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第三节空间的平行关系教师版

2013 届

兖州实验高中

高三数学总复习

第八章

第三节

李中华

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※【知识梳理】
1.直线与平面的位置关系 直线 a 和平面 α 的位置关系有 统称直线在平面外. 2.直线和平面平行的判定

空间中的平行关系





,其中



(1) 面









线





,称这条

直线与这个平面平行;

※【典例讲练】※【课后练习】 ※【典例讲练】
题型一 直线与平面、平面与平面的位置关系
【例 1】已知 m,n 是不同的直线,α,β 是不重合的平面,给出下列命题: ①若 m∥α,则 m 平行于平面 α 内的任意一条直线 ②若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n

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③若 m⊥α,n⊥β,m∥n,则 α∥β ④若 a∥β,m?α,则 m∥β 上面命题中,真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). [分析] 根据平行关系和判定方法,逐条确定. [解析] 若 m∥α ,则 m 平行于过 m 所作平面与α 的交线,并非α 内任一条直线,故①错; 若α ∥β ,m ?α ,n ?β ,则可能 m∥n,也可能 m、n 异面,故②错;
? ? m∥n ?

m⊥α? ?

? ?n⊥α?

n⊥β? ?

?

?α∥β ,③正确;

α∥β ? ??m∥β,④正确.故应填③④. m?α? [答案] ③④ [点评] 证明线、面平行关系,其主要依据为线面平行的定义、定理、推理等.

〖跟踪练习一〗
若有直线 m、n 和平面 α、β,下列四个命题中,正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β C.若 α⊥β,m?α,则 m⊥β D.若 α⊥β,m⊥β,m? α,则 m∥α [答案] D [解析] 如图(1),β∥α,m?β,n?β,有 m∥α,n∥α,但 m 与 n 可以相交,故 A 错; )

如图(2),m∥n∥l,α∩β=l,有 m∥β,n∥β,故 B 错; 如图(3),α⊥β,α∩β=l,m?α,m∥l,故 C 错.故选 D. [点评] D 选项证明如下: α⊥β 设交线为 l,在 α 内作 n⊥l,则 n⊥β, ∵m⊥β,∴m∥n,∵n?α,m? α,∴m∥α.

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题型二 直线与平面平行的判定与性质
【例 2】 已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一个平面内,P、Q 分别是对角线 AE、BD 上的点,且 AP=DQ. 求证:PQ∥平面 CBE.

[证明] 方法 1:如下图,作 PM∥AB 交 BE 于点 M,作 QN∥AB 交 BC 于点 N,则 PM ∥QN.



PM EP QN BQ = , = ,∵AP=DQ,∴EP=BQ, AB EA CD BD

又∵AB=CD,EA=BD,∴PM=QN.又∵PM∥QN, ∴四边形 PMNQ 是平行四边形,∴PQ∥MN. 综上所述 PQ? 平面 CBE,MN?平面 CBE,PQ∥MN,

∴PQ∥平面 CBE. 方法 2:作 PR∥BE 交 AB 于点 R 连接 QR AP AR ∵PR∥BE,∴ = , PE RB 又∵两矩形全等 DQ=AP, AR DQ ∴BQ=PE,∴ = ,∴RQ∥AD,∴RQ∥BC, RB BQ ∴平面 PQR∥平面 EBC,∴PQ∥面 EBC

[点评] 欲证 PQ∥平面 EBC,一种方法是用判定定理;另一种方法是用面面平行的性 质定理.用判定定理时,找出平面内与 PQ 平行的直线是关键.

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AP DQ = 可过 P、Q 作 AB 的平行线构造平行四边形(如证法 1). AE DB

也可由直线 AE 与 PQ 相交确定一个平面与平面 EBC 有公共点 E,故必有一条交线,连 AQ,并延长交 BC 于 G,则只须证明 PQ∥EG,也可由异面线段 AE,BD 上的比例关系, 找一条与二者均相交的线段, 取相同的比例点构造相似关系得出平行关系, 如取 AB 上点 R, AR AP 使 = ,则平面 PRQ∥平面 EBC(即证法 2)等等. AB AE

〖跟踪练习二〗
如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱,侧棱长为 1,底面边长为 2,E 是棱 BC 的中点.

求证:BD1∥平面 C1DE. [分析] 本题考查线面平行的判定定理及性质定理的应用,考查推理论证能力实践能力及 ?°转化?±这一数学思想的应用. ?°由已知想性质, 由求证想判定?±是证明该类问题的基 本思路. [证明] 证法一:连接CD1交DC1于F,连接EF, ∵F是CD1中点,E为BC中点, ∴EF∥BD1,又EF?平面C1DE,BD1?面C1DE, ∴BD1∥平面C1DE. 证法二:取 B1C1 中点 E1,连接 D1E1,BE1, 则 D1E1∥DE,BE1∥C1E, ∴D1E1∥平面 C1DE,BE1∥平面 C1DE. 又 D1E1∩BE1=E1, ∴平面 BD1E1∥平面 C1DE. 又 BD1?平面 BD1E1,∴BD1∥平面 C1DE. [点评] ①判定定理证线∥面是最常用方法.②可转化为面∥面?线∥面.

题型三 平面与平面平行的判定与性质
【例3】如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1中,E在AB1上,F 在 BD 上,且B1E=BF,

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求证:EF∥平面 BB1C1C. 证法一:连接 AF 并延长交 BC 于 M,连接 B1M, AF DE ∵AD∥BC,∴△AFD∽△ MFB,∴ = . FM BE 又∵BD=B1A,B1E=BF,∴DF=AE. ∴ AF AE = .∴EF∥B1M,B1M?平面 BB1C1C. FM B1E

∴EF∥平面 BB1C1C. 证法二:作 FH∥AD 交 AB 于 H,连接 HE. ∵AD∥BC,∴FH∥BC,BC?BB1C1C. ∴FH∥平面 BB1C1C. BF BH 由 FH∥AD 可得 = . BD BA B1E BH 又 BF=B1E,BD=AB1,∴ = . AB1 BA ∴EH∥B1B,B1B?平面 BB1C1C. ∴EH∥平面 BB1C1C,EH∩FH=H. ∴平面 FHE∥平面 BB1C1C,EF?平面 FHE. ∴EF∥平面 BB1C1C. [点评]证法一用了证线面平行,先证线线平行.证法二则是证线面平行,先证面面平行,然 后说明直线在其中一个平面内.

〖跟踪练习三〗

如图 , 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中, S是B1D1的中点, F, E, G分别是BC, DC 和SC 的 中点,求证:平面EFG∥平面 BB1D1D.

证明: E为中点, F为中点, EF为中位线, 则EF∥BD, 又EF?平面BB1D1D, BD?平面BB1D1D, 故EF∥平面BB1D1D;连接SB,同理可证EG∥平面BB1D1D,又EF∩EG=E,得平面EFG∥ 平面BB1D1D.

题型四

探索性问题

[例 4] 如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=60° ,PA=AC=a,PB=

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PD= 2a,点 E 在 PD 上,且 PE∶ED=2∶1.

(1)证明:PA⊥平面ABCD; (2)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?如果存在,请求出此时PF∶FC的值;如果 不存在,请说明理由. [解析] (1)因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=a. 在△PAB中,由PA2+AB2=2a2=PB2,知PA⊥AB. 同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD. (2)连接BD,则平面PBD与平面AEC的交线为EO,在△PBD中作BM∥OE交PD于M,则BM ∥平面AEC, 在△PCE中过M作MF∥CE交PC于F, 则MF∥平面AEC, 故平面BFM∥平面AEC, 所以BF∥平面AEC,F点即为所求的满足条件的点.由条件O为BD的中点可知,E为MD的中 点. 又由PE∶ED=2∶1,∴M为PE的中点,又FM∥CE,故F是PC的中点,∴此时PF∶FC =1.

〖跟踪练习四〗
如图,在四棱锥 S-ABCD 中,SA=AB=2,SB=SD=2 2,底面 ABCD 是菱形,且∠ ABC=60° 为 CD 的中点. ,E

(1)求证:CD⊥平面SAE; (2)侧棱SB上是否存在点F,使得CF∥平面SAE?并证明你的结论. [分析] (1)先利用勾股定理和线面垂直判定定理证明直线SA⊥底面ABCD, 再证明直线EA⊥ CD,证明直线与平面垂直时,必须证明直线与平面内的两条相交直线垂直. (2)先回答问题,再证明充分条件.探究的点往往是特殊点(中点). [证明] (1)∵ABCD是菱形,∠ABC=60°, ∴AB=AC=AD=2,∴△ACD为正三角形. 又E为CD的中点,∴CD⊥AE. ∵SA=AB=AD=2,SB=SD=2, 则有SB2=SA2+AB2,SD2=SA2+AD2, ∴SA⊥AB,SA⊥AD.

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又∵AB∩AD=A,∴SA⊥底面ABCD,∴SA⊥CD. 由CD⊥AE,SA⊥CD,AE∩SA=A,∴CD⊥平面SAE. (2)侧棱SB上存在点F,当F为SB的中点时,使得CF∥平面SAE.

证明:取SA的中点N,连NF,NE, ∵F为SB的中点,∴FN綊AB, 又E为CD的中点,AB∥CE, ∴FN綊CE,∴CFNE为平行四边形, ∴CF∥EN, 又∵EN?平面SAE,CF?平面SAE, ∴CF∥平面SAE. 即当F为侧棱SB的中点时,CF∥平面SAE.

