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高一数学必修一专项练习:集合经典例题


第 1 部分:集合
一、选择题: 1.(08 山东文 1)满足 M ? ?a1 , a2 , a3 , a4 ?, 且M ? ?a1 , a2 , a3 ? ? ?a1 , a2 ?的集合 M 的个数是( A. 1 【答案】B
[来源:Zxxk.Com]



B.

2

C.

3

D.

4

【解析】由题意可知:集合 M= ?a1 , a2 ? 或者 ?a1 , a2 , a4 ? 2.(08 广东文 1)第 二 十 九 届 夏 季 奥 林 匹 克 运 动 会 将 于 08 年 8 月 8 日 在 北 京 举 行 , 若 集 A={参加北京奥运会比赛的运动员},集何 B={参加北京奥运会比赛的男运动员},集合 C={参加北京 奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是 ( A. A ? B 【答案】D
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

)

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

B. B ? C

C. A ? B ? G

D. B ? C ? A

【解析】直接利用子集、交集和并集性质求解. 3.(08 海南宁夏文 1)已知集合 M ? {x | ( x ? 2)( x ? 1) ? 0} , N ? {x | x ? 1 ? 0} ,则 M ? N ? ( A. (-1,1) 【答案】C 【解析】∵ M ? {x | ( x ? 2)( x ?1) ? 0} ? ? ?2,1? , N ? {x | x ? 1 ? 0} ? ? ??, ?1? , ∴M ?N ? B. (-2 ,1) C. (-2,-1) D. (1,2) )

? ?2, ?1? ,选 C.
( )

4.(09 安徽文 2)若集合 A ? {x | (2 x ? 1)( x ? 3) ? 0}, B ? {x ? N* ,| x ? 5}, 则 A ? B 是 A. {1,2,3} B. {1,2} C. {4,5} D. {1,2,3,4,5}

【答案】B 【解析】由题意: A ? ? ?

? 1 ? ,3 ? , B ? {1, 2,3, 4,5} ,故 A ? B ? {1, 2} ,选 B. ? 2 ?
2

5.(09 广东文 1)已知全集 U=R,则正确表示 集合 M ? {?1,0,1 和N ? {x | x ? x ? 0} 关系的韦恩 } (Venn)图是 ( )
[来源:学科网 ZXXK]

1

【答案】B 【解析】由

N ? {x | x 2 ? x ? 0} 得 N ? M ,选 B. ? {?1, 0}
( )

6.(09 海南宁夏文 1)已知集合 A ? {1,3,5,7,9}, B ? {0,3,6,9,12}, 则 A ? B ? A. {3,5} 【答案】 D 【解析】由 题意知易 A ? B ? {3,9} . 【说明】本题主要考查集合的相关运算. 7. (09 辽宁文 1)已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 5}, N ? {x | x ? ?5或x ? 5}, 则M ? N = A. {x | x ? ?5或x ? ?3} C. {x |? ?3 ? x ? 5} 【答案】A 【解析】直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解. 8.(09 福建文 1)若集合 A ? ?x | x ? 0.? B ? ?x | x ? 3? ,则 A ? B 等于 ( A. {x | x ? 0} B. {x | 0 ? x ? 3} C. {x | x ? 3} D.R ) B. {x |? ?5 ? x ? 5} D. {x | x ? ?3或x ? 5} ( B. {3,6} C. {3,7} D. {3,9}

)

【答案】B 更多免费+q465010203 【解析】直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解.故选 B. 9.(09 山东 文 1)集合 A ? {0,2, a}, B ? {1, a } .若 A ? B ? {0,1,2,4,16}, 则 a 的值为 (
2

)

A. 0 【答案】D

B. 1

C. 2

D. 4

? a 2 ? 16 【解析】 A ? ?0, 2, a? , B ? ?1, a ? , A ? B ? ?0,1,2,4,16? , ? :∵ ∴ , a ? 4 ,故选 D. ∴ . ? a?4
2

2

【说明】 本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容 易题.
2 10. (10 山东文 1)已知全集 U ? R ,集合 M ? x x ? 4 ? 0 ,则 CU M =

?

?

A.

? x ?2 ? x ? 2?

B.

? x ?2 ? x ? 2?

C. x x ? ?2或x ? 2

?

?

D.

? x x ? ?2或x ? 2?

【答案】C
2 【解析】因为 M ? x x ? 4 ? 0 ? x ?2 ? x ? 2 ,全集 U ? R ,

?

