时,有 4 个零点;当 k<0 时,有 1 个零点 C.无论 k 为何值,均有 2 个零点 D.无论 k 为何值,均有 4 个零点

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 因为函数 f(x)为分段函数,函数 y=f(f(x) )+1 为复合函数,故需要分类讨论, 确定函数 y=f(f(x) )+1 的解析式,从而可得函数 y=f(f(x) )+1 的零点个数; 解答: 解:分四种情况讨论. (1)x>1 时,lnx>0,∴y=f(f(x) )+1=ln(lnx)+1,此时的零点为 x= >1;

(2)0<x<1 时,lnx<0,∴y=f(f(x) )+1=klnx+1,则 k>0 时,有一个零点,k<0 时, klnx+1>0 没有零点; 2 2 (3)若 x<0,kx+1≤0 时,y=f(f(x) )+1=k x+k+1,则 k>0 时,kx≤﹣1,k x≤﹣k,可得 2 k x+k≤0,y 有一个零点, 2 若 k<0 时,则 k x+k≥0,y 没有零点, (4) 若 x<0,kx+1>0 时,y=f(f(x) )+1=ln (kx+1)+1,则 k>0 时, 即 y=0 可得 kx+1= , y 有一个零点,k<0 时 kx>0,y 没有零点, 综上可知,当 k>0 时,有 4 个零点;当 k<0 时,有 1 个零点; 故选 B. 点评: 本题考查分段函数,考查复合函数的零点,解题的关键是分类讨论确定函数 y=f(f (x) )+1 的解析式,考查学生的分析能力,是一道中档题; 二、填空题(将答案填在答题卡的相应位置上,满分 12 分) 13.求 展开式的 x 项的系数是 1 .
2

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: 先求出
2

展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 2,求得 r 的值,

可得展开式的 x 项的系数的值. 解答: 解:由于 展开式的通项公式为
4﹣r

Tr+1= 令

?

=

?3
2

?

, =1,

=2,可得 r=4,故展开式的 x 项的系数是

故答案为 1. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用, 二项式展开式的通项公式, 求展开式中某项的系 数,属于中档题.

14.已知 x,y 满足条件

,则 z=x+3y 的最大值是 10 .

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用.

分析: 由 x,y 满足条件

,作出可行域,利用角点法能求出 z=x+3y 的最大

值.

解答: 解:由 x,y 满足条件



作出可行域: ∵z=x+3y,A( ,0) ,∴zA= ;

解方程组

,得 B(1,3) ,∴zB=1+3×3=10;

∵C(0,2) ,∴zC=0+3×2=6; ∴O(0,0) ,∴zO=0. 故 z=x+3y 的最大值是 10. 故答案为:10.

点评: 在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可 行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优 解. 15.已知四面体 P﹣ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上,且 PO⊥平面 ABC,2AC= 若四面体 P﹣ABC 的体积为 ,则该球的体积为 4 π . AB,

考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 设该球的半径为 R,则 AB=2R,2AC= AB= ×2R,故 AC= R,由于 AB 是 球的直径,所以△ ABC 在大圆所在平面内且有 AC⊥BC,由此能求出球的体积. 解答: 解:设该球的半径为 R, 则 AB=2R,2AC= AB= ×2R, ∴AC= R, 由于 AB 是球的直径, 所以△ ABC 在大圆所在平面内且有 AC⊥BC, 在 Rt△ ABC 中,由勾股定理,得: 2 2 2 2 BC =AB ﹣AC =R , 所以 Rt△ ABC 面积 S= ×BC×AC= R,
2

又 PO⊥平面 ABC,且 PO=R,四面体 P﹣ABC 的体积为 , ∴VP﹣ABC= ×R× 即 R =9,R =3
3 3

×R = , ,
3

2

所以:球的体积 V 球= ×πR = ×π×3

=4

π.

故答案为: 点评: 本题考查四面体的外接球的体积的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理 地化空间问题为平面问题. 16.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 (A﹣B)取最大值时,角 C 的值为 .

