当前位置:首页 >> 高考 >>

2018年高考数学总复习第十章计数原理、概率第8讲离散型随机变量的均值与方差!

第8讲

离散型随机变量的均值与方差

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.已知离散型随机变量 X 的概率分布列为

X P
则其方差 D(X)=( A.1 ) B.0.6

1 0.5

3

5 0.2

m

C.2.44

D.2.4

解析 由 0.5+m+0.2=1 得 m=0.3,∴E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,∴D(X)=(1 -2.4) ×0.5+(3-2.4) ×0.3+(5-2.4) ×0.2=2.44. 答案 C 2.(2017·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的 种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( A.100 B.200 C.300 D.400 )
2 2 2

解析 设没有发芽的种子有 ξ 粒, 则 ξ ~B(1 000, 0.1), 且 X=2ξ , ∴E(X)=E(2ξ )=2E(ξ ) =2×1 000×0.1=200. 答案 B 3.已知随机变量 X 服从二项分布,且 E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数 n,p 的值 为( ) B.n=6,p=0.4 D.n=24,p=0.1

A.n=4,p=0.6 C.n=8,p=0.3

解析 由二项分布 X~B(n,p)及 E(X)=np,D(X)=np·(1-p)得 2.4=np,且 1.44=np(1-

p),解得 n=6,p=0.4.故选 B.
答案 B 4.已知随机变量 X+η =8,若 X~B(10,0.6),则 E(η ),D(η )分别是( A.6,2.4 C.2,5.6 B.2,2.4 D.6,5.6 )

解析 由已知随机变量 X+η =8, 所以有 η =8-X.因此, 求得 E(η )=8-E(X)=8-10×0.6 =2,D(η )=(-1) D(X)=10×0.6×0.4=2.4. 答案 B 5.口袋中有 5 只球,编号分别为 1,2,3,4,5,从中任取 3 只球,以 X 表示取出的球的最大
2

-1-

号码,则 X 的数学期望 E(X)的值是( A.4 B.4.5

) C.4.75 D.5

1 1 解析 由题意知,X 可以取 3,4,5,P(X=3)= 3= , C5 10

P(X=4)= 3= ,P(X=5)= 3= = ,
1 3 3 所以 E(X)=3× +4× +5× =4.5. 10 10 5 答案 B 二、填空题

C3 3 C5 10

2

C4 C5

2

6 3 10 5

? 1? 6.设 X 为随机变量,X~B?n, ?,若随机变量 X 的数学期望 E(X)=2,则 P(X=2)=________; ? 3?
D(X)=________.
2 1?4 80 1 ? 1? 2?1? ? 解析 由 X~B?n, ?,E(X)=2,得 np= n=2,∴n=6,则 P(X=2)=C6? ? ?1- ? = , 3 ? 3? ?3? ? 3? 243

D(X)=np(1-p)=6× × = .
答案 80 4 243 3

1 3

2 4 3 3

1 7.随机变量 ξ 的取值为 0,1,2.若 P(ξ =0)= ,E(ξ )=1,则 D(ξ )=________. 5 解析 设 P(ξ =1)=a,P(ξ =2)=b, 1 ? ? ?a=5, ? +a+b=1, 5 则? 解得? 1 ? ?a+2b=1, ?b= , ? 3 5 1 3 1 2 2 2 2 所以 D(ξ )=(0-1) × +(1-1) × +(2-1) × = . 5 5 5 5 答案 2 5

8.(2017·合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获 奖的概率是以 a 为首项,2 为公比的等比数列,相应的奖金分别是 7 000 元、5 600 元、4 200 元,则参加此次大赛获得奖金的期望是________元. 1 1 2 4 解析 由题意知 a+2a+4a=1,∴a= ,∴获得一、二、三等奖的概率分别为 , , ,∴所 7 7 7 7 1 2 4 获奖金的期望是 E(X)= ×7 000+ ×5 600+ ×4 200=5 000(元). 7 7 7 答案 5 000
-2-