? ?

?

所以 CU M ? x x ? ?2或x ? 2 ,故选 C. 【命题意图】本题考查集合的补集运算、二次不等式的解法等基础知识,属基础题. 11. (10 天津文 7)设集合 A ? ?x||x-a|<1,x ? R?, B ? ?x |1 ? x ? 5, x ? R?.若A ? B ? ?, 则实数 a 的取值范围是 A. ?a | 0 ? a ? 6? 【答案】C 【解析】因为 A ? ?x | a ?1 ? x ? a ?1 , A ? B ? ? ,所以 a ? 1 ? 1 或 a ? 1 ? 5 ,解得实数 a ? 的取值范围是 a | a ? 0, 或a ? 6 ,故选 C. 【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、集合之间的关系等基础知识,考查同学们数形结合 的数学思想. 12. (10 福建文 1)若集合 A=?x|1 ? x ? 3? , B=?x|x>2? ,则 A ? B 等于( A. ) B. a | a ? 2, 或a ? 4

?

?

?

?

C. a | a ? 0, 或a ? 6

?

?

D. ?a | 2 ? a ? 4?

?

?

?x|2<x ? 3?

B.

?x|x ? 1?

C.

?x|2 ? x<3?

D.

?x|x>2?

【答案】A 【解析】 A ? B = ?x|1 ? x ? 3? ? ?x|x>2? = ?x|2<x ? 3? ,故选 A. 【命题意图】本题考查集合的交运算,属容易题.
2 13.(10 北京文 1) 集合 P ? {x ? Z 0 ? x ? 3}, M ? {x ? Z x ? 9} ,则 P I M =

A. {1,2} 【答案】B

(B ) {0,1,2}

C.{1,2,3}

D.{0,1,2,3}

【命题意图】本体考察集合的交集运算,在求解中要注意集合中元素的特性

3

【解析】集合 P ? {0,1, 2} ,集合 M ? {?3, ?2, ?1,0,1, 2,3} ,所以 P I M ? {0,1, 2} 14.(10 江西文 2)若集合 A ? x x ≤1 , B ? x x≥0 ,则 A ? B ? A. x ?1≤x≤1 【答案】C 【命题意图】借助集合运算考查解不等式. 【解析】 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 1} ? {x | x ? 0} ? {x | 0 ? x ? 1} . 15.(10 浙江文 1)设 P ? {x | x ? 1}, Q ? {x | x2 ? 4}, 则 P ? Q ? A. {x | ?1 ? x ? 2} B. {x | ?3 ? x ? ?1} C. {x |1 ? x ? ?4} D. {x | ?2 ? x ? 1}

?

?

?

?

?

?

B. x x≥0

?

?

C. x 0≤x≤1

?

?

D. ?

【解析】 Q ? x ? 2<x<2 ,故答案选 D,本题主要考察了集合的基本运算,属容易题 16.(10 全国 1 文 2)设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 M ? ?1, 4? , N ? ?1,3,5? ,则 N ? ? M ? U A. ?1,3? 【答案】C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】 ? M ? ?2,3,5? , N ? ?1,3,5? ,则 N ? ? M ? ?1,3,5? ??2,3,5? = ?3,5? U U 17.(10 安徽文 1)若 A= ?x | x ?1 ? 0? ,B= ?x | x ? 3 ? 0? ,则 A ? B = A.(-1,+∞) B.(-∞,3) 【答案】C 【解析】 A ? (1, ??), B ? (??,3) , A ? B ? (?1,3) ,故选 C. 【方法总结】先求集合 A、B,然后求交集,可以直接得结论,也可以借助数轴得交集. 18.(10 湖北文 1)设集合 M={1,2,4,8},N={x|x 是 2 的倍数},则 M∩N= A.{2,4} 【答案】C 【解析】因为 N={x|x 是 2 的倍数}={…,0,2,4,6,8,…},故 M ? N ? ?2,4,8? 所以 C 正确. 19.(10 四川文 1)设集合 A={3,5,6,8},集合 B={4,5, 7,8},则 A ? B ? A.{3,4,5,6,7,8} 【答案】D
4

?

?

?

?

B. ?1,5?

C.

?3,5?

D.

?4,5?

?

?

