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2016年广东适应性考试试题与解析(文科)


2016 年广东适应性考试全解析 (文科数学)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x x ? 5 x ? 6 ? 0} , B ? {x 2 ? 1} ,则 A ? B ? (
2 x



A. [2,3] 【答案】A

B. (0, ??)

C. (0, 2) ? (3, ??)

D. (0, 2] ? [3, ??)

【解析】 A ? {x x ? 5 x ? 6 ? 0} ? {x ( x ? 2)( x ? 3) ? 0} ? [2,3] , B ? {x 2 ? 1} ? {x 2 ? 2 } ? (0, ??)
2
x x 0

所以 A ? B ? [2,3] 2.设复数 z1 ? 3 ? 2i , z2 ? 1 ? i ,则 z1 ? A. 2 【答案】D 【解析】 z1 ? B. 3 C. 4

2 ?( z2
D. 5



2 2 ? |4+3i|= 4 2 ? 32 ? 5 ? 3 ? 2i ? 1? i z2

3.甲,乙,丙三名学生随机站成一排,则甲站在边上的概率为( A.



1 3

B.

2 3

C.

1 2

D.

5 6
2 ; 3

【答案】B 【解析】法①:3 人站一排有 3 个位置,甲站在边上有 2 个位置,由古典概型得, P (甲站边上)=

法②:甲,乙,丙三名学生随机站成一排共有“甲乙丙,甲丙乙,乙丙甲,乙甲丙,丙甲乙,丙乙甲”共 6 种,而 甲站在边上有“甲乙丙,甲丙乙,乙丙甲,丙乙甲”共 4 种,故由古典概型得, P (甲站边上)=

4 2 = 6 3

4.设 p, q 是两个题,若 ?p ? q 是真命题,那么( A. p 是真命题且 q 是假命题 C. p 是假命题且 q 是真命题 【答案】C 【解析】 ?p ? q 是真命题 ? ?p, q 都为真 ? p假q真



B. p 是真命题且 q 是真命题 D. p 是真命题且 q 是假命题

1

5.已知等比数列 {an } 满足: a1 ? a3 ? 10 , a4 ? a6 ? A.

1 2
n?4

B.

1 2 n ?3

5 ,则 {an } 的通项公式 an ? ( 4 1 1 C. n ? 3 ? 4 D. n ? 2 ? 6 2 2



【答案】A

5 a ? a a4 a6 1 1 1 ? ? q 3 ? q 3 ? 4 6 ? 4 ? ? q ? ,由 a1 ? a3 ? 10 得 a1 ? ( ) 2 a1 ? 10 ? a1 ? 8 【解析】法①: 2 a1 a2 a1 ? a2 10 8 2
所以 an ?

1 2
n?4

?a1 ? a3 ? 10 ?a1 ? a1q 2 ? 10 1 1 ? ? a1 ? 8 所以 an ? n ? 4 法②: ? 5 ?? 3 5 解得 q ? 5 , 2, 2 a4 ? a6 ? ? ?a1q ? a1q ? ? 4 ? 4

6. 执行右边的程序框图,如果输入的 N ? 10 , 则输出的 x ? ( ) A. 0.5 C. 0.9 【答案】C B. 0.8 D. 1

1 2 3 9 x : , , ,? , 【解析】法①: 2 3 4 10 n : 2,3, 4,? ,10
1 1 1 1 ? ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 9 ? 10 法②: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ?? ? ( ? ) ? 1? ? 1 2 2 3 3 4 9 10 10 10 x?

7.三角函数 f ( x) ? sin( A. 3, 【答案】B 【解析】 f ( x) ? sin(

?
6

? 2 x) ? cos 2 x 的振幅和最小正周期分别是(
C. 2,



?
2

B. 3, ?

?
2

D. 2, ?

?
6

? 2 x) ? cos 2 x ?