,当 tan

考点: 两角和与差的正切函数;正弦定理的应用. 专题: 压轴题;三角函数的求值. 分析: 利用正弦定理及诱导公式化简已知的等式, 整理后利用同角三角函数间的基本关系 弦化切后得到 tanA=3tanB, 利用两角和与差的正切函数公式化简 tan (A﹣B) , 将 tanA=3tanB 代入,利用基本不等式变形,求出 tan(A﹣B)取得最大值时 tanA 与 tanB 的值,进而确定 出 A 与 B 的度数,即可此时得到 C 的度数. 解答: 解:利用正弦定理化简已知的等式得:sinAcosB﹣sinBcosA= sinC= sin(A+B) = (sinAcosB+cosAsinB) , 整理得:sinAcosB=3cosAsinB, 两边除以 cosAcosB 得:tanA=3tanB, 则 tan(A﹣B)= = = ,

∵A、B 是三角形内角,且 tanA 与 tanB 同号, ∴A、B 都是锐角,即 tanA>0,tanB>0,

∴3tanB+

≥2

,当且仅当 3tanB= ,

,即 tanB=

时取等号,

∴tanA=3tanB= ∴A= 则 C= ,B= .



故答案为: 点评: 此题考查了两角和与差的正切函数公式,正弦定理,同角三角函数间的基本关系, 诱导公式,以及基本不等式的运用,熟练掌握公式及定理是解本题的关键. 三、解答题(写出必要的解答和证明过程) 2 2 17. (12 分) (2015 秋?信阳校级月考)已知数列{an}前 n 项和为 Sn,满足 Sn=n an﹣n (n ﹣1) ,a1= . (1)令 bn= Sn,证明:bn﹣bn﹣1=n(n≥2) ;

(2)在问题(1)的条件下求{an}的通项公式. 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 Sn=n an﹣n (n﹣1) ,且 a1= ,用迭代法能求出(n ﹣1) Sn= ,再由 bn= Sn,能确定 bn 与 bn﹣1(n≥2)的关系; ﹣1,故 ,由此求出 Sn,
2 2 2

(2)由(1)知 bn﹣b1=n+(n﹣1)+…+2= 从而能求出{an}的通项公式.

解答: (1)证明:∵Sn=n an﹣n (n﹣1) ,且 a1= , ∴当 n≥2 时,有 an=Sn﹣Sn﹣1, ∴ 即(n ﹣1)Sn= ∵bn= 则 化简得:bn﹣bn﹣1=n; (2)由(1)知 bn﹣b1=n+(n﹣1)+…+2= ﹣1, Sn,∴ ,
2

2

2

﹣n (n﹣1) , ,

2

b1=2S1=1, ∴ ∴ ∴ = , , = ,

an=Sn﹣Sn﹣1= 当 n=1 时上式成立, 故 .

=



点评: 本题考查数列的递推公式的应用, 注意迭代法和等价转化思想的灵活运用, 是中档 题. 18. (12 分) (2012?道里区校级三模)口袋里装有 7 个大小相同的小球,其中三个标有数字 1,两个标有数字 2,一个标有数字 3,一个标有数字 4. (Ⅰ) 第一次从口袋里任意取一球,放回口袋里后第二次再任意取一球,记第一次与第二 次取到小球上的数字之和为 ξ.当 ξ 为何值时,其发生的概率最大?说明理由; (Ⅱ) 第一次从口袋里任意取一球,不再放回口袋里,第二次再任意取一球,记第一次与 第二次取到小球上的数字之和为 η.求 η 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ) 由题设知 ξ 可能的取值为 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 由题设条件分别求出 P (ξ=2) , P(ξ=3) ,P(ξ=4) ,P(ξ=5) ,P(ξ=6) ,P(ξ=7) ,P(ξ=8) ,由此求出当 ξ 为 4 或 5 时,其 发生的概率最大. (Ⅱ)由题设知 η 可能的取值为 2,3,4,5,6,7,分别求出 P(η=2) ,P(η=3) ,P(η=4) , P(η=5) ,P(η=6) ,P(η=7) ,由此能求出 η 的分布列和 E(η) . 解答: 解: (Ⅰ)由题设知 ξ 可能的取值为 2,3,4,5,6,7,8, ,











, 所以当 ξ 为 4 或 5 时,其发生的概率最大.…(6 分) (Ⅱ)由题设知 η 可能的取值为 2,3,4,5,6,7,…(7 分) P(η=2)= = ,

P(η=3)=

= ,

P(η=4)=

=



P(η=5)=

=



P(η=6)= P(η=7)=

=





∴η 的分布列为:

…(11 分) E(η)=2× +3× +4× +5× +6× +7× =4.…(12 分)

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,解题时要认真审题,仔细解答,注 意排列组合和概率知识的合理运用. 19. (12 分) (2012?道里区校级三模)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC⊥平面 PDB;

(Ⅱ)当 值.

