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高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.1导数与函数的单调性教材基础素材北师大版选修2


3.1.1 导数与函数的单调性 导数是依照实际问题为背景提出的概念 .利用函数的导数可以研究函数的许多性质 ,这 节课我们就利用导数来研究函数的单调性. 高手支招 1 细品教材 一、函数的单调性 状元笔记 如何判断一个函数是增函数还是减函数呢? 可以根据定义,在区间内任取两个数 x1,x2,先假设 x1<x2,然后比较 f(x1)与 f(x2)的大小,f(x1) <f(x2)则是增函数;f(x1)>f(x2)则是减函数. 1.增函数和减函数 (1)增函数:对于任意的两个数 x1,x2∈I,如果当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么函数 f(x) 就是区间 I 上的增函数. (2)减函数:对于任意的两个数 x1,x2∈I,如果当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么函数 f(x) 就是区间 I 上的减函数. 2.函数的单调性 如果函数 f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说 f(x)在这个区间上具有单调性. 二、用导数判断函数单调性的法则 状元笔记 一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大 ,说明函数在这个范围内变化 得快,这时,函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就较“平缓”. 1.切线的斜率和 f(x)的导数的关系 (1)切线的斜率为正,f′(x)>0;切线的斜率为负,f′(x)<0. (2)用曲线的切线的斜率来理解法则.当切线斜率非负时,切线的倾斜角小于 向上增加状态;当切线斜率为负时,切线的倾斜角大于 ? 、小于 π ,函数曲线呈向下减小状 2 ? ,函数曲线呈 2 态. x -x 【示例】 证明函数 f(x)=e +e 在[0,+∞)上是增函数. 思路分析:只需证明 f′(x)在[0,+∞)上大于等于零恒成立. 证明:f′(x)=(e )′+( x x x 2 1 1 ?1 x x -x ( e ) ? )′=e +( )=e -e = , x x x e e e ∵当 x∈[0,+∞)时,e ≥1,∴f′(x)≥0. x -x ∴f(x)=e +e 在[0,+∞)上为增函数. 2.用导数判断函数的单调性 状元笔记 对于可导函数 f(x)来说,f′(x)>0 是函数 f(x)在(a,b)上为单调增函数的充分不必要 3 条件,f′(x)<0 是函数 f(x)在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数 f(x)=x 在 R 上为增函数,但 f′(0)=0,所以在 x=0 处不满足 f′(x)>0. (1)一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 :在某个区间(a,b)内,如果 f′(x) >0,那么函数 f(x)在这个区间内单调递增;如果 f′(x)<0,那么函数 f(x)在这个区间内单 调递减. 2 【示例】 f(x)=5x -2x 的单调增区间为 ?( ) 1 1 ,+∞) 5 1 D.(-∞, ? ) 5 A.( B.(-∞, 1 ) 5 C.( ? 1 ,+∞) 5 思路分析:求 f′(x),解不等式 f′(x)>0. 答案:A (2)利用导数判断函数单调性的一般步骤: ①求导数 f′(x); ②在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0; ③根据②的结果确定函数 f(x)的单调区间. 【示例】求下列函数的单调区间. 4 2 2 (1)y=x -2x +6;(2)y=-lnx+2x . 思路分析:求出导数 y′,分别令 y′>0 和 y′<0,解出 x 的取值范围,便可得出单调区间. 3 3 解:(

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