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高中数学探究性教学案例及反思

高中数学探究性教学案例及反思
———谈直线与平面垂直的判定

经过新课程改革,我们对中学数学新教材中如何开展探究性学习 有了更加深刻的认识。探究性课堂教学有两个特征,一是教学内容的 问题化,即以问题为中心组织教学内容;二是教学过程的探索化,即 教师为学生创设学习情境,提供解决问题的依据材料,由学生独立地 探究发现问题和解决问题。 本文将通过直线与平面垂直的判定做一次 教学案例反思。 一、教学案例 探究直线与平面垂直的判定定理 创设情境 猜想定理:某公司要安装一根 8 米高的旗杆,两位工人 先从旗杆的顶点挂两条长 10 米的绳子,然后拉紧绳子并把绳子的下 端放在地面上两点(和旗杆脚不在同一直线上)。如果这两点都和旗 杆脚距离 6 米,那么表明旗杆就和地面垂直了,你知道这是为什么 吗? 学生对旗杆问题既熟悉又感兴趣,马上陷入深深思考之中。 师:请同学们拿出一块三角形纸片(课前已准备好),我们一起做一 个试验:过三角形的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD(如图 1),将翻 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) 问题 1:(1)折痕 AD 与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直?

生活动:折纸试验,动手操作、探究、确认并相互讨论交流。 师:如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直?哪位同学 来说说。 生 1:当折痕 AD 是 BC 边上的高时,与桌面垂直。 师:还有其他看法吗? 生 2:当 B、D、C 不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕 AD 才 不偏不倚地站立着,即 AD 与桌面垂直(如图 2),其它位置都不能 使 AD 与桌面垂直。 师:大家同意这两位同学的说法吗? 生异口同声说:同意! 师: 同学们做的很好! 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时, B、 且 D、C 不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕 AD 才与桌面垂直。 (问题 2)在你翻折纸片的过程中,纸片的形状发生了变化,这 是变的一面,那么不变的一面是什么呢?(可从线与线的关系考虑) 生:折痕 AD 与 BD、CD 的垂直关系。 师:很好! 问题 3:如果我们把折痕抽象为直线 ,把 BD、CD 抽象为直线 , 把桌面抽象为平面 (如图 3),那么你认为保证直线 与平面 垂直的 条件是什么? 引导学生操作:将纸片绕直线 AD(点 D 始终在桌面内)转动,使得 直线 CD、BD 不在桌面所在平面内。(此处引导学生认识到直线 CD、 BD 都必须是平面内的直线)教师多媒体课件动态演示

师问:直线 AD 现在还垂直于桌面所在平面吗? 生:不垂直,只有直线 CD、BD 都在平面内才垂直。 通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内, 从而更凸现出直 线与平面垂直判定定理的核心词:平面内两条相交直线。 师:恩,说的对! 问题 4:如果将图 3 中的两条相交直线 、 的位置改变一下,仍 保证 ,(如图 4)你认为直线 还垂直于平面 吗? 生:垂直! 师:为什么垂直? 生:要判定一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平 面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直,与它们的位置关系没 关。 师:也就是说这两条相交直线是否和已知直线有公共点,这是无 关紧要的。好了,根据试验,请你给出直线与平面垂直的判定方法。 (学生叙写判定定理,给出文字、图形、符号这三种语言的相互 转化,教师点评) 问题 5:(1)与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理 的优越性体现在哪里? (2)你觉得定义与判定定理的共同点是什么? 生 1:在定义中,要有无数条直线与平面垂直才能说明直线与平 面垂直,但在判定定理中,只要在平面找两条与平面垂直的相交直线 即可,所以简单易行。

师:说的很好!其他同学同意吗? 生:同意! 师:它们的共同点呢? 生 2: 由直线与直线垂直得直线与平面垂直。 师:也就是将空间问题转化为平面问题,线面垂直转化为线线垂 直。 问题 6:现在,你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗?为什 么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上?如果安装完了, 请你去检验旗杆与地面是否垂直,你有什么好方法? 学生纷纷发表自己的看法,课堂气氛非常活跃。 二、课后反思 本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直 线、平面平行的判定及其性质之后进行的,其主要内容是直线与平面 垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。本案例是通过折 纸试验来感悟一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判 定直线与平面垂直了,它把原来定义中要求与任意一条(无限)垂直 转化为只要与两条 (有限) 相交直线垂直就行了, 概言之, 线不在多, 相交就行。在折纸试验之前以学生日常生活中熟悉的问题情境引入, 而在探究完线面垂直定理后用学到手的知识解释实际生活中的问题, 增强学生用数学的意识,同时通过提出“为什么要求绳子在地面上两 点和旗杆脚不在同一直线上?” 从而来深化对直线与平面垂直判定定 理的理解。 同时在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推

理能力,同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直 转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想. 课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义,进而 通过辨析讨论,深化对定义的理解。进一步,在一个具体的数学问题 情境中猜想直线与平面垂直的判定定理,并在教师的指导下,通过动 手操作、观察分析、自主探索等活动,切身感受直线与平面垂直判定 定理的形成过程,体会蕴涵在其中的思想方法,从而突破重难点。 新课程提出要赋予学生更多自主活动、实践活动、亲身体验的机 会,以丰富学生的直接经验和感性认识,宗旨在引导学生通过动口、 动手与动脑,在亲自体验过程中获得发展,本案例符合新课标理念。 但一节课的时间很有限, 处理好探究学习的时间与自主技能训练的时 间之间的关系,是提高上课效率的关键。一节课中,如果教师为了让 学生多点的时间进行笔头练习,自己过早地抛出题设结论和过程,就 会使学生失去探究学习和求知的兴趣,这与新课标的精神不相符。因 此,可将一个问题作为一个探究单位,进行局部探究性学习。本案例 是由一个主干问题串联起几个问题组成“问题节”,以“问题节”组 织教学,可解决时间受限问题,在课堂教学中有效开展局部探究性学 习。另外探究的内容要与学生的现有知识水平相近,太简单没有探究 价值,太难学生不愿参与,总之素材的选取要贴近生活,难易适中。 总之,在教学中,教师只有重视知识的形成过程,创设富于趣味 性、探索性的问题情境,让学生经历数学发现、数学探究、数学创造 的过程,从而亲身体验数学探究的激情和愉悦


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