1 3 3 3 cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x 2 2 2 2

? ? 2? ? 3 cos(2 x ? )(或- 3 sin(2 x ? )) ? 振幅A ? 3, 周期T ? ?? 6 3 2
2

8.已知过球面上有三点 A, B, C 的截面到球心的距离是球半径的一半,且 AB ? BC ? CA ? 2 ,则此球的半径是 ( A. )

3 4

B. 1

C.

4 3

D. 2

【答案】C 【解析】设半径为 R ,则球心到等边三角形 ABC 的距离 h ?
2

1 R ,而 ?ABC 的外接圆半径 r ,由正弦定理得 2
2

4 BC 2 2 ?1 ? ? 2 ? 2 2 2 ,所以 R ? h ? r ? ? R ? ? ? ,解得 R ? 2r ? ? ?r? ? 3 sin A sin ? 3 ?2 ? ? 3? 3

9.在等腰三角形 ABC 中, ?A ? 150 , AB ? AC ? 1 ,则 AB ? BC ? (
?

??? ? ??? ?



A. ?

3 ?1 2

B. ?

3 ?1 2

C.

3 ?1 2

D.

3 ?1 2

【答案】A 【解析】法①:在 BC 上取中点 D,由 ?A ? 150 , AB ? AC ? 1 ,知 2 B ? 30 则 AB ? BC ? AB ? 2 BD
? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 ? 2 AB BD cos(? ? B ) ? ?2 ? 1 BD cos B ? ?2 AB cos B cos B ? ?2 cos 2 B ? ? cos 2 B ? 1 ? ? ?1 2
法②:过 B 作 BD 垂直 CA 的延长线于点 O,以 O 为原心,OC 为 x 轴,OB 为 y 轴建直角坐标系。因为在

1 1 3 3 , OC ? ? 1 ,所以 B (0, ) , Rt ?AOB, ?OAB ? 180? ? 150? ? 30? , AB ? 1 所以 OB ? , OA ? 2 2 2 2

A(

3 3 , 0), C ( ? 1, 0) 2 2

所以 AB ? BC ? ( ?

??? ? ??? ?

3 1 3 1 3 3 1 1 3 ,? )?( ? 1, ) ? ? ( ? 1) ? (? ) ? ? ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

10.已知椭圆 A. 8 【答案】D

5 x2 y 2 ,椭圆上一点 P 到两焦点距离之和为 12 ,则 b ? ( ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b
B. 6 C. 5 D. 4



【解析】 2a ? 12 ? a ? 6,

c 5 ? ? c ? 2 5 ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 16 ? b ? 4 a 3

3

11.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直且相等,则该几何体的 体积是( ) A.

20 3

B.

C. 8 ?

?
6

16 3

D. 8 ?

?
3

【答案】A 【解析】 V ? V正方体 ? V正四棱锥 =2 ? ? 1? 2 ?
3 2

1 3

20 3

12.已知 ? 是第二象限的角,其终边上的一点为 P ( x, 5) ,且 cos ? ?

2 x ,则 tan ? ? ( 4



A.

15 5

B.

15 3

C. ?

15 5

D. ?

15 3

【答案】D 【解析】法①: P ( x, 5) ? y ?

5, cos ? ?

2 x x ? ? r ? 2 2 ? x 2 ? ( 5) 2 ? 2 2 4 r

?

?

2

? x ?? 3,

由 ? 是第二象限的角,得 x ? ? 3

所以 tan ? ?

y 5 15 ? ?? x ? 3 3

法②: tan ? ?

y 5 sin ? 5 2 10 ? ? ? sin ? ? ? x? ,由 ? 是第二象限的角, x x cos ? x 4 4

得 tan ? ? ?

10 42 ? ( 10) 2

??

15 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

?2 x ? y ? 2 ? 13.已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? 2 x ? ay 仅在点 (3, 4) 处取得最小值,则 a 的取值范 ?x ? y ? 1 ?
围是_________.

【答案】 ( ??, ?2) 【解析】作图知为封闭型可行域,显然 a ? 0 ;①当 a ? 0 时,由 z ? 2 x ? ay 与可行域知,在点 (3, 4) 处取得最大 值,与条件矛盾;②当 a ? 0 时, z ? 2 x ? ay ? y ? ?