三、解答题 9.已知从某批产品中随机抽取 1 件是二等品的概率为 0.2. (1)若从该产品中有放回地抽取产品 2 次,每次抽取 1 件,设事件 A:“取出的 2 件产品中至 多有 1 件是二等品”,求 P(A); (2)若该批产品共有 20 件,从中任意抽取 2 件,X 表示取出的 2 件产品中二等品的件数,求随 机变量 X 的分布列和数学期望. 解 (1)记 A0 表示事件“取出的 2 件产品中没有二等品”,

A1 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品”,
则 A1 与 A0 互斥,且 A=A0+A1, ∴P(A)=P(A0)+P(A1)=(1-0.2) +C2×0.2×(1-0.2)=0.96. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2, 该产品共有二等品 20×0.2=4(件),
2 1

P(X=0)= 2 = , P(X=1)=
C16C4 32 , 2 = C20 90 C4 3 C20 95
2 1 1

C16 12 C20 19

2

P(X=2)= 2 = ,
∴X 的分布列为:

X P E(X)=0× +1× +2× = .
12 19 32 95 3 95 2 5

0 12 19

1 32 95

2 3 95

10.(2017·郑州一模)在“出彩中国人”的一期比赛中,有 6 位歌手(1~6)登台演出,由现场 百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星,各家媒体独立地在投票器上选出 3 位出彩候选 人,其中媒体甲是 1 号歌手的歌迷,他必选 1 号,另在 2 号至 6 号中随机的选 2 名;媒体乙 不欣赏 2 号歌手,他必不选 2 号;媒体丙对 6 位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1 至 6 号歌手 中随机的选出 3 名. (1)求媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率; (2)X 表示 3 号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分布列及数学期望. 解 (1)设 A 表示事件:“媒体甲选中 3 号歌手”,B 表示事件:“媒体乙选中 3 号歌手”,C 表示事件:“媒体丙选中 3 号歌手”,则 C4 2 C4 3 P(A)= 2= ,P(B)= 3= , C5 5 C5 5 ∴媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率为
-31 2

P(AB)= ×?1- ?= . 5
C5 1 (2)P(C)= 3= , C6 2 由已知得 X 的可能取值为 0,1,2,3,
2

2 5

? ?

3?

4 ? 25

P(X=0)=P( A

B

2? ? 3? C )=? ?1-5?×?1-5?× ? ? ? ?

?1-1?= 3 . ? 2? 25 ? ?
P(X=1)=P(A

B C )+P( A B C )+P( A

B C)

2 ? 3? ? 1? ? 2? 3 ? 1? ? 2? ? 3? 1 19 = ×?1- ?×?1- ?+?1- ?× ×?1- ?+?1- ?×?1- ?× = , 5? 5 ? 2? ? 5? ? 5? 2 50 5 ? 5? ? 2? ?

P(X=2)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)
2 3 ? 1? 2 ? 3? 1 ? 2? 3 1 19 = × ×?1- ?+ ×?1- ?× +?1- ?× × = , 5 5 ? 2? 5 ? 5? 2 ? 5? 5 2 50

P(X=3)=P(ABC)= × × = ,
∴X 的分布列为

2 3 5 5

1 2

3 25

X P

0 3 25

1 19 50

2 19 50

3 3 25

3 19 19 3 3 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = . 25 50 50 25 2 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 11.从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取 5 次,设摸得白球数为 X,已知 E(X)=3,则 D(X)=( A. 8 5 B. 6 5 4 C. 5 ) D. 2 5

解析 由题意,X~B?5,

? ?

3 ? , m+3? ?

5×3 又 E(X)= =3,∴m=2, m+3 3 ? 3? 6 ? 3? 则 X~B?5, ?,故 D(X)=5× ×?1- ?= . 5 5 ? 5? 5 ? ? 答案 B 12.袋中装有大小完全相同,标号分别为 1,2,3,?,9 的九个球.现从袋中随机取出 3 个球.

