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江苏省淮安中学2011-2012学年高一上学期期末考试数学试题


一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填在答题卡相应位置上。 ) 1.已知集合 A ? ? x 0 ? x ? 2 ? ,则集合 A 的元素中有
? ?

个整数。

2.已知向量 a ? ( 2,1), b ? ( ? 3, 4 ), 则 a ? b ? 3.已知向量 a ? (co s x , sin x ) ,则 | a |? 4. sin
?
3

?

?

。 。

?

?

的值是

。 。 。

5.已知函数 f ( x ) ? sin x cos x ,则 f ( ? 1) ? f (1) ?

6.在平面直角坐标系中,若角 ? 的终边落在射线 y ? x ( x ? 0) 上,则 tan ? ? 7.函数 f ( x ) ? tan x 的定义域为
2 m

。 。 。 。 。 A

8.函数 f ( x ) ? ( m ? m ? 1) x 是幂函数,则实数 m 的值为 9.函数 f ( x ) ? 2 co s x (0 ? x ? 10.若 sin (
?
2 ??) ? 1 3
x

?
2

) 的值域是
??) ?
2

,则 sin (

?
2

11.已知函数 f ( x ) ? 2 ? 1 ,且 f ( a ) ? f (1) ,则实数 a 的取值范围为 12.函数 f ( x ) ? ln x 的单调递增区间为
2



13.如图,在 ? A B C 中, A B ? 2 , A C ? 3 , D 是边 B C 的中点,则 A D ? B C ? ____________。 14.给出下列命题: (1)函数 f ( x ) ? tan x 有无数个零点; (2)若关于 x 的方程 ( )
2 1
|x|

???? ??? ?

B

D

C

? m ? 0 有解,则实数 m 的取值范围是 (0,1] ;

(3)把函数 f ( x ) ? 2 sin 2 x 的图象沿 x 轴方向向左平移 得到的函数解析式可以表示成 f ( x ) ? 2 sin 2 ( x ? (4)函数 f ( x ) ?
1 2 sin x ? 1 2 sin x 的值域是 [ ? 1,1] ;

?
6

个单位后,

?
6

);

(5) 已知函数 f ? x ? ? 2 co s x , 若存在实数 x1 , x 2 , 使得对任意的实数 x 都有 f ? x1 ? ? f ? x ? ? f ? x 2 ? 成立, 则 x1 ? x 2 的最小值为 2 ? 。 其中正确的命题有 个。

二、解答题(本大题共六小题,共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 )

15. (本题满分14分) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin 2 x 。 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 最小正周期; (Ⅱ)若 f ( x ) ? 2 ,求 x 的值; (Ⅲ)写出函数 f ( x ) 的单调递减区间。

16. (本题满分 14 分) 已知向量 | a | ? 1, | b | ?
? ?

?

?

2 。

(Ⅰ)若向量 a , b 的夹角为 6 0 ? ,求 a ? b 的值;
? ? 5 ,求 a ? b 的值; ? ? ? ? ? (Ⅲ)若 a ? ( a ? b ) ? 0 ,求 a , b 的夹角。

? ?

(Ⅱ)若 | a ? b |?

?

?

17. (本题满分 14 分) 已知向量 a ? ? 1, co s x ? , b ? ?
? ?
? ? ?1 ? , sin x ? , x ? ? 0, ? ? 。 ?3 ?
sin x ? co s x sin x ? co s x

(Ⅰ)若 a // b ,分别求 tan x 和
? ?

