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《步步高学案导学设计》20132014学年高中数学人教B版必修4第二章231向量数量积的物理背景与定义课件_图文

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2.3.1
【学习要求】

向量数量积的物理背景与定义

1.了解平面向量数量积的物理背景,即物体在力F的作用下 产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律,理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向 量是否垂直. 【学法指导】 1.向量的数量积是一种新的乘法,和向量的线性运算有着显 著的区别,两个向量的数量积,其结果是数量,而不是向 量.学习时必须透彻理解数量积概念的内涵.

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2. 向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系, 概念内涵更 丰富, 计算更复杂, 实数乘法中的一些运算律在向量的数量 积中已经不再成立,不宜作简单类比,照搬照抄.书写格式 也要严格区分,a· b 中的“· ”不能省略. 3.由 a· b 的定义,不难发现 a 与 b 的数量积是一个数量,其中 决定整个式子的正负符号的关键是 θ 的值.

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1.两个向量的夹角 → → (1)已知两个非零向量 a, b, 作OA=a, OB= b,则 ∠AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角, 记作〈a,b〉 ,并规定它的范围是 0≤〈a,

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b〉≤π .
在这个规定下,两个向量的夹角被唯一确定了,并且有〈a, b〉= 〈b,a〉 . π 〈a,b〉=2 (2)当 记作 a⊥b .

时, 我们说向量 a 和向量 b 互相垂直,

2.向量在轴上的正射影 已知向量 a 和轴 l(如图). → 作OA=a, 过点 O, A 分别作轴 l 的垂线, → 垂足分别为 O1,A1,则向量O1A1叫做向 量 a 在轴 l 上的正射影(简称射影), 该射影在轴 l 上的坐标, → 轴 l 轴 l 的方向 称作 a 在 上的数量或在 上的数量.OA=a 在轴 l 上正射影的坐标记作 al,向量 a 的方向与轴 l 的正向 所成的角为 θ, 则由三角函数中的余弦定义有 al= |a|cos θ . 3.向量的数量积(内积) |a||b|cos〈a,b〉 叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积),记作 a· b.即 a· b= |a||b|cos〈a,b〉 .

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探究点一

平面向量数量积的含义

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已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos θ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角,θ∈[0,π].规定:零向量与任一向量的数量积 为 0. 问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,那么力 F

s . 所做的功 W= |F||s|cos θ = F·

问题 2 向量的数量积是一个数量,而不再是向量. 对于两个非零向量 a 与 b. ? π? ?0, ? 2? 时,a· 当 θ∈ ? b>0; π θ=2 当 时,a· b=0,即 a⊥b; ?π ? ? ,π? ? 时,a· 当 θ∈ ? 2 b<0.

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探究点二

向量在轴上的正射影

问题1 我们把|a|cos θ叫做向量a在b方向上的正射影,|b|cos θ 叫做向量b在a方向上的正射影,其中θ为向量a与b的夹 角.由数量积的定义a· b=|a||b|cos θ可得: a· b a· b |a|cos θ= |b| ;|b|cos θ= |a| . 例如,|a|=2,|b|=1,a与b的夹角θ=120° ,则a在b方向 1 - 上的正射影为 -1 ,b在a方向上的正射影为 2 .

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问题 2 向量 b 在 a 方向上的正射影不是向量,而是数量,它 的符号取决于夹角 θ 的范围. θ 范围 图形 θ 是锐角 θ 是直角 θ 是钝角

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符号

|b|cos θ > 0 |b|cos θ = 0 |b|cos θ < 0

探究点三

平面向量数量积的性质

根据向量数量积的定义,补充完整数量积的性质. 设 a 与 b 都是非零向量,θ 为 a 与 b 的夹角. (1)当〈a,b〉=0 时,a· b= |a||b| ; 当〈a,b〉=π 时,a· b= -|a||b| ; π 当〈a,b〉= 时,a· b= 0 ; 2 2 | a | (2)a· a= 或|a|= a· a= a2; a· b (3)cos θ= |a||b| ; (4)|a· b| ≤ |a||b|. 并证明第(4)条性质.

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证明 |a· b|≤|a||b|. 设 a 与 b 的夹角为 θ,则 a· b=|a||b|cos θ.
两边取绝对值得:|a· b|=|a||b||cos θ|≤|a||b|.
当且仅当|cos θ|=1, 即 cos θ=± 1,θ=0 或 π 时,取“=”.
所以|a· b|≤|a||b|.

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[典型例题] 例 1 已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a 与 b 的夹 角为 30° 时,分别求 a 与 b 的数量积.
解 (1)a∥b, 若 a 与 b 同向, 则 θ=0° , a· b=|a|· |b|· cos 0° =4×5 =20;若 a 与 b 反向,则 θ=180° , ∴a· b=|a|· |b|cos 180° =4×5×(-1)=-20.

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(2)当 a⊥b 时,θ=90° ,∴a· b=|a|· |b|cos 90° =0.
(3)当 a 与 b 的夹角为 30° 时,a· b=|a|· |b|cos 30° 3 =4×5× 2 =10 3. 小结 求平面向量数量积的步骤是:①求a与b的夹角θ,
θ∈[0° ,180° ];②分别求|a|和|b|;③求数量积,即a· b= |a|· |b|· cos θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“· ”连结, 而不能用“×”连结,也不能省去.