2 z x ? ,z 最小即直线截距最大,当直线 z ? 2 x ? ay 与边 a a
4

界 x ? y ? ?1 重合时,截距最大,那么将直线 y ? ?

2 z x ? 绕点 (3, 4) 顺时针旋转至斜率不存在时均满足条件, a a

?a ? 0 ? ? a ? ?2 此时斜率越来小,故 ? 2 ? ?1 ? ? a

x 2 16 y 2 14.已知双曲线 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px 的准线上,则 p ? _________. 3 p
【答案】 4 【解析】

x 2 16 y 2 x2 y 2 p2 , ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? c2 ? a 2 ? b2 ? 3 ? 3 p 3 p 16 16
2

p p2 ? p? 由抛物线 y ? 2 px 的准线为 x ? ? ? ?c( p ? 0) ,所以 ? ? ? 3 ? ? p?4 2 16 ?2?
2

15.已知 f ( x) 是定义域为 R 的单调减的奇函数,若 f (3 x ? 1) ? f (1) ? 0 ,则 x 的取值范围是_________. 【答案】 ( ??, ? ] 【解析】 f ( x) 是定义域为 R 的单调减的奇函数, f (3 x ? 1) ? f (1) ? 0

2 3

? f (3 x ? 1) ? ? f (1) ? f (?1) ? 3 x ? 1 ? ?1 ? x ? ?

2 3

16.顶点在单位圆上的 ?ABC ,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c .若 sin A ? 则 S ?ABC ? _________.

3 2 2 ,b ? c ? 4 , 2

【答案】

3 4

【解析】

a 3 ? 2 R ? 2,sin A ? ? a ? 3 ,又 b 2 ? c 2 ? 4 ,所以 sin A 2 1 3 1 1 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 4 ? 3 ? 1 ? bc ? ? ? 1 ,所以 S ?ABC ? bc sin A ? 2 2 4 2 cos A ? 3? 2 1? ? ? ? 2 ?

5

三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 数列 {an } 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,且对任意的 n ? N ,均有 2an , 2 S n , an 成等差数列.
*

2

(1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式.

【答案】(1) a1 ? 2

(2) an ? 2 n
2

【解析】∵ 2an , 2 S n , an 成等差数列 (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? 4 S1 ? 2a1 ? a1
2

∴ 4 S n ? 2an ? an 又 a1 ? 0 ∴ a1 ? 2
2

2

(2)当 n ? 2 时, 4an ? 4( S n ? S n ?1 ) ? 4 S n ? 4 S n ?1 ? 2an ? an ? 2an ?1 ? an ?1 ,
2

∴ ( an ? an ?1 ) ? 2( an ? an ?1 ) ? 0
2 2

∴ ( an ? an ?1 )( an ? an ?1 ) ? 2( an ? an ?1 ) ? 0 又 an ? an ?1 ? 0 ∴ an ? an ?1 ? 2

∴ {an } 是等差数列,其公差为 2 由(1)知 a1 ? 2 ∴ an ? 2 n

18.(本小题满分 12 分) 某学校的篮球兴趣小组为调查该校男女学生对篮球的喜好情况,用简单随机抽样方法调查了该校 100 名学生,调查 结果如下:

(1)该校共有 500 名学生,估计有多少学生喜好篮球? (2)能否有 99 %的把握认为该校的学生是否喜欢篮球与性别有关?说明原因; (3)已知在喜欢篮球的 12 名女生中, 6 名女生(分别记为 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6 ) 同时喜欢乒乓球, 2 名女生(分别记 为 B1 , B2 )同时喜欢羽毛球, 4 名女生(分别记为 V1 , V2 , V3 , V4 ) 同时喜欢排球, 现从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的 女生中各取 1 人,求 P 1 , B2 不全被选中的概率. 附: K ?
2

n(ad ? bc) 2 , . (a ? b)(a ? c)(b ? d )(c ? d ) n ? a ? b ? c ? d
6

参考数据:

P( K 2 ? k 0 )

0.10 2.706

0.050
3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

k0

【答案】(1) 235 名

(2)能有 99 %的把握认为该校的学生是否喜欢篮球与性别有关

(3)

【解析】(1)喜好篮球的学生有 500 ?

