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2014-2015学年第一学期广东省深圳市宝安区期末调研测试卷高二文科数学

2014-2015学年第一学期宝安区期末调研测试卷 高二文科数学 2015.1
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) . 1.设集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 0}, B ? {x | 1 ? x ? 4}, 则 A∩B= A. (0,2] B. (1,2) C. [1,2) D. (1,4) 2.在△ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的 A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 3.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则 A. ( ) ? ( )
a

1 2

1 2

b

B.

1 1 ? a b

C. a ? b
2

2

D. a ? b
3

3

4.下列结论正确的的是 A.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题 B.一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真 C.命题 "?x ? R, x ? x ? 0" 的否定是 " ?x ? R, x ? x ? 0"
2 2

D.命题 "若x ? ?1, 则x ? 2x ? 3 ? 0" 的否命题 "若x ? ?1, 则x ? 2x ? 3 ? 0"
2 2

5.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,公差 d ? 0 ,若 S11 ? 132, a3 ? ak ? 24 ,则正整数 k 的值为 A. 9 A. 2 3 7.若函数 f ( x) ? A. ? 0, 4] B. 10 B.2 C. 11 C. 2 D. 12 D.1 6. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,则 c ?

ax2 ? ax ? 1 的定义域为实数集 R ,则实数 a 的取值范围为 B. [0, 4] C. ? ?? ,0] ? [4, ??) D. ? ?? ,0) ? [4, ??)

8. 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 4x 的准线分别交于 A., B 两点,O a 2 b2 为坐标原点,若 ?AOB 的面积为 3 ,则双曲线 C 的离心率为
A. 2 B.

3 2

C.

9.数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ?

an?1 ? 1 , 其前 n 项积 .Tn ,则 T2015 ? an ?1 ? 1

1 2

D.

2 3 3

A. 1 B. ? 6 C. 2 D. 3 10.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) ? 1 , f ' ( x) 为 f ( x) 的导函数,已知 y ? f ' ( x) 的图像如图所示, 若两个正数 a 、 b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则

b ?1 的取值范围是 a ?1

Y

1 5 1 C. ( ,5) 3

A. ( ,3)

B. (?? , ) ? (5,?? ) D. (??,3) 第 10 题图 X
O

1 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) . 11.曲线 y ? 4 x ? x 在点 ? ?1, ?3? 处的切线方程是________________
3

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12.已知实数 m, 6,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为_______ m

?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示的平面区域的面积为________. ?x ? 3 y ? 2 ? 0 ?
14.当 a ? 0 且 a ? 1 时,函数 f ( x) ? log a ( x ?1) ? 1 的图像恒过点 A ,若点 A 在直线 mx ? y ? n ? 0 上,则

4m ? 2n 的最小值为_ _

__

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15.(本题满分 12 分)已知 p :| 1 ? 2x |? 5, q : x 2 ? 4x ? 4 ? 9m 2 ? 0(m ? 0) ,若 ? p 是 ? q 的充分而不必要 条件,求实数 m 的取值范围.

16.(本题满分 13 分)已知等差数列 ?an ?的公差 d ? 0 ,它的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? 35, 且 a2 , a7 , a22 成等比 数列. (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设数列 ?

?1? ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . ? Sn ?

?B ? 17. (本题满分 13 分) 如图, 在△ ABC 中,
(1)求 sin ?BAD ; (2)求 BD, AC 的长.

? 1 AB ? 8 , cos ?ADC ? . , 点 D 在 BC 边上, 且 CD ? 2 , 3 7

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18.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)求函数 f ( x ) 的极值; (2)设函数 g ( x) ? f ( x) ? a( x ? 1), 其中 a ? R, 求函数 g ( x) 在 [1 ,e] 上的最小值.

19. (本题满分 14 分)各项均为正数的数列 ?an ? 中, a1 ? 1, S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意 n ? N ,
?