,且直线 AE 与平面 PBD 成角为 45°时,确定点 E 的位置,即求出



考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: (Ⅰ) 设 AC 交 BD 于 O, 连接 OE, 由 PD⊥平面 ABCD, 知 PD⊥AC, 由 BD⊥AC, 知 AC⊥平面 PBD,由此能够证明平面 ACE⊥平面 PBD. (Ⅱ)法一:由平面 ACE⊥平面 PBD,知 AO⊥PBD,由直线 AE 与平面 PBD 成角为 45°, 知∠AEO=45°,由此能够求出 .

法二:以 DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DP 为 z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法能够求出 的值. 解答: 解: (Ⅰ)设 AC 交 BD 于 O,连接 OE, ∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AC, ∵BD⊥AC,∴AC⊥平面 PBD, 又∵AC?平面 AEC,∴平面 ACE⊥平面 PBD.…(6 分) (Ⅱ) (方法一)∵平面 ACE⊥平面 PBD,平面 ACE∩平面 PBD=BD AO⊥BD ∴AO⊥面 PBD, ∵直线 AE 与平面 PBD 成角为 45°,∴∠AEO=45°, 设 ,则 OE=1, ∴ .…(12 分)

(方法二)以 DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DP 为 z 轴建立空间直角坐标系,如图 平面 BDE 法向量为 设 令 则 , , , , , , ,

得 ∴

或 λ=1(舍) , .…(12 分)

点评: 本题考查平面与平面垂直的证明,考查点的位置的确定.解题时要认真审题,仔细 解答,注意空间思维能力的培养.

20. (12 分) (2012?石景山区一模)已知椭圆 为 ﹣1,短轴长为 2 (Ⅰ)求椭圆的方程; .

+

=1(a>b>0)右顶点与右焦点的距离

(Ⅱ)过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A、B 两点,若三角形 OAB 的面积为 线 AB 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)根据椭圆右顶点与右焦点的距离为 ,短轴长为 ,可得

,求直

,由此,即可求得椭圆方程;

(Ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时,

,此时

不符合题意;当直线 AB 与

x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为:y=k(x+1) ,代入消去 y 得,进而可求三角形的面积, 利用 ,即可求出直线 AB 的方程.

解答: 解: (Ⅰ)由题意,

,解得



即椭圆方程为 (Ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时, ,此时 S= 不符合题意,故舍掉;
2

当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为:y=k(x+1) ,代入消去 y 得: (2+3k ) 2 2 2 x +6k x+(3k ﹣6)=0.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

,所以



原点到直线的 AB 距离



所以三角形的面积
2



由 所以直线

可得 k =2,∴

, 或 .

点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,联立直线与椭圆方程,利 用韦达定理确定三角形的面积是关键.

21. (12 分) (2011?东莞市校级二模)已知函数 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)利用 1)的结论求解不等式 2|lnx|≤ 与 的大小. 对任意 n∈N 都成立,求 a 的最大值.
*

?|x﹣1|.并利用不等式结论比较 ln (1+x)

2

(3)若不等式

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 综合题;压轴题;分类讨论;转化思想. 分析: 先求函数的定义域 (1)对函数求导,利用导数在区间(0,+∞)的符号判断函数的单调性. (2)根据题目中式子的结构,结合(1)中单调性的结论可考虑讨论①x≥1,f(x)≤f(1) =0②0<x<1,f(x)>f(1)=0 两种情况对原不等式进行求解.

(3)若不等式

对任意 n∈N 都成立?a≤

*

恒成立构

造函数 g(x)= 即可求解 a 的值 解答: 解: (1)

,利用导数判断该函数的单调性,从而求解函数的最小值,

,定义域 x|x>0

∴f(x)在(0,+∞)上是减函数. (2)对

当 x≥1 时,原不等式变为

由(1)结论,x≥1 时,f(x)≤f(1)=0,



成立

当 0<x≤1 时,原不等式变为 由(1)结论 0<x≤1 时,f(x)≥f(1)=0, 综上得,所求不等式的解集是{x|x>0} ∵x>0 时, ,即

,即







(其中 x>﹣1)代入上式中的 x,可得

(3)结论:a 的最大值为 ∵n∈N ,∴
*



,∴



,则 x∈(0,1],∴





∵g(x)递减, ∴x=1 时 ∴a 的最大值为 .