C.(-1,3)

D.(1,3)

B.{1,2,4}

C.{2,4,8}

D{1,2,8}

B.{3,6}

C. {4,7}

D.{5,8}

【解析】集合 A 与集合 B 中的公共元素为 5,8 20.(10 广东文 1)若集合 A ? ?0,1,2,3?, B ? ? ,2,4?则集合 A ? B ? 1 A. ?0,1,2,3,4? 【解析】并集,选 A. 21.(10 宁夏文 1)已知集合 A ? x x ? 2, x ? R, B ? x | A.(0,2) B.[0,2] C.{0,2] B. ? ,2,3,4? 1 C. ? ,2? 1 D.

?0?

x ? 4, x ? Z | ,则 A ? B ?
D.{0,1,2}

【答案】D 更多免费+q465010203 【解析】 :由已知得 A ? {x ?2 ? x ? 2}, B ? {0,1,?,16} ,所以 A ? B ? {0,1, 2} . 22.(10 辽宁文 1)已知集合 U ? ?1,3,5,7,9? , A ? ?1,5,7? ,则 CU A ? A. ?1,3? B. ?3,7,9? C. ?3,5,9? D. ?3,9?

【解析】选 D. 在集合 U 中,去掉 1,5,7 ,剩下的元素构成 CU A. 23. (10 广东文 10)在集合 ?a, b, c, d ? 上定义两种运算○和○如下 + * + ○

a a
b

b

c c
b

d

* ○

a a a a a

b

c a c c a

d

a
b

b
b

d
b

a
b

a
b

a
d

c
d

c
d

b b

c
b

b
d

c
d

c
d

a
d

那么 d ○ (a ○ c) ? * + A. a B. b C. c D. d

【解析】由上表可知: (a ○ c) ? c ,故 d ○ (a ○ c) ? d ○ c ? a ,选 A. + * + * 24. (10 陕西文 1)集合 A={x A.{x | x<1} 【答案】D 【解析】A∩B= A={x -1≤x≤2}∩ B={x x<1}= {x -1≤x<1},故选 D . -1≤x≤2},B={x x<1},则 A ? B = D.{x | -1≤x<1}

B.{x | -1≤x≤2}

C.{x | -1≤x≤1}

25. (10 全国Ⅱ文 1)设全集 U ? {x ? N *| x ? 6},集合 A ? {1,3} , B ? {3,5} ,则 ? ( A ? B) ? U
5

A. ?1, 4?

B. ?1,5?

C.

?2,4?

D. ?2,5?

【解析】 C :本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}.B={3,5},∴ 二、填空题: 1.(08 江苏 4) A ? {x | ( x ?1)2 ? 3x ? 7} ,则 A ? Z 元素的个数为 【答案】0 【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式.
2 由 ( x ?1) ? 3x ? 7 得 x ? 5 x ? 8 ? 0 ,
2

A ? B ? {1,3,5} ,∴ CU ( A ? B) ? {2, 4} 故选 C .

.

∵Δ <0,∴集合 A 为 ? ,因此 A ? Z 的 元素不存在. 2. (09 天津文 13)设 U ? A ? B ? {x ? N | lg x ? 1 |} 若A ? (CU B) ? {m | m ? 2n ?1,
*

n ? 0,1,2,3,4}, 则集合 B=______
【答案】 {2,4,6,8} 【解析】由题意: U ? A ? B ? {1, 2,3,?,9} , A ? (CU B) ? ?1,3,5,7,9? ,故 B= {2,4,6,8} 3.(09 上海春考 4)若集合 A ? x | x |? 1 ,集合 B ? x 0 ? x ? 2 ,则 A ? B ? 【答案】 {x | ?1 ? x ? 2} 【解析】 A ? {x | x ? ?1或 x ? 1} , A ? B ? {x | ?1 ? x ? 2} 4. (09 上海文 2)已知集合 A={x|x≤1},B={x|≥a},且 A∪B=R,则实数 a 的取值范围是_________. 【答案】 a ? 1 【解析】∵ A ? B ? (??,1] ? [a, ??) ? R , ∴ a ? 1 5.(10 重庆文 11)设 A ? ?x | x ?1 ? 0? , B ? ?x | x ? 0?,则 A ? B =____________ . 【答案】 ?x | -1<x ? 0? 【解析】 ?x | x ? ?1 ? ?x | x ? 0? ? ?x | ?1 ? x ? 0 . ? 6.(10 上海文 1)已知集合 A ? ?1,3, m? , B ? ?3,4? , A ? B ? ?1, 2,3, 4? 则 m ? 【解析】考查并集的概念,显然 m=2
6

?

?

?

?

.

?