有 2S n ? 2 pan ? pan ? p( p ? R) (1)求常数 p 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)记 bn ?

2

4S n ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 T 。 n?3

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,以原点为圆心,椭圆短半 2 a b 3 轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切, A, B 分别是椭圆的左右两个顶点, P 为椭圆 C 上的动点.
20. (本题满分 14 分)已知椭圆 C : (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 与 A, B 均不重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,证明: k1 ? k2 为定值; (3) M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,若

OP OM

? ? ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

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高二数学文科答案
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 A 6 B 7 B 8 A 9 D 10 C

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满 分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. y ? x ? 2 12.

3 2

13. 4

14. 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15、解:解不等式可求得: p : ?2 ? x ? 3, q : 2 ? 3m ? x ? 2 ? 3m(m ? 0) …………5分
则 ? p: A ? {x | x ? ?2或x ? 3} ? q: B : {x | x ? 2 ? 3m或x ? 2 ? 3m} ……7 分 由已知 ? p ? ? q,得 A B,从而

?2 ? 3m ? ?2, ? ?2 ? 3m ? 3, ? m ? 0. ?
1

?

1 0?m? . 3

(上述不等式组中等号不能同时取).……………10 分 经验证 ..0 ? m ? 3 为所求实数 m 的取值范围.……………12 分

1 16、解:(1)∵ {an } 是等差数列,∴ an ? a1 ? ? n ? 1? d ; S n ? na1 ? n ? n ? 1? d ,……2 分 2
又∵ S5 ? 35; a2 , a7 , a22 成等比数列,∴ a1 ? 3, d ? 2; an ? 2n ? 1……………6 分 (2)由(1)知 Sn ? n ? 2n;??8分 ?
2

1 1 1 1 ? ( ? ) ………………9 分 Sn 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 2 1 3 2 4 n ?1 n ?1 n n?2 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) …………13 分 2 2 n ?1 n ? 2 3 2n ? 3 ? ? 4 2(n ? 1)(n ? 2)
1 4 3 17、解:(1) 在△ADC 中,因为 cos ∠ADC= ,所以 sin ∠ADC= .………2 分 7 7 所以 sin ∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin ∠ADCcos B-cos ∠ADCsin B
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4 7

3 1 1 3 3 3 × - × = .………………………6 分 2 7 2 14

(2)在△ABD 中,由正弦定理得 3 3 8× 14 AB·sin ∠BAD BD= = =3. --------9 分 sin ∠ADB 4 3 7 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B 1 =82+52-2×8×5× =49,所以 AC=7. ………………13 分 2 18、 (1) f ?( x) ? ln x ? 1( x ? 0) .

…………1分

?1 ?1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ln x ? ?1 ? ln e , x ? ln e ?

1 ; e

? 1? 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? 0, ? .…………………………………………………………3分 ? e? 1 ?1? ?1 ? ? 1? ? f ( x) 的单调递增区间是 ? , ?? ? , 单调递减区间是 ? 0, ? , f ( x)min ? f ? ? ? ? . e ?e? ?e ? ? e?
值………………………………………………………………………5分 (2)g ?x ? ? x ln x ? a?x ?1? , 则 g ??x ? ? ln x ? 1 ? a. g ?? x ? <0 ? ln x ? 1 ? a <0 ? 0< x < ea?1 , g ??x ? > 0 ? x > e a ?1 , 所以 g ?x ? 在 0, e a ?1 上单调递减,在 e a ?1 ,?? 上单调递增.………………9 分 当 ea?1 ? 1, 即 a ? 1 时, g ?x ? 在 ?1, e? 上单调递增,所以 g ?x ? 在 ?1, e? 上的最小值为 g ?1? ? 0. ……10 分 当 1< e a ?1 <e,即 1<a<2 时, g ?x ? 在 1, e a ?1 上单调递减,在 e a ?1 , e 上单调递增.

f ( x) 无极大

?

