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10.构造法解题方法的探讨(周小电)








读 



构 造 方 程 

根据题设条件 。利用 方程 的根  的定义 、根的判别式 、韦达定理等  相关知识构造出方程或方程组 ,然  后 利用方程或方程组 的有关 知识 ,   使 问题得以解决.  
例 1 已 知  : b 、c∈R , 有 ( ) )则    
A.b  >4 c a  B.b ≥ 4 c 2 a 

构造法解题方法的探讨 
文/ 连平县连 平中学 周小 电 
。 _】 成立  ,2 恒 1

_ 1 (、 _ , n 

?  



所 以 

+  

≤  

右端的最大值为一5  



故 选 C  .

V ( / ) ( 2) 、 + 9 ) 、 7   V-  ? / (    +


法二 :看成关于 。的不 等式 ,  

9 .当且仅 当b a ( > ) = aa O 时等号成 

C.  < a   b 4c

D. 2 4 c b < a   ̄



法一:依题设有 15  2一 "
、   是实 系数 一元 二次 方  /

  由,0 >0 ( ) ,且,  >0可求得 0 立 ,故 由 1 (1) 1  
的范 围 .  


+  

兰 A0 :  : > 得  

、7 / 

V   2

b 、  +=. ./ c 0  
? .

、   ,A 1 / : ,即 = / 时 ,等  、丁
四 、构 造 复 数 

法 三 :设 _   + 1 厂 )  + ,结 合  (

号成立.  



程   一x c O的 一个 实 根 . b+ =  
‘ . .

二次函数图像 ,分对称轴在区间的 
内外 三 种情 况 进 行讨 论 .  

△ = 一 ) 4c 0 .   4c  (b  a / ,.  ̄ a , >   > b

在解决某些数学问题 时,把问  题转化为复数 的各种表达形式 ,然 

故 选 B  .

法 四: _    + ,() - x  令厂 ) ( lgx = a , 则结合 图形 f )知原 问题 等价 于  像 ,  ) ( ( ≥g  1)


法二 : 去分母 , 移项 , 两边平 方 
得 :( b  2a+ O c≥2 5 ?+ 5 - ) 5 21∞+  ?ac   =
1 a =2 a . 0 c 0 c 
? . .

后利用复数有关 的性质 ,从而使问 
题简化的解题思想方法 ,称为构造 
复数法.  

即 ≥手 n一 .  

三 、构 造 向 量 

b≥4c 2 n .故 选 B  .

两 个 向量 的 数 量 积 有 一 个 性 

例 4求证 :/ : 、 

+/ 、 



解法一通过简单转化 ,  

敏锐地抓住 了数与式的特点 ,运用 

方程的思想使问题得 到解决 :解法 
二是将 b 转化 为 n z 、c的函数 ,再  运用重要 不等式解决 ,思路 清晰 ,  
水到渠成.  
二 、构 造 函 数 

质 ? l?]  中 为   :   a Ic ( 0 向 b Ibo 其 = s 量。 的 角 , .= Ii 与b 夹 )』i l?I   Ia I  
?

+、 (- )   +、 (  ) (- ) / 1x  + / 1 2 1y  +
≥2 /2. 、f  

瓣丽 从不等式左边的结构特 
复 数 1 + i 2 + 1 ),Z 1 +   y,   (   3     z   = y,Z 1 + 1y  的和 ,又 因 为  i 4   (_ )模 =

I s ,又一 ≤c5≤1 c OI o l o   ,则易得  点可联想到复数的模 ,将左边看成 

到 以下 推 论 :  
()?   1  ≤

在 解某 些 数 学 问题 时 .构 造 一 

(  I ? 2 ≤ I )    
( )当 。与 6同向时 , ?   3    =

Z  3 = +i I  4 2  2 2 ,于是由I  l    zlzI l+ 2+ I  I   + ≥ I ,可得  、 , + /21 )   -4 4 + / , 、  (  xO Y ̄     + —  + / f
、 ( 2 1  ≥、 2+ = 、 2. / 1 +  )  )( / 22 2 /  
构 造法解题重在 “ 造”. 构 在  解题时 ,若 能启 发学生从多 角度 ,  
多 渠道 进 行 广 泛 的联 想 ,就 会得 到 

个适当的函数 .把问题转化为研究  这个辅助函数性质的方法 叫做构造  函数 法. 造 函数 法是运用 函数概  构 念 和性 质构造 辅助 函数 来解题 . 构  造 函数 的过程 要求 我们 敏锐 地观  察 .正确地判断 、合理地选择恰 当  的函数 .并且 准确 地运 用 函数性 
质.  


I-l当 与b 向 ,     l; 。 反 时 ?  li = l I a .    
( 当n 共 时  i   4 ) 与b 线 ,I I .=
例 3 :证 明 、  +"2 9 x) / k— - 2 /( —  

许多构 思巧妙 ,新颖独特 ,简捷有 
效 的解 题 方 法 .而且 还 能 加 强 学 生 

例2 :若不等式 + l  + ≥0对 
于 一 切  ∈ ( , 1 】成 立 ,则 Ⅱ 0   

≤9 ,并指出等号成立的条件.  

对 知识 的理解 .促 使学 生熟 悉代 
数 、几何等基本知识技能 ,并多方  面加 以综合利 用. 运用构造 法解题 



不等式左边可看成、  /

与  和 V  与 X 9 x /-  ̄两两 乘积 的 

的最小值是 ( )    
A. 0  B.一 2  c.一 —   D.   一3

能培养学生思维的灵活性 ,提高学 
生 分析 问题 的创 新 能 力 ,也 可从 中 

和 , 而联 想 到 数 量 积 的坐 标 表 示 , 从  

将左边看成向量  ( / ,/ ) : 、   、   与 


欣赏数学之美 ,感受解题乐趣.  
责任 编 辑 罗 峰 



法一 :分 离变量 ,有 

(,/   、 

) 的数量积, .   又三 ≤

18 2  

师道 ?教研

21 0 0年第 6期 


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