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第十章 第二节 排列、组合及其应用_图文

1.理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用 它解决一些简单的应用问题. 2.理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数 的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题.

1.排列

2.组合

[思考探究] 如何区分某一问题是排列问题还是组合问题? 提示:区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键是看

所选出的元素与顺序是否有关,若交换某两个元素的位置
对结果产生影响,则是排列问题,否则是组合问题.

1.从1,2,3,4,5,6六个数字中,选出一个偶数和两个奇数, 组成一个没有重复数字的三位数,这样的三位数共有 ( A.9个 C.36个 解析:这样的三位数共有: B.24个 D.54个 =3×3×6=54(个). )

答案:D

2.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙 至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为

(
A.85 C.49 解析:分两类计算, 答案:C B.56 D.28 =49.

)

3.数列{an}共有六项,其中四项为1,其余两项各不相同,
则满足上述条件的数列{an}共有 A.30个 C.60个 B.31个 D.61个 ( )

解析:在数列的六项中,只要考虑两个非1的项的位置,

即得不同数列,共有
答案:A

=30个不同的数列.

4.

的值为________.

解析:依题意得

解得


≤n≤

且n∈N*,∴n=10.
=466.

答案:466

5.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和 2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则

共有________种不同的播放方式(结果用数值表示).
解析:采用特殊位置法.先让两个不同的公益广告排在 首尾两个位置,再让4个商业广告排在剩下的4个位置, 据分步计数原理可知共有2A4 =48种播放方式. 4 答案:48

1.排列数公式:右边第一个因数为n,后面每个因数都比它前

面那个因数少1,最后一个因数是n-m+1,共m个因
数.公式 的变形与论 证. 2.组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种,与排列数公式的 应用一样,前者多用于数字计算,后者多用于对含有字母 主要用于含有字母的排列数的式子

的组合数的式子进行变形和论证.还应注意组合数公式的
逆用,即由 写出 .

[特别警示] 在排列数、组合数计算过程中要注意阶乘的运 算及组合数性质的运用,注意含有排列数或组合数的方程 都是在某个正整数范围内求解.

解方程或不等式:

(1)3
(2)

=2
>6

+6




(3)已知 [思路点拨]

,求

.

[课堂笔记] (1)由题意得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),

∵x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),
即3x2-17x+10=0,解得x=5或x= ∴x=5. (2)由题意得 等式化为 解得2≤x≤8,根据排列数公式,原不 (舍),

,即

>1.

又∵2≤x≤8,解得2≤x≤8.
∴原不等式的解集为x∈{2,3,4,5,6,7,8}. (3)由题意m的取值范围是0≤m≤5,且m∈N. 由已知 -23m+42=0,解得m=2或m=21. 又∵0≤m≤5,∴m=2. ∴ =28. 得m2

求排列应用题的主要方法有: 1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算.

2.特殊元素(或位置)优先安排的方法.即先排特殊元素或特
殊位置. 3.排列、组合混合问题先选后排的方法. 4.相邻问题捆绑处理的方法.即可以把相邻元素看作一个 整体参与其他元素排列,同时注意捆绑元素的内部排列.

5.不相邻问题插空处理的方法.即先考虑不受限制的元素的 排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中. 6.分排问题直排处理的方法. 7.“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法.

8.定序问题除法处理的方法.即可以先不考虑顺序限制,排
列后再除以定序元素的全排列. 9.正难则反,等价转化的方法.

有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求 不同的排列方法总数:

(1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置;
(2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边; (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起; (4)全体排成一行,男、女各不相邻;

(5)全体排成一行,男生不能排在一起; (6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺 序不变; (7)排成前后二排,前排3人,后排4人;

(8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有3人.

[思路点拨]

[课堂笔记] (1)利用元素分析法(特殊元素优先安排),甲 为特殊元素,故先安排甲,左、右、中共三个位置可供甲 选择,有 种,其余6人全排列,有 =2 160种. 种,但应剔除乙 种.

由乘法原理得

(2)位置分析法(特殊位置优先安排),先排最左边,除去甲
外,有 种,余下的6个位置全排有 种. =3 720种. 在最右边的排法数 则符合条件的排法共有

(3)捆绑法.将男生看成一个整体,进行全排列,再与其他

元素进行全排列,共有

=720种.

(4)插空法.先排好男生,然后将女生插入其中的四个空位, 共有 =144种.

(5)插空法.先排女生,然后在空位中插入男生,共有 =1 440种.

(6)定序排列.第一步,设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排 列总数为N;第二步,对甲、乙、丙进行全排列,则为七个

人的全排列,因此

=N×

,∴N=

=840种.

(7)与无任何限制的排列相同,有

=5 040种.

(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有 种,甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有 种,最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可,共 有 =720种.

1.组合问题常有以下两类题型: (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这 些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些 元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型:解这类题必须十 分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复

与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法
分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.

2.解答组合应用问题的基本思路: (1)整体分类,从集合的角度来讲,分类要做到各类的并集 等于全集,即“不漏”,任意两类的交集为空集,即“不重”; (2)局部分步,整体分类后,对每类进行局部分步,分步要 做到步骤连续,保证分步不遗漏,同时步骤要独立.

从7名男生5名女生中选取5人,分别求符合下列条 件的选法总数有多少种?

(1)A,B必须当选;
(2)A,B必不当选; (3)A,B不全当选; (4)至少有2名女生当选; (5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种 不同的工作,但体育委员必须由男生担任,班长必须由女 生担任.