?

?

?

?

?

?

?

g ?x ? 在 ?1, e? 上的最小值为 g ?ea?1 ? ? a ? ea?1.
当e

………12 分

? e a ?1 , 即 a ? 2 时, g ?x ? 在 ?1, e? 上单调递减,

所以 g ?x ? 在 ?1, e? 上的最小值为 g ?e? ? e ? a ? ae. ……13 分 综上,当 a ? 1 时, g ?x ? 的最小值为 0;当 1<a<2 时, g ?x ? 的最小值为 a ? e 当 a ? 2 时, g ?x ? 的最小值为 a ? e ? ae . ………14 分 19、 (1)由 a1 ? 1 及 2S n ? 2 pan ? pan ? p(n ? N ? ) ,得:
2
a ?1



2 ? 2p ? p ? p

? p ? 1 …………2 分
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(2)由 2S n ? 2an ? an ? 1 由②—①,得

2



得 2S n?1 ? 2an?1 ? an?1 ? 1
2 2

2



2an?1 ? 2(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an ) …………4 分

即: 2(an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an ) ? 0

? (an?1 ? an )(2an?1 ? 2an ? 1) ? 0 …………6 分
由于数列 ?an ? 各项均为正数,? 2an?1 ? 2an ? 1 即

a n ?1 ? a n ?

1 2

1 ? 数列 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 的等差数列, 2 1 n ?1 …………9 分 ? 数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? 1 ? (n ? 1) ? ? 2 2
(3)由 a n ?

4S n n ?1 n(n ? 3) ? bn ? ? 2 n ? n ? 2 n …………11 分 ,得: S n ? 2 4 n?3

?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? ? n ? 2n 2 ? Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ?? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ? 2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? ?(n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 1? 2

Tn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 …………14 分
20、 (1)由题意可得圆的方程为 x2 ? y 2 ? b2 ,∵直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆相切,∴ d ? ---------------------------------------1 分 又 e?

2 ? b ,即 b ? 2 , 2
所 以 椭 圆 方 程 为

c 3 2 2 2 , 即 a ? 3c , a ? b ? c , 解 得 a ? 3 , c ? 1 , ? a 3

x2 y 2 ? ? 1. 3 2

---------------------------------------3 分
2 x0 y2 y0 2 2 2 ? 2 ? x0 ? 0 ? 1 ,即 y0 , k1 ? , 3 3 2 x0 ? 3

(2)设 P( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) , A(? 3,0) , B( 3,0) ,则

k2 ?

y0 x0 ? 3



2 2 2 2 2 ? x0 (3 ? x0 ) 2 y0 2 2 ? 23 ? 3 2 ? ? , k1 ?k2 为定值 ? . --------6 分 即 k1 ? k2 ? 2 3 x0 ? 3 x0 ? 3 x0 ? 3 3
(3)设 M ( x, y ) ,其中 x ?[? 3, 3] .

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由 已 知

OP OM

2 2

? ?2 及 点 P 在 椭 圆 C 上 可 得

x2 ? 2 ?

2 2 x 2 3 ? x ? 6 ? ?2 , x2 ? y 2 3( x 2 ? y 2 )
--------8 分

整 理 得

2 (3 ?2 ? 1 x) ? ? y 32 ?2 ,其中 6 x ?[? 3, 3] .

3 时,化简得 y 2 ? 6 , 3 所以点 M 的轨迹方程为 y ? ? 6(? 3 ? x ? 3) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段; --------------------9 分
①当 ? ? ②当 ? ?

3 时,方程变形为 3

x2 y2 ? ? 1 ,其中 x ?[? 3, 3] ,-------------------------------------11 分 6 6 3? 2 ? 1 3? 2

当0 ? ? ? 当

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ? 3 ? x ? 3 的部分; 3

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ? 3 ? x ? 3 的部分; 3 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆. ---------------------------------------14 分

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