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陕西省黄陵中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


2015-2016 学年黄陵中学高二第一学期期末理科数学试题
一、选择题:本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 75 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ? 1.命题“若 ? ? ,则 tan? ? 1 ”的逆否命题是( )
4

A.若 ? ?

?
4

,则 tan? ? 1
?
4

B.若 ? ?

?
4

,则 tan? ? 1
?
4

C.若 tan? ? 1 ,则 ? ?
2 2.x>3 是 x ? 9 的(

D.若 tan? ? 1 ,则 ? ? ) B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
3 2

A.必要不充分条件 C.既充分又必要条件

3.命题“对任意的 x ? R,x ? x ? 1 ≤ 0 ”的否定是( A.不存在 x ? R,x ? x ? 1 ≤ 0
3 2


3 2

B.存在 x ? R,x ? x ? 1 ≤ 0 D.对任意的 x ? R,x ? x ? 1 ? 0
3 2

C.存在 x ? R,x ? x ? 1 ? 0
3 2

4. 在等比数列 {an } 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为( A.2 5.已知椭圆 ( ) A. 2
?

)

B.3

C.4

D.8

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 25 16
B. 3
?

C. 5

D. 7
? ?

6.已知 a =(1,2,-2) , b =(-2,-4,4) ,则 a 和 b ( A.平行 B. 相交 C.垂直 ) C. ?1, ?? ? D. D.以上都不对



2 7.不等式 x ? x 的解集是(

A. ? ??,0 ?

B.

? 0,1?

? ??,0? ? ?1, ???

8.如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a 4 + a5 =12,那么 a1 + a 2 +?+ a 7 =( A.14
?

)

B.21
?

C.28

D.35
? ?

9.已知 a =(2,-3,1) , b =(4,-6,x) ,若 a ⊥ b ,则 x 等于(


1

A.10 10.椭圆

B.-10

C.2 )

D.-26

x2 y2 ? ? 1 的离心率为( 25 16

A.

3 5

B.

3 4

C.

4 5
) C. y ?

D.

9 25

11.抛物线 x 2 ? ?8y 的准线方程是( A. x ?

1 32

B. y ? 2
2 2 2

1 32

D. y ? ?2 )

12.在△ABC 中,若 a ? b ? c ? 3bc ,则角 A 的度数为( A.30°
?

B.150°
?
?

C.60°
? ?

D.120°
?

13.设

a ? 3 , b ? 6 , 若 a ? b =9,则< a , b >等于(
B.60° C.120° D.45°



A.90°

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( 14.与椭圆 4
A. x ?
2



y2 ?1 2

B.

x2 ? y2 ? 1 4

C.

x2 ? y2 ? 1 2

D.

x2 y2 ? ?1 3 3
)

15. 已知 ?ABC 中,已知 ?A ? 45?, AB ? 2, BC ? 2, 则 ?C = ( A.30° B.60° C.120° D.150°

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置。 16.我们将方程.

x2 y2 2 ? ?( 1 a ? b ? 0) 叫作椭圆的标准方程,其中 c ? a b

(用 a、b 表示) 。 17.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,它的渐近线方程为 36 9




18.焦点是(3,0)的抛物线的标准方程是

19. 已 知 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 棱 长 为 5. 则 直 线

BC 到 平 面

ADD 1 A1 的 距 离
2

为 。 20.若 ab=0,则 a=0 b=0。 (用适当逻辑连接词“或” 、 “且” 、 “非”填空) 。 三、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 21.(本小题 10 分) 已知双曲线中心在原点,离心率等于 2,且一个焦点坐标为(4,0) ,求此双曲线方程。 22.(本小题 13 分) 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ?ACB ? 90 ,


C1 A1

B1

AC=3,BC=4,AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC 1//平面 CDB1;

C D A

B

23.(本小题 13 分)

x2
已知椭圆 C:

a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(2,0),离心率为

2 2

。直

线 y ? x ?1 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N。 (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 求线段 MN 的长度。 24.(本小题 14 分)如图,棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2, BD= 2 2 . (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2) 求二面角 P—CD—B 余弦值的大小;

P

A

D

B

C

3

高二第一学期期末理科数学测试答案

一、
题号 答案

选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 15 小 题,每小题 5 分,共 75 分)。 1 C 2 B 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 C 9 D 10 A 11 B 12 A 13 B 14 C 15 A

二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 。 16. a ? b
2 2

17. y ? ?

