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高中数学一轮复习计数原理、概率、随机变量及其分布 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理_图文

1.纵观近两年各地高考题,涉及本章 1.对于复杂的计数问题要掌握“先分 知识的有一个解答题和 1~2 个小题, 类,再分步” ,淡化技巧,侧重分析问 约占 17~22 分, 选择题、 填空题主要 题和解决问题的思想积累. 考查概率、计数原理、二项式定理、 2.掌握对于复杂事件的概率问题的两 正态分布等知识;解答题主要考查离 个处理角度, 即正面分类或研究对立事 散型随机变量的分布列、均值与方 件, 对于几何概型一定要注意测度的选 差,相互独立事件的概率,尤其注重 择, 即保证基本事件无限多个且等可能 与统计知识的交汇. 性. 2.本章与实际问题联系密切,是高 3.互斥事件、相互独立事件的概率,n 中数学中相对独立的一部分,概念性 次独立重复试验是常考的一个热点, 应 强,思维方法独特,因此,本章内容 切实理解掌握. 既是高中数学的重点,又是高考考查 4.离散型随机变量的分布列,均值问 的热点. 题是高考应用题的一个热点, 常在解答 3.在命题思路上,以考查基础知识、 题中出现,需要充分重视.这类问题在 基本技能为主,同时注重创新,把几 处理时,弄清楚事件的含义是关键,并 个知识点揉和到一个题目中,考查学 加强与统计知识渗透交汇训练. 生的综合能力. 第一节 原理 考纲传真 分类加法计数原理与分步乘法计数 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原 理, 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决 一些简单的实际问题. 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案, 在第 1 类方案中有 m 种不 同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法,那么完成这 件事共有 N=m+n 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤, 做第 1 步有 m 种不同的方法, 做第 2 步有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法. 1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以 相同( ) (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接 完成这件事( ) (3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的 方法是各不相同的( ) (4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中 任何一个单独的步骤都能完成这件事( 【解析】 (2)(3)正确. 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× ) 根据两个计数原理的含义, (1)(4)不正确, 2.(人教 A 版教材习题改编)某班新年联欢会原定的 6 个 节目已排成节目单,开演前又增加了 3 个新节目,如果将这 3 个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为( A.504 C.336 【解析】 ) B.210 D.120 分三步,先插一个新节目,有 7 种方法,再 插第二个新节目,有 8 种方法,最后插第三个节目,有 9 种 方法. 故共有 7×8×9=504 种不同的插法. 【答案】 A 3.(2014· 潍坊质检)三个人踢毽,互相传递,每人每次只 能踢一下,由甲开始踢,经过 5 次传递后,毽又被踢回给甲, 则不同的传递方式共有( A.6 种 C.10 种 【解析】 ) B. 8 种 D.16 种 如下图,甲第一次传给乙时有 5 种方法,同 理,甲传给丙也可以推出 5 种情况,综上有 10 种传法. 【答案】 C 4. 在某种信息传输过程中, 用 4 个数字的一个排列(数字 允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数 字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字 相同的信息个数为( A.10 C.12 ) B.11 D.15 【解析】 若 4 个位置的数字都不同的信息个数为 1; 若 恰有 3 个位置的数字不同的信息个数为 C3 4;若恰有 2 个位置 上的数字不同的信息个数为 C2 4. 2 由分类计数原理知满足条件的信息个数为 1+C3 + C 4 4= 11. 【答案】 B 5.(2013· 山东高考)用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有 重复数字的三位数的个数为( A.243 C.261 B.252 D.279 ) 【解析】 0,1,2,…,9 共能组成 9×10×10=900(个) 三位数,其中无重复数字的三位数有 9×9×8=648(个), ∴有重复数字的三位数有 900-648=252(个). 【答案】 B 考向 1 分类加法计数原理 【例 1】 (2013· 福建高考)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关 于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b)的个数 为( ) A.14 C.12 B.13 D.10 【尝试解答】 根据 a,b 的限制范围分类讨论,利用 分类加法计数原理计算. 【尝试解答】 a,b∈{-1,0,1,2}. b (1)当 a=0 时,有 x=- ,b=-1,0,1,2 有 4 种可能. 2 (2)当 a≠0 时,则 Δ=4-4ab≥0,ab≤1, ①若 a=-1 时,b=-1,0,1,2 有 4 种不同的选法. ②若 a=1 时,b=-1,0,1,有 3 种可能; ③若 a=2 时,b=-1,0,有 2 种可能. ∴有序数对(a,b)共有 4+4+3+2=13(个). 【答案】 B 规律方法 1 1.本题常见的错误: (1)想当然认为二次方程 (a≠0),错选 D;(2)误认为 a≠b. 2.分类标准是运用分类计数原理的难点所在,应抓住题 目中的关键词、关键元素、关键位置.根据题目特点恰当选 择一个分类标准,分类时应注意完成这件事情的任何一种方 法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不 同的方法. 变式训练 1 某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友一本,则不同 的

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