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数列的极限教学设计

第三节 数列的极限
西北师范大学数学与统计学院 汪媛媛

引言:
极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如,我国古代数学家刘徽(公 元 3 世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术, 就是极限思想在几何学上 的应用. 又如,春秋战国时期的哲学家庄子(公元 4 世纪)在《庄子.天下篇》一书中对“截 丈问题” ,有一段名言: “一尺之棰, 日截其半, 万世不竭” ,其中也隐含了深刻的极限思想. 极限是研究变量的变化趋势的基本工具,高等数学中许多基本概念,例如连续、导数、 定积分、 无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义.

分布图示
★ 极限概念的引入 ★ 数列的极限 ★ 例1 ★ 例5 ★ 收敛数列的有界性 ★ 极限的唯一性 ★ 内容小结 ★ 习题 1-3 ★ 数列的定义 ★ 数列极限的严格定义 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例7 ★ 例8 ★ ★ ★ ★ 例9 子数列的收敛性 课堂练习 返回

★ 例2 ★ 例6

教学目的:1.理解极限的概念,了解极限的 ? ? N , ? ? ? 定义; 2.会用极限的严格定义证明极限.; 3.了解极限的性质; 教学重难点:理解掌握数列极限的概念 内容要点

一、数列的定义
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如,我国古代数学家刘徽(公 元 3 世纪) 利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术, 就是极限思想在几何学上 的应用。 设有一圆,首先作内接正六边形,把它的面积记为;再作内接正十二边形,其面积记为; 再作内接正二十四边形, 其面积记为; 循此下去, 每次边数加倍, 一般地把内接正 6 ? 2 形的面积记为 An ?n ? N ?。这样,就得到一系列内接正多边形的面积:
n ?1



A1 A2 A3 ...... An .......
它们构成一列有次序的数。当越大,内接正多边形与圆的差别就越小,从而以作为圆面积的 近似值也越精确。但是无论取得如何大,只要取定了,终究只是多边形的面积,而还不是圆 的面积。因此,设想无限增大(记为 n ? ? ,读作趋于无穷大) ,即内接正多边形的边数无

限增加,在这个过程中,内接正多边形无限接近于圆,同时也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积。 这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数 (所 谓数列) A1 A2 A3 ...... An .......当 n ? ? 时的极限。在圆面积问题中我们看到,正是这个 数列的极限才精确地表达了圆的面积。 在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法,已成为高等数学中的一种基本方法,因此 有必要作进一步的阐明。 先说明数列的概念。如果按照某一法则,有第一个数,第二个数,…这样依次序排列着, 使得对应着任何一个正整数有一个确定的数,那么,这列有次序的数

x1 x2 x3 ..... xn .....
就叫做数列。 数列中的每一个数叫做数列的项,第项叫做数列的一般项。例如:

1 2 3 n (1) , , , , , ; 2 3 4 n ?1 1 1 1 1 (3) , ,, , n , ; 2 4 8 2 n ? ? ?1? 1 4 (5)2, , , , 2 3 n
n ?1

(2)2, 4, 8, 2 n, ; (4)1, ? 11 , ,, ? ?1?
n ?1

,;



都是数列的例子,它们的一般项依次为

n 1 n ? ?? 1? ?? 1?n?1, , 2n, n , n ?1 n 2
以后,数列

n ?1



x1 x2 x3 .... xn ......
也简记为数列 ?xn ? 。 注:打印错误:L 等为省略号。 。 。 。 。

二、数列的极限
如果数列,当无限增大时,数列的取值能无限接近常数,我们就称是当 n ? ? 时的极 限,记作

lim x n ? l,
n??

它的解析 1.定义: 如果数列与常数有下列关系:对于任意给定的正数(不论它多么小) ,总存在正整数, n ? N 使得对于 时的一切,不等式

xn ? a ? ?
都成立,则称常数是数列的极限,或者称数列收敛于,记为

lim x n ? a,
n ??



xn ? a

?n ? ?? 。

如果数列没有极限,就说数列是发散的。 显然

1 ? 0, n n ?1 lim ? 1。 n ?? n lim
n ??

? ? N 论证法,其论证步骤为:
(1)对于任意给定的正数, 令 | xn ? a | ? ? ; (2)由上式开始分析倒推, 推出 n ? ? (? ) ; (3)取 N ? [? (? )],再用 ? ? N 语言顺述结论.

下面我们将学习数列极限的性质:

三、极限的唯一性
性质 1(极限的唯一性) 数列 ?xn ? 不能收敛于两个不同的极限。

四、收敛数列的有界性
性质 2(收敛数列的有界性) 如果数列 ?xn ? 收敛,那么数列 ?xn ? 一定有界。

五、子数列的收敛性
性质 3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列 ?xn ? 收敛于, 那么它的任一子数列也收敛,且极限也是。

例题选讲
例 1 (E01)下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出其收敛于何值. ?1 ? (1) 2 n ; (2) ? ? ; (3) (?1) n?1 ; n ? ?

? ?

?

?

? n ? 1? (4) ? ?. ? n ?

解 (1)数列 2 n 即为

? ?

2,4,8,...,2 n ,...
易见,当无限增大时, 也无限增大, 故该数列是发散的;

?1 ? (2)数列 ? ? 即为 ?n?

1 1 1 1, , ,.., ,... 2 3 n
易见,当无限增大时,

1 无限接近于 0, 故该数列是收敛于 0; n

(3)数列 (?1) n?1 即为

?