点评: 本题主要考查了利用导数判断对数函数的单调性, 利用单调性解对数不等式, 函数 的恒成立问题的求解,综合考查了函数的知识的运用,要求考生具备综合解决问题的能力. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分) (2012?道里区校级三模)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,△ ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,PA 是过点 A 的直线,且∠PAC=∠ABC. (Ⅰ) 求证:PA 是⊙O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB 于点 E,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求 sin∠BCE.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (Ⅰ)由 AB 为直径,知 , ,由此能证明 PA 为圆的

切线. (Ⅱ) 设 CE=6k, ED=5k, AE=2m, EB=3m, 由 AE?EB=CE?ED, 得 m= k, 由△ AEC∽△DEB, △ CEB∽△AED,能求出 AB=10, ,由此能求出 sin∠BCE. 解答: (Ⅰ)证明:∵AB 为直径, ∴ ∵ , , ,

∴PA⊥AB, ∵AB 为直径,∴PA 为圆的切线.…(4 分) (Ⅱ)解:CE=6k,ED=5k,AE=2m,EB=3m, ∵AE?EB=CE?ED,∴m= k, ∵△AEC∽△DEB

△ CEB∽△AED ∴AB=10, .



在直角三角形 ADB 中, ∵∠BCE=∠BAD,∴

, .…(10 分)

点评: 本题考查与圆有关的比例线线段的应用, 解题时要认真审题, 注意相交弦定理和相 似三角形性质的合理运用. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23. (2013?乌鲁木齐一模)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 将圆 x +y =4 上各点的纵坐标压缩至原来的 ,所得曲线记作 C;将直线 3x﹣2y﹣8=0 绕原 点逆时针旋转 90°所得直线记作 l. (I)求直线 l 与曲线 C 的方程; (II)求 C 上的点到直线 l 的最大距离. 考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 转化思想;圆锥曲线中的最值与范围问题;空间位置关系与距离. 分析: (I)设曲线 C 上任一点为(x,y) ,则(x,2y)在圆 x +y =4 上,代入即可求得 曲线 C 的方程, 写出直线 3x﹣2y﹣8=0 的极坐标方程, 记作 l0, 设直线 l 上任一点为 (ρ, θ) , 则点(ρ,θ﹣90°)在 l0 上,代入化简,再转化为普通方程即可; (II) 设曲线 C 上任一点为 M (2cosψ, sinψ) , 到直线 l 的距离为 d= ,
2 2 2 2

利用三角知识化为

即可求得其最大值;
2 2

解答: (Ⅰ)设曲线 C 上任一点为(x,y) ,则(x,2y)在圆 x +y =4 上, 于是 x +(2y) =4,即
2 2



直线 3x﹣2y﹣8=0 的极坐标方程为 3ρcosθ﹣2ρsinθ﹣8=0,将其记作 l0, 设直线 l 上任一点为(ρ,θ) ,则点(ρ,θ﹣90°)在 l0 上, 于是 3ρcos(θ﹣90°)﹣2ρsin(θ﹣90°)﹣8=0,即:3ρsinθ+2ρcosθ﹣8=0, 故直线 l 的方程为 2x+3y﹣8=0; (Ⅱ)设曲线 C 上任一点为 M(2cosψ,sinψ) , 它到直线 l 的距离为 d= = ,

其中 ψ0 满足:cosψ0= ,sinψ0= . ∴当 ψ﹣ψ0=π 时,dmax= . 点评: 本题考查直线、椭圆的极坐标方程,考查直线与圆锥曲线上点的距离问题,考查学 生对问题的转化能力. 【选修 4-5:不等式选讲】

24. (2013?沈河区校级模拟)设关于 x 的不等式|x﹣1|≤a﹣x. (1)若 a=2,解上述不等式; (2)若上述的不等式有解,求实数 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)若 a=2,关于 x 的不等式即|x﹣1|≤2﹣x,可得 ,由此

求得不等式的解集. (2)关于 x 的不等式即|x﹣1|+x≤a,令 f(x)=|x﹣1|+x,求得函数 f(x)的最小值,可得 实数 a 的范围. 解答: 解: (1)若 a=2,关于 x 的不等式即|x﹣1|≤2﹣x, ∴ ,解得 x≤ ,故不等式的解集为{x|x≤ }.

(2)关于 x 的不等式|x﹣1|≤a﹣x,即|x﹣1|+x≤a. 令 f(x)=|x﹣1|+x= ,故函数 f(x)的最小值为 1,

∴a≥1,即实数 a 的范围为[1,+∞) . 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于基础题.


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