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数学必修5 2.5.2 等差、等比数列的综合应用

第二章





数学· 必修 5(人教 A 版)

2.5.2

等差、等比数列的综合应用

?基础达标 1 9 1.数列 an= ,其前 n 项之和为 ,则项数 n 为( 10 n?n+1? A.12 B.11 C.10 D.9 答案:D )

2. 已知等比数列{an}的首项为 1,公比为 q,前 n 项和为 Sn,则 ?1? 数列?a ?的前 n 项和为( ) ? n? 1 qn n-1 1-n A.S B.Snq C.Snq D.S n n
?1? 1 解析: 数列?a ?的首项为 1, 公比为q, 它的前 n 项和为 Tn= ? n?

1 1-qn 1 1-q

qn-1 1-qn = n-1 ,又 Sn= , q ?q-1? 1-q 1 ∴Tn= n-1· Sn=q1-n· Sn.故选 C. q 答案:C

第二章 3.数列{an}的通项公式 an= 之和等于 9.( A.99 ) B.98 1

数 1

列 ,则该数列的前____项

n+ n+1

C.97

D.96

解析:an=

n+ n+1 n+1- n = = n+1- n, ? n+1- n?? n+1+ n? ∴Sn=a1+a2+a3+?+an =( 2- 1)+( 3- 2)+?+( n+1- n) = n+1-1. 令 n+1-1=9?n+1=100,∴n=99.故选 A. 答案:A 1 4.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= ,则 S4 等于( n?n+1? 4 1 1 5 A. B. C. D. 5 5 20 6 答案:A
? 1 ? 1 1 1 5. 求和:1 +3 +5 +?+??2n+1?+2n+1?=________. 2 4 8 ? ?

)

1 1 1 解析: Sn+ 1=[1+3+?+?2n+1?]+ ( + + ?+ n+1)= n2+ 2n 2 4 2

?1? +2- ? ? ?2?

n+1

.
n+1

?1? 答案:n2+2n+2- ? ? ?2?

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?巩固提高 6.已知数列{an}的通项公式为 an=log2(n2+3)-2,那么 log23 是这个数列的第________项. 解析:令 an=log23?log2(n2+3)-2=log23?n2+3=12, ∴n2=9,n=3. 答案:3 7.下列命题中正确命题为________. a1?1-qn? ①常数列一定是等比数列; ②等比数列前 n 项和 Sn= (其 1-q 中 a1 为首项,q 为公比);③前 n 项和 Sn 为 n 的二次函数的数列一定 是等差数列;④0 不可能是任何等比数列的一项. 解析:对①举反例:an=0;②q≠1;③为等差数列,要求让 Sn 无常数项. 答案:④

8.已知数列{an}中,a1=-1,an+1· an=an+1-an,则数列通项 an =________. 1 1 解析:由 an+1· an=an+1-an?1=a - a n +1 n 1 1 ? -a =-1. an+1 n ?1? ∴数列?a ?是首项为-1,公差为-1 的等差数列, ? n? 1 an=-1+(n-1)(-1)=-n, 1 ∴an=-n. 1 答案:-n

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n ?1 ? ? ? ? ? ? 9.已知数列{an}的通项公式 an=lg ?100? sin ? ? ,试问: ? 4? ? ? ? ? ?

该数列的前多少项之和最大?求出这个最大的和.(lg 2 取 0.3) 解析:由题设知:an+1-an
n n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =lg ?100? sin ? ? -lg ?100? sin ? ? ? 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

π 1 =lg sin =- lg 2, 4 2 ∴数列{an}是等差数列,a1=2, 1 an=2-(n-1) lg 2, 2 1 当 an=2-(n-1) lg 2<0 时可解得 n>14.3, 2 即 n≥15 时,an<0 91 ∴当 n=14 时,S14 最大且 S14=28- lg 2. 2

?6n-5 ?n为奇数?, ? 10. 已知数列{an}的通项公式为 an=? n 求 Sn. ? ?n为偶数?, ?4

解析:①当 n 为奇数时, Sn=[1+13+?+(6n-5)]+(42+44+?+4n-1) ?1+6n-5? n+1 42?4n-1-1? = · + 2 2 42-1 ?n+1??6n-4? 4n+1-16 = + 4 15 n+1 ?n+1??3n-2? 4 -16 = + . 2 15 ②当 n 为偶数时, Sn=[1+13+?+(6n-11)]+(42+44+?+4n-1+4n)= 4n+2-16 + . 15 n?3n-5? 2

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1.数列是特殊的函数,有些题目可结合函数知识去解决,体现 了函数思想、数形结合的思想. 2.等差、等比数列中,a1、an、n、d(q)、Sn“知三求二”,体 现了方程(组)的思想、整体思想,有时用到换元法. 3.求等比数列的前 n 项和时要考虑公比是否等于 1,公比是字 母时要进行讨论,体现了分类讨论的思想. 4.数列求和的基本方法有:公式法、倒序相加法、错位相减法、 拆项法、裂项法、累加法、等价转化等.


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