跟踪训练1 已知|a|=4,|b|=3,当(1)a∥b;(2)a⊥b; (3)a与b的夹角为60° 时,分别求a与b的数量积.
解 (1)当 a∥b 时,若 a 与 b 同向, 则 a 与 b 的夹角 θ=0° , ∴a· b=|a||b|cos θ=4×3×cos 0° =12.
若 a 与 b 反向,则 a 与 b 的夹角为 θ=180° , ∴a· b=|a||b|cos 180° =4×3×(-1)=-12.
(2)当a⊥b时,向量a与b的夹角为90° , ∴a· b=|a||b|cos 90° =4×3×0=0.
(3)当 a 与 b 的夹角为 60° 时, 1 ∴a· b=|a||b|cos 60° =4×3×2=6.

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π 例 2 已知|a|=|b|=5,向量 a 与 b 的夹角为 ,求|a+b|, 3 |a-b|.
解 1 25 a· b=|a||b|cos θ=5×5× = . 2 2

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|a+b|= ?a+b?2= |a|2+2a· b+|b|2 25 = 25+2× +25=5 3. 2

|a-b|= ?a-b?2= |a|2-2a· b+|b|2 25 = 25-2× 2 +25=5.
小结 此类求解向量的模问题一般转化为求模平方,与向量数 量积联系,要灵活应用 a2=|a|2,勿忘记开方.

跟踪训练 2 已知|a|=8,|b|=6,|a+b|=10,求向量 a 与 b 的 夹角 θ.
解 ∵|a|=8,|b|=6.
∴|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a· b =82+62+2a· b=100,
∴a· b=0, a· b π ∴cos θ= =0,∴θ= . |a||b| 2

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例 3 已知 a· b=-9,a 在 b 方向上的正射影为-3,b 在 a 方 3 向上的正射影为- ,求 a 与 b 的夹角 θ 及|a|· |b|. 2 b ?a· | a |cos θ =- 3 ? ? |b| =-3 ? 解 ∵? , 3 ,∴? a· b 3 |b|cos θ=- ? ? 2 =-2 ? ? |a| ? ?-9=-3 ? ? |b| ?|a|=6 即? ,∴? ? 3 ?|b|=3, ?-9 =-2 ? ? |a| -9 a· b 1 ∴cos θ=|a||b|= =-2. 6×3
∵0≤θ≤π,∴θ=120° . 小结 (1)理清“谁在谁上”的正射影,再列方程,将条件转 化解决. (2)注意数量积公式的变形式的灵活应用.

跟踪训练 3 已知|a|=1,|b|=1,a,b 的夹角为 120° ,计算向 量 2a-b 在向量 a+b 方向上的正射影.
解 (2a-b)· (a+b) =2a2+2a· b-a· b-b2=2a2+a· b-b2 1 2 2 =2×1 +1×1×cos 120° -1 = . 2
|a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2 ?2a-b?· ?a+b? 1 = 1+2×1×1×cos 120° +1=1.∴ =2. |a+b|

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1. 已知|a|=8,|b|=4, 〈a,b〉=120° ,则向量 b 在 a 方向上 的投影为 A.4 C.2
-2.

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( D ) B.-4 D.-2

解析 b 在 a 方向上的投影为|b|cos〈a,b〉=4×cos 120° =

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2.若向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 120° ,则 a· a 1 2 +a· b=________.
1 解析 a· a+a· b=1 +1×1×cos 120° = . 2
2

→ → → → → 3. 在△ABC 中,|AB|=13,|BC|=5,|CA|=12,则AB· BC的 值是________ -25 . → → → 解析 易知|AB|2=|BC|2+|CA|2,
C=90° . 5 cos B= , 13 → → ∴cos〈AB,BC〉=cos(180° -B) 5 =-cos B=-13. → → → → ∴AB· BC=|AB|· |BC|cos(180° -B) ? 5? =13×5×?-13?=-25. ? ?

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4. 已知正三角形 ABC 的边长为 1,求: → → → → (1)AB· AC;(2)AB· BC; → → (3)BC· AC. → → 解 (1)∵AB与AC的夹角为 60° . 1 1 → → → → ∴AB· AC=|AB||AC|cos 60° =1×1×2=2. → → (2)∵AB与BC的夹角为 120° .
? 1? 1 → → → → ? ? ∴AB· BC=|AB||BC|cos 120° =1×1× -2 =- . 2 ? ? → → (3)∵BC与AC的夹角为 60° , 1 1 → → → → ∴BC· AC=|BC||AC|cos 60° =1×1× = . 2 2

1.两向量 a 与 b 的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可 以为正(当 a≠0,b≠0,0° ≤θ<90° 时),也可以为负(当 a≠0, b≠0,90° <θ≤180° 时), 还可以为 0(当 a=0 或 b=0 或 θ=90° 时).

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2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实 数、实数乘向量的乘法运算是有区别的,在书写时一定要把 它们严格区分开来,绝不可混淆.
3.a· b=|a||b|cos θ 中,|b|cos θ 和|a|cos θ 分别叫做 b 在 a 方向上 的正射影和 a 在 b 方向上的正射影,要结合图形严格区分.


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