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高一数学必修1,2试题3


2013——2014 学年数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A ? x | x ? mx ? 1 ? 0 , 若A ? R ? ?, 则实数 m 的取值范围是(
2

?

?



A. m ? 4

B. m ? 4

C. 0 ? m ? 4

D. 0 ? m ? 4

2 ? ?? x ? x ? x ? 0 ? 2.已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? a ? a ? 0 ? , h ? x ? ? ? ,则 f ? x ? , h ? x ? 的奇偶性 2 x ? x x ? 0 ? ? ? ?

依次为(

) B.奇函数,偶函数 C.偶函数,偶函数 D.奇函数,奇函数

A.偶函数,奇函数

3 .为了得到函数 y ? f (?2 x) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图象适当平移,这个平移是 ( ) A.沿 x 轴向右平移 1 个单位 C.沿 x 轴向左平移 1 个单位 4.设 f ( x) ? ?

1 个单位 2 1 D.沿 x 轴向左平移 个单位 2
B.沿 x 轴向右平移 )

? x ? 2, ( x ? 10) 则 f (5) 的值为( ? f [ f ( x ? 6)], ( x ? 10)

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5.三棱锥 P ? ABC 的高为 PH ,若三个侧面两两垂直,则 H 为△ ABC 的( A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心



6.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4,5 ,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个球 的表面积是( A. 25? ) B. 50? C. 125? D.都不对 ).

7.设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? ,则在下列说法中,正确的是( A.若 m//n,m ? ? ,n ? ? ,则 ? // ? C.若 m//n,n ? ? ,m ? ? ,则 ? ? ?

B.若 m ? ? ,m ? n,n ? ? ,则 ? // ? D.若 m//n, m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ?
0

8.在△ABC 中, AB ? 2, BC ? 1.5, ?ABC ? 120 ,若绕直线 BC 旋转一周,则所形成的几何 体的体积是( ) A.

9 ? 2

B.

7 ? 2

C.

5 ? 2

D.

3 ? 2

9.如右图所示,正三棱锥 V

? ABC (顶点在底面的射影是底
E

V

面正三角形的中心) 中,D, E , F 分别是 VC , VA, AC 的中点,

P 为 VB 上任意一点,则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是
( ) B. 900 C. 600 D.随 P 点的变化而变化。
A

D F C P B

A. 300

10.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A, B, C , D 四点 为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 11.若函数 y ? ( ) |1? x| ? m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是 A.m≤-1 B.-1≤m<0 C.m≥1



1 2

(

)

D.0<m≤1

12.在四面体 ABCD 中,已知棱 AC 的长为 2 ,其余各棱长都为 1 ,则二面角

A ? CD ? B 的余弦值为(
A.



1 2

B.

1 3

C.

3 3

D.

2 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案写在题中的横线上。 ax ? 1 13. 若 f ( x) ? 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是 。 x?2
14.直二面角 ? - l - ? 的棱 l 上有一点 A ,在平面 ? , ? 内各有一条射线 AB ,

AC 与 l 成 450 , AB ? ? , AC ? ? ,则 ?BAC ?



15.在正三棱锥 P ? ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中, AB ? 4, PA ? 8 , 过 A 作与 PB, PC 分别交于 D 和 E 的截面,则截面 ? ADE 的周长的最小值是________ 16. 设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m?? , n / /? ,则 m ? n ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n 其中正确命题的序号是 . ②若 ? / / ? , ? / /? , m?? ,则 m?? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。
17. (本题10 分)已知:正方形 ABCD 与正方形 ABEF 不共面, N 、 M 分别在

AE 和 BD 上, AN = DM . 求证: MN // 平面 BCE .

18、(本题 12 分)已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证: (1)C1O∥面 AB1D1 ; (2 ) A1C ? 面 AB1D1 .

D1 A1 D O A B B1

C1

C

19.(本题 12 分)已知函数 f ( x) 的定义域是 (0,??) ,且满足 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) , f ( ) ? 1 , 如果对于 0 ? x ? y ,都有 f ( x) ? f ( y ) , (1)求 f (1) ;

1 2

(2)解不等式

f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 。

20.(本题12分)如图,△ABC 为正三角形,CE⊥平面 ABC,BD//CE 且 CE=CA=2BD, M 是 EA 的中点. 求证:(1) DE = DA (2)平面 BDM⊥平面 ECA

21、 (本题12分)设 0≤x≤2,若函数 y= 4

x?

1 2

? a ? 2x ?