-4-

设 ξ 为这 3 个球的标号相邻的组数(例如:若取出球的标号为 3,4,5,则有两组相邻的标号 3,4 和 4,5,此时 ξ 的值是 2),则随机变量 ξ 的均值 E(ξ )为( A. 1 6 1 B. 3 C. 1 2 D. 2 3 )

解析 依题意得,ξ 的所有可能取值是 0,1,2. C7 5 C7·A2 1 且 P(ξ =0)= 3= ,P(ξ =1)= 3 = , C9 12 C9 2
3 2 2

P(ξ =2)= 3= ,
5 1 1 2 因此 E(ξ )=0× +1× +2× = . 12 2 12 3 答案 D 13.马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的分布列如下表:

C7 C9

1

1 12

x p(ξ =x)
请小牛同学计算 ξ

1 ?

2 !

3 ?

的均值.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断

定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 E(ξ )=________. 解析 设“?”处的数值为 x,则“!”处的数值为 1-2x,则 E(ξ )=1×x+2×(1-2x)+ 3x=x+2-4x+3x=2. 答案 2 14.甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则 2 1 判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相 3 3 互独立. (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望). 解 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”,Ak 表示“第 k 局甲获胜”,Bk 表示“第 k 2 1 局乙获胜”,则 P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5. 3 3 (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)·

P(A3)P(A4)
2 2 2 ?2? 1 ?2? 2 1 ?2? 56 =? ? + ×? ? + × ×? ? = . ?3? 3 ?3? 3 3 ?3? 81 (2)X 的可能取值为 2,3,4,5.

-5-

P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)·P(B2)= , P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)
2 =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= , 9

5 9

P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)
10 =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)= , 81

P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= .
故 X 的分布列为

8 81

X P
5 9 2 9 10 81

2 5 9 8 224 . 81 81

3 2 9

4 10 81

5 8 81

E(X)=2× +3× +4× +5× =

15.(2017·绍兴调研)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励, 规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面 值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元.求: ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率; ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元 的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符 合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的 设计,并说明理由. 解 (1)设顾客所获的奖励额为 X. C1C3 1 ①依题意,得 P(X=60)= 2 = , C4 2 1 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为 . 2 ②依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60.
1 1

P(X=60)= ,P(X=20)= 2= ,
即 X 的分布列为

1 2

C3 C4

2

1 2

X

20

60

-6-

P

1 2

1 2

1 1 所以顾客所获的奖励额的数学期望为 E(X)=20× +60× =40(元). 2 2 (2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元.所以,先寻找期望为 60 元的可能方案. 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面值 之和的最大值,所以期望不可能为 60 元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是 面值之和的最小值,所以期望也不可能为 60 元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为 方案 1. 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理,可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20) 的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案 2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为 X1,则 X1 的分布列为

X1 P
1 6 2 3

20 1 6 1 6

60 2 3

100 1 6

X1 的数学期望为 E(X1)=20× +60× +100× =60(元), X1 的方差为 D(X1)=(20-60)2× +(60-60)2× +(100-60)2× =
1 6 2 3 1 6 1 600 . 3

对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为 X2,则 X2 的分布列为

X2 P
1 6 2 3

40 1 6 1 6

60 2 3

80 1 6

X2 的数学期望为 E(X2)=40× +60× +80× =60(元), X2 的方差为 D(X2)=(40-60)2× +(60-60)2× +(80-60)2× =
1 6 2 3 1 6 400 . 3

由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求,但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小,所以 应该选择方案 2.