35 ? 12 ? 235 (名) 100

11 12

(2) H 0 : 假设喜欢篮球与性别无关,且两者相互独立

K2 ?

100(35 ? 28 ? 25 ? 12) 2 ? 7.735 ? 6.635 (35 ? 12)(25 ? 28)(35 ? 25)(12 ? 28)
2

∴ P ( K ? 6.635) ? 0.01

∴ 1 ? 0.01 ? 0.99 ? 99%

∴能否有 99 %的把握认为该校的学生是否喜欢篮球与性别有关 (3)从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取 1 人共有 6 ? 2 ? 4 ? 48 种, 而P 1 , B2 全被选中的情况有 ( P 1 , B2 , V1 ), ( P 1 , B2 , V2 ), ( P 1 , B2 , V3 ), ( P 1 , B2 , V4 ) 共有 4 种, ∴ P( P 1 , B2 全被选中)=

4 1 = 48 12

∴ P( P 1 , B2 不全被选中)=1 ?

1 11 ? 12 12

答: P 1 , B2 不全被选中的概率为

11 12 。

19.(本小题满分 12 分) 如图所示,在直三棱柱 ABC ? DEF 中,底面 ABC 的棱 AB ? BC ,且 AB ? BC ? 2 .点 G 、 H 在棱 CF 上, 且 GH ? HG ? GF ? 1 (1)证明: EH ? 平面 ABG ; (2)求点 C 到平面 ABG 的距离.

【答案】(1)略

(2) 2 又 BC 为两面的交线

【解析】(1)∵在直三棱柱 ABC ? DEF 中,面 BCFE ? 面ABC ∴ AB ? 面BCFE ∴ AB ? EH ① 又 EH ? 面BCFE

∵在 Rt ?BCG 中, BC ? 2, CG ? CH ? HG ? 1 ? 1 ? 2
7

∴ BC ? CG

∴ ?BGC ? 45
?

?

同理: ?FHE ? 45 ∴ ?GPH ? 90 ∴ BG ? EH
?

设 BG ? EH ? P



又 BG ? AB ? B

∴ EH ? 平面 ABG (2)过 C 作 CM ? EH ,交 GB 于 N。由(1)知 EH ? 平面 ABG ∴ CN ? 平面 ABG ∴点 C 到平面 ABG 的距离为 CN,且 CN ? BG
?

∵在 Rt ?BCN 中, ?CBN ? 45 , BC ? 2

∴ CN ? BC sin ?CBN ? 2sin 45 ?
?

2

∴点 C 到平面 ABG 的距离为 2

20.(本小题满分 12 分) 已知点 F ( , 0) 及直线 l : x ? ?

1 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 . 过 P 作直线 l 的垂线, 垂足为 Q , 且 QP ? QF ? FP ? FQ . P 为平面上的动点, 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设圆 M 过点 A(1, 0) 且圆心 M 在 P 的轨迹 C 上, E1 , E2 是圆 M 在 y 轴上截得的弦,证明弦长 E1 E2 是一 个常数. 【答案】(1) y ? 2 x
2

(2) E1 E2 ? 2

【解析】(1)设 P ( x, y ) , Q ( ? ∵ QP ? QF ? FP ? FQ ∴ (x ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1 1 , y ), F ( , 0) , 2 2

1 1 , 0)?(1, ? y ) ? ( x ? , y )?(?1, y ) 2 2
2

∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y ? 2 x

t2 t2 t2 2 t2 2 2 2 2 2 2 (2)设 M ( , t ) , R ? ( ? 1) ? t , E1 (0, y1 ), E2 (0, y2 ) ∴圆 M 方程为 ( x ? ) ? ( y ? t ) ? ( ? 1) ? t 2 2 2 2
令x ? 0 ,则 y1 =t ? 1, y2 ? t ? 1
所以 E1 E2 ? y1 ? y2 ? 2