1 x 2

18. y ? 12x
2

19. 5 20.或 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 4 小题,共 50 分) 21.(本小题 10 分) 解:双曲线中心在原点, ,且一个焦点坐标为(4,0) ,即 c=4, 又双曲线的离心率等于 2,即

c ? 2 ,∴ a=2.∴ b2 ? c2 ? a 2 =12。 a
z C1 A1 B1 E C D x A B y

故所求双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1。 4 12

22.(本小题满分 13 分) 证法一: (I)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长

AC=3,BC=4,且 ?ACB ? 90。 ,
∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC, ∴ AC⊥BC1; (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE, ∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∴ DE//AC1,∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1,∴ AC1//平面 CDB1;

证法二:∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,∴AC、BC、C1C 两两垂 直,如图,以 C 为坐标原点,直线 CA、CB、C1C 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐 标系,则 C(0,0,0) ,A(3,0,0) ,C1(0,0,4) ,B(0,4,0) ,B1(0,4,4) ,D(

3 ,2,0) 2

(1)∵ AC =(-3,0,0) , BC1 =(0,-4,0) ,∴ AC ? BC1 =0,∴AC⊥BC1. (2)设 CB1 与 C1B 的交战为 E,则 E(0,2,2).∵ DE =(- 4) ,∴ DE ?

3 ,0,2) , AC1 =(-3,0, 2

1 AC 1 ,∴DE∥AC1.∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1, 2

∴ AC1//平面 CDB1; 23.(本小题满分 13 分)

4

解: (1)∵椭圆一个顶点 A(2,0),离心率为
?a ? 2 ? 2 ?c ∴? ? 解得 b ? 2 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?

2 , 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1。 4 2

? y ? x ?1 ? (2)直线 y ? x ?1 与椭圆 C 联立 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 2 ?4

消去 y 得 3x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x2 ?
4 2 , x1 ? x2 ? ? 3 3
2 2

∴ MN ? 1 ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 24.(本小题满分 14 分)

4 5 。 3

解:方法一:证:⑴在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 , ∴AB=2,ABCD 为正方形,因此 BD ⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面 PAC.

解: (2)由 PA⊥面 ABCD,知 AD 为 PD 在平面 ABCD 的射影,又 CD⊥AD, ∴CD⊥PD,知∠PDA 为二面角 P—CD—B 的平面角. 又∵PA=AD,∴∠PDA=45 . ∴ cos∠PDA ?
0

2 2

z P

方法二:证: (1)建立如图所示的直角坐标系, 则 A(0,0,0) 、D(0,2,0) 、P(0,0,2). 在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 , ∴AB=2.∴B(2,0,0) 、C(2,2,0) , ∴ AP ? (0,0,2), AC ? (2,2,0), BD ? (?2,2,0) x C A D y

∵ BD ? AP ? 0, BD ? AC ? 0 ,即 BD⊥AP,BD⊥AC,又 AP∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. 解: (2)由(1)得 PD ? (0,2,?2),CD ? (?2,0,0) . 设平面 PCD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 n1 ? PD ? 0, n1 ? CD ? 0 ,
5

B

即?

?x ? 0 ?0 ? 2 y ? 2 z ? 0 ,∴ ? ?y ? z ?? 2 x ? 0 ? 0 ? 0

故平面 PCD 的法向量可取为 n1 ? (0,1,1)

∵PA⊥平面 ABCD,∴ AP ? (0,01 ) 为平面 ABCD 的法向量.

设二面角 P—CD—B 的大小为?,依题意可得 cos? ?

n1 ? AP n1 ? AP

?

2 . 2

6



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