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高中数学第三章不等式3.2均值不等式课后训练新人教B版必修5

3.2 均值不等式 课后训练 1.若-4<x<1,则 f ? x ? ? A.有最小值 1 C.有最小值-1 x2 ? 2 x ? 2 ( 2x ? 2 ). B.有最大值 1 D.有最大值-1 2.已知 a>b>0,全集 I=R, M = ? x b ? x ? ? ? a ?b? ? , N ? x | ab ? x ? a ,P= 2 ? ? ? {x|b<x≤ ab },则( ). A.P=M∩ N B.P= M ∩N C.P=M∩N D.P=M∪N 3.若 0<a<b 且 a+b=1,则下列四个数中最大的是( ). 1 A. 2 B.a +b 2 2 C.2ab a b D.a 4.设 a>0,b>0.若 3 是 3 与 3 的等比中项,则 A.8 B.4 C.1 D. 1 1 ? 的最小值为( a b ). 1 4 ). 5.设 x>y>z,且 A.2 B.3 1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值是( x? y y?z x?z C.4 D.5 2 6.在区间 ? , 2 ? 上,函数 f(x)=x +bx+c(b,c∈R)与 g ? x ? = 得相同的最小值,那么 f(x)在区间 ? , 2 ? 上的最大值是______. ?1 ? ?2 ? x2 ? x ? 1 在同一点取 x ?1 ? ?2 ? 7.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+ 1=0 上,其中 mn>0,则 1 2 ? 的最小值为______. m n 1 1 1 ? ? ? a? b? c. a b c 8.a,b,c 为互不相等的正数,且 abc=1,求证: 证明:证法一:∵abc=1,且 a,b,c 为互不相等的正数, 求下列各式的最值: (1)已知 x>y>0,且 xy=1,求 x2 ? y 2 的最小值及此时 x,y 的值; x? y a b (2)设 a,b∈R,且 a+b=5,求 2 +2 的最小值. 参考答案 1. 答案:D 解析: f (x)= 1? 1 ? ,∵-4<x<1, ? x ? 1? ? ? 2? x ? 1? ? 1 ∴x-1<0,-(x-1)>0. 1? 1 ? 1 1 ?? x ? 1? ? ? ? ? 2 ?? x ? 1?? ? ?1, ? ? 2? ?( x ? 1) ? 2 ?? x ? 1? 1 当且仅当 x-1= 即 x=0 时等号成立,即 x=0 时,f(x)有最大值-1. x ?1 ∴ f (x)= ? 2. 答案:A 解析:∵ b ? ∴M = x|b ? x ? 3. 答案:B ? a?b ? a, 2 ? a ?b? N ? ?x b ? x ? ? x | x ? a或x ? ab 2 ? ? ab ? ? ? ab =P. 1 2 2 ? a?b ?2 , a +b =(a+b)2-2ab>(a+b)2-2· ? ? 2 ? 2 ? ? 解析: ∵0<a<b 且 a+b=1, ∴a ? = 1 . 2 ∵a +b -2ab=(a-b) >0,∴a +b >2ab. 2 2 ∴a +b 最大.(本题也可取特殊值进行检验) 4. 答案:B a b 解析:因为 3 ·3 =3,所以 a+b=1, 2 2 2 2 2 1 1 ?1 1? ? ? (a+b) ? ? ? a b ?a b? b a b a ? ? 2+2 ? =4 , a b a b b a 1 1 1 当且仅当 ? ,即 a=b= 时,等号成立,即 ? 最小值为 4. 2 a b a b = 2+ 5. 答案:C 解析:原不等式可变形为 n≤(x-z) ? ? 1 1 ? ? ? ,此不等式恒成立的条件是 n 不 ? x? y y?z? 大于右边的最小值.令 a=x-y,b=y-z,则 a>0,b>0,且 x-z=a+b. ∴(x-z) ? ? 1 1 ? ?1 1? ?b a? ? ? =(a+b)· ? ? ? =2+ ? ? ? ≥4.∴n≤4. ?a b? ?a b? ? x? y y?z? 1 x2 ? x ? 1 =x+ +1≥3,当 x=1 时取等号,即当 x=1 时取最小 x x 2 6. 答案:4 解析:首先 g ? x ? = 值 3,所以 f(x)的对称轴是 x=1,所以 b=-2,再把(1,3)代入即得 c=4,所以 f(x)=x -2x+4,易得在 ? , 2 ? 上的最大值是 4. 7. 答案:8 解析:∵函数 y=loga(x+3)-1 的图象过定点(-2,-1), ∴-2m-n+1=0, 即 2m+n=1. ?1 ? ?2 ? 1 2 ? 1 2? ? n 4m ? ? =(2m ? n) ? ? ? =4+ ? ? ? ≥4+4=8. m n ?m n? ?m n ? 2 ? n 4m 1 ? ?m ? n , m? , ? ? ? 4 当且仅当 ? 2m ? n ? 1, 即 ? 时,等号成立. ?n ? 1 ? mn ? 0, ? ? ? 2 ? 1 1 1 bc ? ac ac ? ab ab ? bc ? ? 8. ∴ ? ? =bc+ac+ab= > a b c 2 2 2 bc ? ac ? ac ? ab ? ab ? bc = c ? a ? b , 1 1 1 ∴ ? ? ? a? b? c. a b c 证法二:∵a,b,c 为互不相等的正数,且 abc=1, 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 1 1 1 1 1 1 ∴ a? b? c ? ? ? ?b c?a c?a b? ? ? . bc ac ab 2 2 2 a b c 1 1 1 ∴ ? ? ? a? b? c. a b c 证法三:∵a>0,b>0,c>0,a,b,c 互不相等,且 abc=1,

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