?

1,?1,1,?1,..,(?1) n?1 ,....
易见,当无限增大时, (?1) n?1 无休止地反复取 1、-1 两个数,而不会接近于任何一个确定的常 数,故该数列是发散的; ? n ? 1? (4)数列 ? ? 即为 ? n ?

1 2 3 n ?1 0, , , ,..., ,..... 2 3 4 n
易见,当无限增大时,

n ?1 无限接近于 1, 故该数列是收敛于 1. n

n ? (?1) n ?1 ? 1. 例 2 (E02) 证明 lim n ?? n
证 由 | xn ? 1 |?

1 n ? (?1) n?1 1 ? 1 ? ,故对任给 ? ? 0, 要使 | xn ? 1 |? ? , 只要 ? ? , n n n

即n ?

?1? . 所以,若取 N ? ? ?, 则当 n ? N 时,就有 ? ?? ?
1

n ? (?1) n ?1 ?1 ? ?. n


lim

n ? (?1) n ?1 ? 1. n ?? n
n ??

例 3 设 x n ? C (为常数),证明 lim x n ? C. 证 因 对 任 给 ? ? 0, 对 于 一 切 自 然 数 恒 有 | xn ? C |?| C ? C |? 0 ? ? . 所 以 ,

lim x n ? C. 即:常数列的极限等于同一常数.
n ??

注:用定义证数列极限存在时,关键是:对任意给定的 ? ? 0, 寻找但不必要求最小的 例 4 证明 lim q ? 0, 其中 | q |? 1.
n n ??



任给 ? ? 0, 若 q ? 0, 则 lim q ? lim 0 ? 0; 若 0 ?| q |? 1, 欲使 | xn ? 0 |?| q n |? ? ,
n n ?? n ??

必须 n ln | q |? ln ? , 即 n ?

? ln ? ? ln ? , 故对任给 ? ? 0, 若取 N ? ? ?, 则当 n ? N 时,就有 ln | q | ? ln | q | ?

| q n ? 0 |? ? , 从而证得 lim q n ? 0.
n ??

例 5 设 x n ? 0, 且 lim x n ? a ? 0, 求证 lim x n ?
n ??



任给 ? ? 0, 由

n??

a.

| xn ? a |?
要使 |

| xn ? a | xn ? a

?

| xn ? a | a

,

xn ? a |? ? , 即要 | xn ? a |? a? , xn ? a |? ? , 故 lim xn ? a .
n??

? lim x n ? a, ? 对 ? 0 ? a? ? 0, ?N ? 0, 当 n ? N 时, | xn ? a |? a? ,
n ??

从而当 n ? N 时,恒有 |

5 ? 2n 2 ?? . 例 6 用数列极限定义证明 lim n ? ? 1 ? 3n 3
证 由于

17 5 ? 2n ? 2 ? 17 17 ? ? , 解得 ? ?? ? ? ? (n ? 1), 只要 9n ? 3 1 ? 3n ? 3 ? 3(1 ? 3n) 9n ? 3

n?

17 1 ? 17 1 ? ? . 因此,对任给的 ? ? 0, 取 N ? ? ? ?, 则 n ? N 时, 9? 3 ? 9? 3 ?

5 ? 2n ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 成立, 1 ? 3n ? 3 ?


5 ? 2n 2 ?? . n ? ? 1 ? 3n 3 2 n ?2 ? 1. 例 7 (E03) 用数列极限定义证明 lim 2 n ?? n ? n ? 1 n2 ? 2 3? n n?n 2 n2 ? 2 证 由于 2 要使 2 ?1 ? 2 ? 2 ? (n ? 3) , ?1 ? ?, n n ? n ?1 n ? n ?1 n n ? n ?1 lim

只要

2 2 ?2? ? ? , 即 n ? , 因此,对任给的 ? ? 0, 取 N ? ? ?, 当 n ? N 时,有 n ? ?? ? n2 ? 2 n2 ? 2 lim ? 1. 即 ? 1 ? ? , n ?? n 2 ? n ? 1 n2 ? n ?1
例 8 (E04) 证明:若 lim x n ? A, 则存在正整数当 n ? N 时,不等式 | x n |?
n ??



| A| 成立. 2 因 lim x n ? A, 由数列极限的 ? ? N 定义知,对任 给的 ? ? 0, 存在 N ? 0, 当
n ??

n ? N 时,恒有 | xn ? A |? ? , 由于 || xn | ? | A ||?| xn ? A |, 故 n ? N 时,恒有

|| xn | ? | A ||? ? , 从而有 | A | ?? ?| xn |?| A | ?? , 由此可见,只要取 ? ?
恒有

| A| , 则当 n ? N 时, 2

| x n |?

| A| . 证毕. 2 1 1 , ?N ? 0, 使得当 n ? N 时, 恒有 | x n ? a |? , 2 2

例 9 (E05) 证明数列 xn ? (?1) n?1 是发散的 证 设 lim x n ? a, 由定义, 对于 ? ?
n ??

即当 n ? N 时, xn ? ? a ?

? ?

1 1? , a ? ?, 区间长度为 1.而无休止地反复取 1,-1 两个数,不 2 2?

可能同时位于长度为 1 地区间. 因此改数列是发散的. 证毕. 注:此例同时也表明:有界数列不一定收敛.

课堂练习
1.设 p ? 0, 证明数列 x n ?

1 的极限是 0. np


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