的值;

(Ⅱ)若 a ? b ,求 sin x ? cos x 的值。

18. (本题满分 16 分) 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水量不超过 4 吨时,按每吨 1.8 元收费;当每户每月 用水量超过 4 吨时,其中 4 吨按每吨为 1.8 元收费,超过 4 吨的部分按每吨 3.00 元收费。设每户每月 用水量为 x 吨,应交水费 y 元。 (Ⅰ)求 y 关于 x 的函数关系; (Ⅱ)某用户 1 月份用水量为 5 吨,则 1 月份应交水费多少元? (Ⅲ)若甲、乙两用户 1 月用水量之比为 5 : 3 ,共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两用户该月的用 水量和水费。

19.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? lg x 。 (Ⅰ)利用函数单调性的定义证明函数 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是单调增函数; (Ⅱ)证明方程 f ( x ) ? 3 在区间 (1,1 0 ) 上有实数解; (Ⅲ)若 x 0 是方程 f ( x ) ? 3 的一个实数解,且 x 0 ? ( k , k ? 1) ,求整数 k 的值。

期末考试高一数学参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填在答题卡相应位置上。 )
3 2

1. 2

2. ( ? 1, 5)

3. 1

4.

5. 0

6. 1 11. ( ? 1,1)

7. ? 12. (1, ? ? )

8. ? 1 或 2 13.
5 2

9. [0 , 2 ] 14.3

10.

1 3

二、解答题(本大题共六小题,共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 )

16. (本题满分 14 分) (Ⅰ)
2 2

4分

17. (本题满分 14 分) (Ⅰ)? a / / b ? sin x ?
1 2 co s x ? tan x ? 1 3

4分

1 3 ? ? ? 1 sin x ? co s x tan x ? 1 3
1 3

sin x ? co s x

tan x ? 1

?1 ? ?2 ?1
1 3

8分

(Ⅱ)? a ? b ?

? sin x co s x ? 0 ? sin x co s x ? ?
2

? (sin x ? co s x ) ? 1 ? 2 sin x co s x ?

5 3

又? x ? (0, ? ) 且 sin x co s x ? 0 ? x ? (

?
2

, ? ) ? sin x ? co s x ? 0

? sin x ? co s x ?

15 3

14 分

18. (本题满分 16 分) (Ⅰ) y ? ?
?1 .8 x (0 ? x ? 4 ) ? 7 .2 ? 3( x ? 4 )( x ? 4 )

5分 10 分

(Ⅱ)10.2 元

(3)若 m ?

4 3

,则甲、乙两用户共应交费 1 4 .4 ? 3(8 m ? 8) ? 2 6 .4 , m ? 1.5 ,

甲用户用水量为 7.5 吨,交费 1 7 .7 元,乙用户用水量为 4 .5 吨,交费 8.7 元。 答:甲用户用水量为 7.5 吨,交费 1 7 .7 元,乙用户用水量为 4 .5 吨,交费 8.7 元。 16 分

19.(本题满分 16 分) (Ⅰ)利用单调性的定义证明 (Ⅱ)令 g ( x ) ? f ( x ) ? 3 ? x ? lg x ? 3 , 由 g (1) g (10) ? ( ? 2) ? 7 ? 0 ,且 y ? g ( x ) 的图象在 (1,1 0 ) 是不间断的, 方程 f ( x ) ? 3 在 (0, ? ? ) 有实数解。

6分

11 分

20.(本题满分 16 分) (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x ) ? cos x ? 2 sin x ? ? sin x ? 2 sin x ? 1
2 2

? ? (sin x ? 1) ? 2
2

由 ? 1 ? sin x ? 1 , ? 2 ? f ( x ) ? 2 ,即函数 f ( x ) 的值域为 [ ? 2, 2]

6分

(Ⅱ) f ( x ) ? ? sin x ? a sin x ? 1 ? ? (sin x ?
2

a 2

) ?
2

a

2

?1,

4

? a (a ? 0) f ( x ) m in ? ? , f ( x ) 的最小值为 ? 6 ,则 a ? ? 6 。 ? ? a (a ? 0)

11 分

(Ⅲ) f ( x ) ? ? sin x ? a sin x ? 1 ? ? (sin x ?
2

a 2

) ?
2

a

2

?1,

4

f ( x ) m ax

? ? a (a ? ?2) ? 2 ?a ? ? ? 1( ? 2 ? a ? 2 ) 4 ? ? a (a ? 2) ?

16 分

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