-7-


相关文章:
2018年高考数学总复习第十章计数原理、概率第8讲离散型....doc
2018年高考数学总复习第十章计数原理概率第8讲离散型随机变量的均值与方差!_高考_高中教育_教育专区。第8讲 离散型随机变量的均值与方差 基础巩固题组 (建议用...
[推荐学习]2018年高考数学总复习第十章计数原理概率第8....doc
[推荐学习]2018年高考数学总复习第十章计数原理概率第8讲离散型随机变量的均值与方差学案_高考_高中教育_教育专区。生活的色彩就是学习 第8讲最新考纲 离散型随机...
(浙江专用)2018年高考数学总复习第十章计数原理、概率....doc
(浙江专用)2018年高考数学总复习第十章计数原理概率第8讲离散型随机变量的均值与方差课时作业-含答案_高考_高中教育_教育专区。第8讲 离散型随机变量的均值与...
[推荐学习]2018年高考数学总复习第十章计数原理概率第8....doc
[推荐学习]2018年高考数学总复习第十章计数原理概率第8讲离散型随机变量的均值与方差课时作业_高考_高中教育_教育专区。生活的色彩就是学习 第8讲 离散型随机变量...
(课标通用)2018届高考数学一轮复习第十章计数原理、概....ppt
(课标通用)2018高考数学一轮复习第十章计数原理概率、随机变量及分布列第8...随机变量及分布列 第八离散型随机变量的均值与方差、 正态 分布 1.理解取...
...章计数原理概率第8讲离散型随机变量的均值与方差课....doc
浙江专用高考数学总复习第十章计数原理概率第8讲离散型随机变量的均值与方差课时作业10142175-含答案_高考_高中教育_教育专区。浙江专用高考数学总复习第十章计数原理...
...变量及分布列第8节离散型随机变量的均值与方差_图文....ppt
课标通用2018高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及分布列第8离散型随机变量的均值与方差_高考_高中教育_教育专区。第十章 计数原理、 概率、 随机...
...变量及其分布第八节离散型随机变量的均值与方差教师....doc
2018高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第八离散型随机变量的均值与方差教师用_高考_高中教育_教育专区。内部文件,版权追溯 内部文件,版权...
...概率随机变量及其分布第八节离散型随机变量的均值.doc
[推荐学习]2018高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第八节...生活的色彩就是学习 第八节考纲要求 离散型随机变量的均值与方差☆☆☆2017 ...
...变量及其分布第8节离散型随机变量的均值与方差课件_....ppt
浙江专版2018高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第8离散型随机变量的均值与方差课件_数学_高中教育_教育专区。抓基础自主学习 第九章 计数原理...
[推荐学习]2018年高考数学总复习第十章计数原理概率第6....doc
[推荐学习]2018年高考数学总复习第十章计数原理概率第6讲离散型随机变量及其分
2018年高考数学总复习第十章计数原理、概率第6讲离散型....doc
2018年高考数学总复习第十章计数原理概率第6讲离散型随机变量及其分布列学案
...变量及其分布第9讲离散型随机变量的均值与方差正态....ppt
2020版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第9讲离散型随机变量的均值与方差正态分布课件_高考_高中教育_教育专区。2020版高考数学一轮复习课件 ...
2018版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量....ppt
2018高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及分布列10.9离散型随机变量的均值方差和正 - 第10章 计数原理、概率、随机变量及分 布列 第9讲 离散型...
...概率随机变量及其分布第8节离散型随机变量的均值与方差.doc
浙江专版2018高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第8离散型随机变量的均值与方差 - 第八离散型随机变量的均值与方差 ...
高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布....ppt
高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布列第五节离散型随机变量的分布列均值与方差课件 - 第五节 离散型随机变量的分 布列、均值与方差 Contents 1 ...
第九节离散型随机变量的分布列、均值与方差_图文.ppt
第九节离散型随机变量的分布列、均值与方差 - 高中数学理科第一轮复习 第十章 计数原理概率、随机变量及其分布
...变量及其分布第八节 离散型随机变量的均值与方差_图....ppt
第十章 计数原理概率、随机变量及其分布离散型随机变量的均值与方差 第八节 微知识小题练微考点大课堂 ★★★2018 考纲考题考情★★★ 考纲要求 真题举例...
...随机变量及其分布 课时达标63 离散型随机变量的均值与方差_....doc
2018年高考数学一轮复习 第九章 计数原理概率、随机变量及其分布 课时达标63 离散型随机变量的均值与方差_高考_高中教育_教育专区。2018 ...
...2018年高考数学总复习第十章计数原理、概率第6讲离....doc
(浙江专用)2018年高考数学总复习第十章计数原理概率第6讲离散型随机变量及其
更多相关标签: