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第八章第1讲直线及其方程

第 1 讲 直线及其方程 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角与斜率是如何定义的? 提示:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的 角 α 叫做直线 l 的倾斜角. 若直线的倾斜角 α 不是 90° ,则斜率 k=tan α. (2)直线的斜率公式是什么? y2-y1 提示:若由 A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于 x 轴,则 k= . x2-x1 温馨提示: (1)当直线与 x 轴平行或重合时, 规定它的倾斜角为 0° .倾斜角的范围为[0, π). (2)斜率 k 是一个实数,当倾斜角 α≠90°时,k=tan α.直线都有倾斜角,但并不是每条直 线都存在斜率,倾斜角为 90° 的直线无斜率. 2.直线方程的几种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 条件 斜率 k 与点(x1,y1) 斜率 k 与直线在 y 轴上的 截距 b 两点(x1,y1),(x2,y2) 直线在 x 轴,y 轴上的截 距分别为 a 与 b 方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0(A2+ B2≠0) 适用范围 不含直线 x=x1 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1(x1≠x2)和直 线 y=y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线 平面直角坐标系内的直线 都适用 温馨提示:(1)点斜式、斜截式方程适用于不垂直于 x 轴的直线;两点式方程不能表 示垂直于 x、y 轴的直线;截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.在应用时要结 合题意选择合适的形式,在无特殊要求下一般化为一般式. (2)截距不是距离,距离是非负值,而截距可正可负,可为零,在与截距有关的问题中, 要注意讨论截距是否为零. 1.直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为( A.30° B.60° C.120° D.150° ) 3 2.已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为- ,则直线 l 的方程为( 4 A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0 C.4x+3y-14=0 ) D.4x-3y+14=0 3.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是( A.1 B.-1 C.-2 或-1 D.-2 或 1 4.过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率为 1,则 m 的值为________. 5.过两点 A(0,1),B(-2,3)的直线方程为________. ) 1.已知 A(-1,1),B(3,1),C(1,3),则△ABC 的 BC 边上的高所在直线方程为( ) A.x+y=0 B.x-y+2=0 C.x+y+2=0 D.x-y=0 2.(2015· 北京丰台质检)直线 x-2y+b=0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1, 那么 b 的取值范围是( ) A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.[-2,0)∪(0,2] D.(-∞,+∞) 3. (2015· 福建泉州调研)若点(m, n)在直线 4x+3y-10=0 上, 则 m2+n2 的最小值是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.2 3 4. 直线 l 经过点 A(2, 1), B(1, m2)(m∈R)两点, 那么直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是( A.0≤α<π π π B.0≤α≤ 或 <α<π 4 2 π C.0≤α≤ 4 π π π D. ≤α< 或 <α<π 4 2 2 5.已知直线 x+a2y-a=0(a>0,a 是常数),当此直线在 x,y 轴上的截距和最小时,a 的值是( ) A.1 B.2 C. 2 D.0 6.已知直线的倾斜角是 60° ,在 y 轴上的截距是 5,则该直线的方程为________. 7.(2015· 贵州贵阳模拟)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3), 则其斜率的取值范围是________. 1? 8.(2015· 山东济宁模拟)已知 a=(6,2),b=? ?-4,2?,直线 l 过点 A(3,-1),且与向 量 a+2b 垂直,则直线 l 的一般式方程是________. 9.已知△ABC 中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求: (1)△ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程; (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程,并化为截距式方程. ) 1.(2015· 湖南长沙质检)过点(1,3)作直线 l,若经过点(a,0)和(0,b),且 a∈N*,b∈ N*,则可作出的直线 l 的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a,b,c 应满足( A.ab>0,bc<0 B.ab>0,bc>0 C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0 ) y 3.(2015· 河南商丘测试)已知实数 x,y 满足 2x+y=8,当 2≤x≤3 时,则 的最大值为 x ________;最小值为________. 4.在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确 的是________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与 b 都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线. 5.设直线 l 的方程为 x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定 m 的值: (1)直线 l 的斜率为 1; (2)直线 l 在 x 轴上的截距为-3.

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