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(新课程)高中数学 3.3《幂函数》1教案 新人教B版必修1

幂函数解析式的求法
对某些幂函数问题来说,能否顺利解答,往往取决于是不是能够求出其解析式.本文就常见 的幂函数解析式的求法归类例析如下: 一、利用幂函数的定义 例1 已知函数 y ? (m ? m ? 1) x
2 m2 ? 2 m ?1

是幂函数,求此函数的解析式.

解:∵ y ? (m ? m ? 1) x
2

m2 ? 2 m ?1

是幂函数,

∴y 可以写成如下形式 y ? x ( ? 是常数).
?

, ∴ m ? m ? 1 ? 1 ,解得 m1 ? ?1 m2 ? 2 .
2

, 当 m1 ? ?1 m2 ? 2 时, m1 ? 2m1 ? 1 ? 2 (2 为常数) m2 ? 2m2 ? 1 ? ?1 有 , (-1 为常数) .
2 2

∴函数的解析式为 y ? x 或 y ? x .
2

?1

评注:幂函数 y ? x (x 为自变量, ? 是常数)的定义强调:系数为1,幂指数为常数.求
?

出参数 m 后要注意检验幂指数是否为常数. 二、利用幂函数的图象 例2 若函数 f (x) ? (a ? 9a ? 19) x
2 a ?9

是幂函数,且图象不经过原点,求函数的解析式.

分析:对于幂函数 y ? x ( ? 是常数)而言,要使幂函数的图象不过原点,则指 数 ? ≤0.
?

解:∵函数 f (x) ? (a ? 9a ? 19) x
2

a ?9

是幂函数,且图象不经过原点,

∴ a ? 9a ? 19 ? 1 ,且 a ? 9 ≤ 0 .
2

∴ a ? 3 或 6. ∴函数解析式为 f (x ) ? x 或 f (x ) ? x . 例3 已知幂函数 f (x) ? x 函数 f (x) ? x
m2 ?1 m2 ?1

?6

?3

(m∈Z)的图象与 x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称.求

的解析式.

解:∵函数的图象与 x 轴、y 轴都无交点, ∴ m ? 1 ≤ 0 ,解得 ?1≤ m ≤1 .
2

又图象关于原点对称,且 m∈Z, ∴m=0. ∴ f (x) ? x .
?1

1

评注:解决与幂函数有关的综合问题时,应抓住突破口,此两例的突破口是图象的特征,只 要抓 住图象特征,将其转化为代数语言,就能顺利解题. 三、利用幂函数的性质 例4 已知幂函数 f (x) ? (t 3 ? t ? 1)x 2 函数,求函数的解析式. 解:∵ f ( x) 是幂函数,∴ t ? t ? 1 ? 1 ,解得 t=-1,t=0 或 t=1,
3

1

(1?4t ?t 2 )

( t ? Z )是偶函数,且在(0,+∞)上为增

∴当 t=0时, f ( x) ? x ,是非奇非偶函数,不满足条件.当 t=1 时, f ( x) ? x 是偶 函数,但在(0,+∞)上为减函数,不满足条件.当 t ? ?1 时,满足题设. 综上所述,实数 t 的值为-1,所求解析式为 f (x) ? x .
2

1 2

?2

评注:涉及求与 幂函数有关的参数问题,掌握幂函数的概念和性质是解题的关键.解含参 问题有时还应注意分类讨论.

幂的十位数 “求一个自然数的高次幂的个位数,应该说是不难的”, 布鲁斯博士接着说,“比方 2002 说求 2002 的个位数.顺便说一下,如果有哪位孩子说他准备用计算机把这个幂算出来, 然后看一下个位数是什么,那我只能对他表示敬意.但我在这里说的不是‘算’出来,而是 ‘求’出来.那位举手的孩子,你想问什么?” “我想知道‘算’与‘求’有什么区别 ?”一个胖嘟嘟的男孩站起来问道. 2002 “很好,等我把 2002 的个位数‘求’出来以后,你就明白了.好,我们 继续.” 博士在投影仪上放了一张胶片,他身后的墙上映出了一张巨大的表格: 1 2 2 4 3 8 4 6 5 2 6 4 7 8 8 6 9 2 ? ?

“一个自然数,若它的个位数是 2,那么它的 1 次幂的个位数仍然为 2,它的 2 次幂的 个位数为 4,3 次幂的个位数为 8,4 次幂的个位数为 6,5 次幂的个位数又为 2 了.”博士 说道, “这张表格的第一行是幂的次数,第二行就是相应次数的幂的个位数.我们看到了什 么?我们看到这些个位数以 2,4,8,6 为基本模块不断地循环,其循环周期为 4.由此我 2 4n+2 2002 们知道,2002 与 2002 的个位数都是 4.令 n=500,即可知 2 002 的个位数为4.” 布鲁斯博士用得意的眼光扫过全场,一阵热烈的掌声随即响起. 8 9 1073 “那么幂的十位数,比方说,1997 ,1998 ,1999 的十位数,该怎样‘求’呢?”胖 男孩又站起来问道,他有意重读了那个“求”字. “唔,唔??,这个问题有点儿麻烦.”博士的额头出现了一些汗珠,“让我们来试试 看??” 博士绞尽脑汁,使出浑身解数,想“ 求”出这三个幂的十位数?? 你能帮他 “求 ”出这三个幂的十位数吗? 提示:注意 1997,1998,1999 都是离 2000 很近的数.

2


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