2



7 . 10 湖 南 文 15 ) 若 规 定 E= a1, a2 ...a10 的 子 集 ak1 ak2 ..., akn 为 E 的 第 k 个 子 集 , 其 中 (

?

?

?

?

k ? 2k1 ?1 ? 2k2 ?1 ? ? 2kn ?1 ,则
(1) a1, , a3 是 E 的第____个子集; (2)E 的第 211 个子集是_______ 【答案】 (1)5 (2) {a1 , a2 , a5 , a7 , a8} 【解析】 (1) 2
1?1

?

?

? 23?1 ? 5 ,所以 k ? 5 (2) 27 ? 26 ? 24 ? 21 ? 20 ? 211 .

8. (10 湖南文 9)已知集合 A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则 m ? 【解析】显然 m ? 3 9. (10 四川文 16)设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x, y ? S ,都有 x ? y,x ? y,xy ? S ,则称 S 为封闭集.下列命题: ①集合 S={a+bi|( a,b 为整数, i 为虚数单位)}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0 ? S ; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S ? T ? C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是 【答案】①② 【解析】直接验证可知①正确. 当 S 为封闭集时,因为 x-y∈S,取 x=y,得 0∈S,②正确 对于集合 S={0},显然满足素有条件,但 S 是有限集,③错误 取 S={0},T={0,1},满足 S ? T ? C ,但由于 0-1=-1?T,故 T 不是封闭集,④错误 三、解答题: 1.(10 北京文 20)(本 小题共 13 分) 已知集合 Sn ? {X | X ? ( x1, x2 ,…,xn ), xi ?{0,1}, i ? 1, 2,…, n}(n ? 2) 对于 A ? (a1 , a2 ,…an ,) , (写出所有真命题的序号)

B ? (b1 , b2 ,…bn ,) ? Sn ,定义 A 与 B 的差为 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n |) ,A 与 B 之间
的距离为 d ( A, B) ?

?
i ?1

n

| ai ? bi |

(Ⅰ)当 n ? 5 时,设 A ? (0,1,0,0,1), B ? (1,1,1,0,0) ,求 A ? B , d ( A, B) ;

7

(Ⅱ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ; (Ⅲ) 证明: ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d ( B, C) 三个数中至少有一个是偶数 【答案】 (Ⅰ)解: A ? B ? (| 0 ? 1|,|1 ?1,| 0 ?1|,| 0 ? 0 |,|1 ? 0 |) ? (1,0,1,0,1)

d ( A, B) ?| 0 ?1| ? |1 ?1| ? | 0 ?1| ? | 0 ? 0 | ? |1 ? 0 |? 3
(Ⅱ)证明:设 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) , C ? (c1 , c2 ,?, cn ) ? Sn 因为 a1 , b1 ?{0,1} ,所以 | ai ? bi |?{0,1}(i ? 1, 2,?, n) 从而 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,?,| an ? bn |) ? Sn 又 d ( A ? C, B ? C ) ?

?|| a ? c | ? | b ? c || ,
i ?1 i i i i
[来源:Zxxk.Com]

n

由题意知 ai , bi , ci ?{0,1}(i ? 1, 2, ???, n)

当 ci ? 0 时, ai ? ci ? bi ? ci ? ai ? bi 当 ci ? 1 时 , ai ? ci ? bi ? ci ? (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) ? ai ? bi 所以 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) (Ⅲ) 证明:设 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) , C ? (c1 , c2 ,?, cn ) ? Sn ,

d ( A, B) ? k , d ( A, C ) ? l , d ( B, C ) ? h ,
记 0 ? (0,0,?,0) ? Sn ,由(Ⅱ)可知

d ( A, B) ? d ( A ? A, B ? A) ? d (0, B ? A) ? k d ( A, C) ? d ( A ? A, C ? A) ? d (0, C ? A) ? l d ( B, C ) ? d ( B ? A, C ? A) ? h
所以 bi ? ai (i ? 1,2,L , n) 中 1 的个数为 k , ci ? ai (i ? 1,2,L , n) 中 1 的个数为 l , 设 t 是使 bi ? ai ? ci ? ai ? 1成立的 i 的个数.则 h ? l ? k ? 2t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B), d ( A, C ), d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数
8

【命题意图】 本试题是一道创新试题, 更多免费+q465010203 试题题目比较新颖, 有一定的难度. 考 察学生对于新生事物的接受能力和认知能力,同时也考查了学生应用所学的集合、绝对值不等式等 有关知识综合解题的能力.

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