8

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? log a ( x ? 1)( a ? 0, a ? 1) . (1)当 a ? 1 时,证明: ?x1 , x2 ? ( ?1, ??), x1 ? x2 ,有 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ; 2 2

(2)若曲线 y ? f ( x) 有经过点 (0,1) 的切线,求 a 的取值范围. 【答案】(1)略 【解析】 (2) a ? 1

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写清楚题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, BC 是半圆 O 的直径, AD ? BC ,垂足为 D , ? AB ? ? AF , BF 与 AD 、 AO 分别交于点 E 、 G . (1)证明: ?DAO ? ?FBC ;
9

(2)证明: AE ? BE .

【解析】(1)证明:连接 OF ∵ BO ? FO, OG ? OG ∴ ?BOG ? ?FOG ∴ ?BGO ? ?FGO ∴ ?BGO ? 90
?

∵? AB ? ? AF

∴ ?BOG ? ?FOG

又 ?BGO ? ?FGO ? 180

?

又 AD ? BC
? ?

∴ ?DAO ? ?DOG ? ?FBC ? ?DOG ? 90 (或 ?DAO ? ?AEG ? ?FBC ? ?BED ? 90 ) ∴ ?DAO ? ?FBC (2)证明:由(1)知 ?DAO ? ?GBO ∴ ?DAO ? ?GBO (ASA) ∴ DO ? OG 又 OA ? BO ∴ OB ? DO ? OA ? OG 即 BD ? AG 又 ?DOA ? ?BOG , OA ? BO

∵ ?DAO ? ?GBO 且 ?BDE ? ?AGE ? 90 ∴ ?BDE ? ?AGE (ASA) ∴ AE ? BE

?

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,过点 P (1, ?2) 的直线 l 的倾斜角为 45 .以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极坐标建立极
?

坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin (1)求直线 l 的参数方程; (2)求 PA ? PB .

2

? ? 2 cos ? ,直线 l 和切线 C 的交点为 A, B .

【解析】(1)∵过点 P (1, ?2) 的直线 l 的倾斜角为 45

?

? 2 t ? ?x ? 1? ? x ? 1 ? t cos 45 ? ? 2 l ∴直线 的参数方程为 ? 即? ? ? ? y ? ?2 ? t sin 45 ? y ? ?2 ? 2 t ? ? 2
(2)由 ? sin
2

? ? 2 cos ? 得 ? 2 sin 2 ? ? 2? cos ?

所以曲线 C 方程为 y ? 2 x
2

10

? 2 t ?x ? 1? ? 2 2 将? 代入上面方程得 t ? 6 2t ? 4 ? 0 ? y ? ?2 ? 2 t ? ? 2
∴ PA ? PB ? t1t2 ? 4

∴ t1t2 ? 4

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 5 x . (1)当 a ? ?1 时,求不等式 f ( x) ? 5 x ? 3 的解集; (2)若 x ? ?1 时有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? a ? 5 x ? x ? 1 ? 5 x ,由 f ( x) ? 5 x ? 3 得 x ? 1 ? 5 x ? 5 x ? 3 解得 ?4 ? x ? 2 ∴不等式 f ( x) ? 5 x ? 3 的解集为 [ ?4, 2]



x ?1 ? 3

(2) f ( x) ? x ? a ? 5 x ? ?

?6 x ? a , x ? a ? a ? 4 x, x ? a

①当 a ? ?1 时,要使得 x ? ?1 时有 f ( x) ? 0 ,只须 ?6 ? a ? 0 ,则 a ? ?6 ; ②当 a ? ?1 时,要使得 x ? ?1 时有 f ( x) ? 0 ,只须 ? 综上所述, a ? ?6 或 a ? 4

??6a ? a ? 0 ,则 a ? 4 ; ?a ? 4 ? 0

11



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