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※【课后练习】 第八章 第三节 空间中的平行关系
一、选择题 1.一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平面 α 的 位置关系是 A.l∥α C.l 与 α 相交但不垂直 B.l⊥α D.l∥α 或 l?α ( )

解析:l∥α 时,直线 l 上任意点到 α 的距离都相等,l?α 时,直线 l 上所有的点到 α 的距离都是 0,l⊥α 时,直线 l 上有两个点到 α 距离相等,l 与 α 斜交时,也只能有两点到 α 距离相等. 答案:D 2. (浙江省杭州第十四中学 2012 届高三 12 月月考)若 a , b , c , d 是空间四条直线.如果 “ a ? c , b ? c , a ? d , b ? d ”,则 (A) (C)
a // b

且 c // d 或者 c // d

(B) a , b , c , d 中任意两条可能都不平行 (D) a , b , c , d 中至少有一对直线互相平行

a // b

【答案】D 3.设 α、β、γ 为三个不同的平面,m、n 是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n? γ,且________,则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ. 可以填入的条件有 A.①或② C.①或③ B.②或③ D.①或②或③ ( )

解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当 n∥β,m?γ 时,n 和 m 在同一平面内, 且没有公共点,所以平行,③正确. 答案:C 4.(2012· 荆州模拟)设 x、y、z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、z

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均为直线;②x、y 是直线,z 是平面;③z 是直线,x、y 是平面;④x、y、z 均为平面,其 中使“x⊥z 且 y⊥z?x∥y”为真命题的是 A.③④ C.②③ B.①③ D.①② ( )

解析:根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确. 答案:C 5.(2012· 大连模拟)已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,有下列命 题: ①若 m?α,n∥α,则 m∥n; ②若 m∥α,m∥β,则 α∥β; ③若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α; 其中真命题的个数是 A.1 C.3 B.2 D.0 ( )

解析:①错,两直线可平行或异面;②两平面可相交,只需直线 m 平行于两平面的交 线即可,故命题错误;③错,直线 n 可在平面内; 答案:D 6.若 α、β 是两个相交平面,点 A 不在 α 内,也不在 β 内,则过点 A 且与 α 和 β 都平 行的直线 A.只有 1 条 C.只有 4 条 B.只有 2 条 D.有无数条 ( )

解析:据题意如图,要使过点 A 的直线 m 与平面 α 平行,则据线面 平行的性质定理得经过直线 m 的平面与平面 α 的交线 n 与直线 m 平行, 同理可得经过直线 m 的平面与平面 β 的交线 k 与直线 m 平行,则推出 n ∥k,由线面平行可进一步推出直线 n 与直线 k 与两平面 α 与 β 的交线平 行,即要满足条件的直线 m 只需过点 A 且与两平面交线平行即可,显然 这样的直线有且只有一条. 答案:A 二、填空题 7.(2012· 会宁模拟)已知 l,m 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题: ①若 l?α,m?α,l∥β,m∥β,则 α∥β; ②若 l?α,l∥β,α∩β=m,则 l∥m; ③若 α∥β,l∥α,则 l∥β; ④若 l⊥α,m∥l,α∥β,则 m⊥β.

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其中真命题是________(写出所有真命题的序号). 解析:当 l∥m 时,平面 α 与平面 β 不一定平行,①错误;由直线与平面平行的性质定 理,知②正确;若 α∥β,l∥α,则 l?β 或 l∥β,③错误;∵l⊥α,l∥m,∴m⊥α,又 α∥ β,∴m⊥β,④正确,故填②④. 答案:②④ 8. (江苏省南京师大附中 2012 届高三 12 月检试题)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②垂直于同一直线的两条直线相互平行; ③平行于同一直线的两个平面相互平行; ④垂直于同一直线的两个平面相互平行 上面命题中,真命题的序号是 ... 【答案】5④ 9.已知 a、b、l 表示三条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平面,有下列四个命 题: ①若 α∩β=a,β∩γ=b,且 a∥b,则 α∥γ; ②若 a、b 相交,且都在 α、β 外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则 α∥β; ③若 α⊥β,α∩β=a,b?β,a⊥b,则 b⊥α; ④若 a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,则 l⊥α. 其中正确命题的序号是________. 解析:①如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,可令平面 A1B1CD 为 α,平面 DCC1D1 为 β,平面 A1B1C1D1 为 γ,又平面 A1B1CD∩平面 DCC1D1=CD,平面 A1B1C1D1∩平面 DCC1D1=C1D1,则 CD 与 C1D1 所在的直线分别表示 a, b,因为 CD∥C1D1,但平面 A1B1CD 与平面 A1B1C1D1 不平行,即 α 与 γ 不平行,故①错误.②因为 a、b 相交,假设其确定的平面为 γ,根据 a∥ α,b∥α,可得 γ∥α.同理可得 γ∥β,因此 α∥β,②正确.③由两平面垂直,在一个平面内 垂直于交线的直线和另一个平面垂直,易知③正确.④当 a∥b 时,l 垂直于平面 α 内两条 不相交直线,不可得出 l⊥α,④错误. 答案:②③ 三、解答题 10.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,侧面对角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F,且 B1E=C1F. 求证:EF∥平面 ABCD. (写出所有真命题的序号) .

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证明:分别过 E、F 作 EM∥BB1,FN∥CC1,分别交 AB、BC 于点 M、N,连结 MN. 因为 BB1∥CC1, 所以 EM∥FN. 因为 B1E=C1F,AB1=BC1, 所以 AE=BF.

由 EM∥BB1 得 由 FN∥CC1 得

AE EM = , AB1 BB1

BF FN = . BC1 CC1

所以 EM=FN,于是四边形 EFNM 是平行四边形. 所以 EF∥MN.又因为 MN?平面 ABCD, 所以 EF∥平面 ABCD.


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