[思路点拨]

[课堂笔记] (1)由于A,B必须当选,那么从剩下的10人中 选取3人即可,∴有 =120种.

(2)从除去的A,B两人的10人中选5人即可,

∴有

=252种.
种, 种, =672种

(3)全部选法有 A,B全当选有

故A,B不全当选有

(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有 女生,故可用间接法进行, ∴有 =596种.

(5)分三步进行:
第一步:选1男1女分别担任两个职务为 第二步:选2男1女补足5人有 第三步:为这3人安排工作有 由分步乘法计数原理共有 . 种; ;

=12 600种.

以选择题或填空题的形式考查排列与组合的应

用是高考对本讲内容的常规考法.09年广东、辽宁
等高考将排列、组合及两个计数原理综合考查,是 一个新的考查方向.

[考题印证] (2009· 辽宁高考)从5名男医生、4名女医生中选3名 医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有, 则不同的组队方案共有 ( )

A.70种
C.100种

B.80种
D.140种

解析:当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时, 共有 =14种组法,从9人中选择3人一共有 =84种

组法,所以要求男、女医生都有的情况共有84-14=70种组 队方法. 答案:A

[自主体验] 已知A={x|1<log2x<3,x∈N},B={x||x-6|<3, x∈N}.从集合A中取1个元素,从B中取3个元素,可以组 成无重复数字且比4 000大的自然数的个数为________.

解析:由题意得A={3,4,5,6,7},B={4,5,6,7,8},①若A中取3,
则先从B中任意取3个并排好,故有A =60种排法,第二步将 5 A中的3以插空的形式插入,有C 种方法,故有 3
1 3

=180

个.②若A中不取3,∵A中的元素4,5,6,7集合B中全部含有,
4 故只需从B中任意取4个并排好即可,故有A =120个, 5

∴共有 答案:300

=300个.

1.在数字1,2,3与符号“+”,“-”五个元素的所有全排列中, 任意两个数字都不相邻的全排列的个数是 ( )

A.6
C.18

B.12
D.24

解析:先排列1,2,3,有 个符号插入,有 答案:B

=6种排法,再将“+”,“-”两

=2种方法,共有6×2=12种方法.

2.(2009· 四川高考)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,

若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,
则不同排法的种数是 A.360 B.288 ( )

C.216 D.96 解析:先保证3位女生中有且只有两位女生相邻,

则有
∴所求N= =288. 答案:B · (

种排法,再从中排除甲站两端,
-2 )=6×(6×12-24)

3.(2010· 临沂模拟)设{an}是等差数列,从{a1,a2,…a20}

中任取3个不同的数,使这3个数仍成等差数列,则这
样不同的等差数列的个数最多有 A.90 C.180 B.120 D.200 ( )

解析:法一:分类列举法:3项相邻的有(a1,a2,a3), (a2,a3,a4),…,(a18,a19,a20)18个;相隔一项的有(a1, a3,a5),(a2,a4,a6),…,(a16,a18,a20)16个;相隔二

项的有(a1,a4,a7),(a2,a5,a8),…,(a14,a17,a20)14
个;…;相隔八项的有(a1,a10,a19),(a2,a11,a20)2个, 共有18+16+…+2=90个;又由于每个中第一、第三项 可以互换,如(a1,a2,a3)变为(a3,a2,a1)也满足要求, 故共有90×2=180个.

法二:分析符号法:三个数a,b,c成等差数列,b是a, c的等差中项,只要确定a,c后,b也就确定.a,c必须 同为奇数项或同为偶数项,有A +A10 =180个. 10 答案:C
2 2

4.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现 的错误共有________种.

解析:由于有两个o,只要在4个位置选2个安排即可,余
下两个字母全排列,故所有的数目为 只有1种,故共有11种错误的可能. 答案:11 =12,写对的

5.用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相 邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相邻,这样的六位 数的个数是________.(用数字作答)

解析:若个位数是偶数,当2在个位时,则1在十位,共有 A 2 A 2 =4(个), 当2不在个位时,共有 =16(个),
2 2

所以若个位是偶数,有4+16=20个六位数. 同理,若个位数是奇数,有20个满足条件的六位数, 因此,这样的六位数的个数是40.

答案:40

6.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球,把

小球全部放入盒子.问:
(1)共有多少种放法?

(2)恰有一个空盒,有多少种放法?
(3)恰有2个盒子内不放球,有多少种放法?

解:(1)1号小球可放入任意一个盒子内,有4种放法.同理,2、

3、4号小球也各有4种放法,故共有44=256种放法.
(2)恰有一个空盒,则这4个盒子中只有3个盒子内有小球,且 小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起,有 种方法,然后与其余2个小球看成三组,分别放入4个盒子中 的3个盒子中,有 种放法.由分步乘法计数原理,知共有

=144种不同的放法.

(3)恰有2个盒子内不放球,也就是把4个小球只放入2个盒子内,
有两类放法: ①一个盒子内放1个球,另一个盒子内放3个球.先把小球分 为两组,一组1个,另一组3个,有 种分法,再放到2个盒子 内,有 种放法,共有 种方法;

②2个盒子内各放2个小球.先从4个盒子中选出2个盒子,有C
种选法,然后把4个小球平均分成2组,每组2个,放入2个盒 子内,也有 种选法,共有 种方法. =84种不同的放

由分类加法计数原理,知共有 法.


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