3 a2 ? 1 的最小值为 ,求 a 的值。 2 2

22. (本题12分)如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面边长为 2 2 ,侧棱长为 4, E、F 分别为 AB、BC 的中点, EF ? BD ? G 。 (1)求证:平面 B1 EF?平面BDD1 B ; (2)求点 D1 到平面 B1 EF 的距离 d; (3)求三棱锥 B1 ? EFD1 的体积 V。

数学参考答案

CDDBC BCDBC BC 13、(

1 0 ,+ ? ) 14、 60 15、11 16、(1)(2) 2 17. 证明: (方法一) E 连结 AM 并延长交 BC 于 G AN DM AM 则 = = N F NE MB MG 所以 MN // EG ……………………5’ 又 MN ? 平面 BCE A EG ? 平面 BCE 故 MN // 平面 BCE ………………10’ (方法二)过 N 做直线 NH//EB 交直线 AB 于 H 连结 MH BH EN BM 因为 = = HA NA MD 所以 HM//AD//BC………………………5’ 于是 平面 MHN//平面 CBE MN ? 平面 MHN 所以 MN // 平面 BCE …………………10’

B G M D

C

E B H A M C

F

N

D

18、连结

A1C1 ,设 A1C1 ? B1 D1 ? O1 AO1 ,? ABCD ? A1 B1C1 D1 是正方体 ? A1 ACC1 是平行四边形
2分

连结

A1C1 ? AC 且 A1C1 ? AC
又 O1 , O 分别是

A1C1 , AC 的中点,? O1C1 ? AO 且 O1C1 ? AO
4分

? AOC1O1 是平行四边形
C1O║ AO1 , C1O║ 面 AO1

?



AB1 D1 , C1O ? 面 AB1 D1
6分

AB1 D1 ? 面 A1 B1C1 D1 ? CC1 ? B1D!

(2)? CC1

又? A1C1

? B1 D1 , ? B1D1 ? 面A1C1C
8分

即A1C ? B1D1

同理可证

A1C ? AB1 , AB1 ? B1

10 分

又 D1 B1 ?

? A1C ? 面 AB1 D1
19、 (1)令 x ? y ? 1 ,则 f (1) ? f (1) ? f (1), f (1) ? 0 (2) f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 f ( )

12 分

3分 4分

1 2

1 1 f (? x) ? f ( ) ? f (3 ? x) ? f ( ) ? 0 ? f (1) 2 2 x 3? x x 3? x f (? ) ? f ( ) ? f (1) , f (? ? ) ? f (1) 2 2 2 2

8分

? x ?? 2 ? 0 ? ?3 ? x ?0 , ?1 ? x ? 0 则? ? 2 ? x 3? x ?? 2 ? 2 ? 1 ?
20. 证明: (1)如图设 N 为 AC 的中点,连结 BN 、 MN . 因为 △ABC 为正三角形, 所以 BN ? AC 又因为 MN // EC , BD // EC

12 分

E

D M C N A B

1 CE ? BD 2 故 四边形 MNBD 是平行四边形, BN // DM …………4’ 由于 BN ? AC , BN ? EC 所以 BN ? 平面 AEC 所以 MD ? 平面 AEC 所以 MD ? AE 故 DE = DA …………………………………………8’ (2)由(1)知 MD ? 平面 AEC , MD ? 平面 BDM
所以 MN // BD 且 MN ?

所以 平面 BDM⊥平面 ECA…………………………………………12’ 21、 y ?
2 1 x 2 ? a ? 1 …………4’ 2

?

?

? x ? ?0,2?
? 2 x ? ?1,4? …………5’
? 当 a ? 1 时,由

1 ?1 ? a ?2 ? 1 ? 3 解得 a ? 0 或 a ? 2 (舍)…………7’ 2 2

当 1 ? a ? 4 时,y 最小值为 1,不符合题意…………9’

1 ?4 ? a ?2 ? 1 ? 3 解得 a ? 5 或 a ? 3 (舍)…………11’ 2 2 综上: a ? 0 或 a ? 5 …………12’
当a ? 4由 22、如图,连结 AC ∵正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面呈正方形 ∴AC⊥BD 又 AC⊥ D1 D ∴AC⊥平面 BDD1 B1 ∵E、F 分别为 AB、BC 的中点 ∴EF//AC ∴EF⊥平面 BDD1 B ∴平面 B1 EF?平面BDD1 B1 4 分

(2)在对角面 BDD1 B1 中,作 D1 H?B1G ,垂足为 H ∵平面 B1 EF?平面BDD1 B1 ,且平面 B1 EF ? 平面 BDD1 B1 ? B1G ∴ D1 H?平面B1 EF,且垂足为H ∴ D1 H 为点 D1 到平面 B1 EF 的距离 在 Rt△ D1 HB1 中, D1 H ? D1 B ? sin ?D1 B1 H
? D1 B1 ? 2 A1 B1 ? 2 ? 2 2 ? 4 BB 4 sin ?D1 B1 H ? sin ?B1GB ? 1 ? GB1 17 ? D1 H ? 4 ? 4 16 17 ? 17 17
8分

(3)

V ? V B1 ? EFD1 ? V D1 ? B1EF ?

1 ? D1 H ? S ?B1EF 3

1 16 1 ? ? ? 2 ? 17 3 17 2 16 ? 3 ?

12 分


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