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数学3.1.1空间向量及其加减运算强化作业(人教A版选修2-1)

3.1.1

一、选择题

1.下列命题正确的有( )

(1)若|a|=|b|,则 a=b;

(2)若 A,B,C,D 是不共线的四点,则A→B=D→C是四边形 ABCD 是平行四边形的充要条

件;

(3)若 a=b,b=c,则 a=c;

(4)向量

a,b

相等的充要条件是???|a|=|b|, ??a∥b;

(5)|a|=|b|是向量 a=b 的必要不充分条件;

(6)A→B=C→D的充要条件是 A 与 C 重合,B 与 D 重合.

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

[答案] C

[解析] (1)不正确.两个向量长度相等,但它的方向不一定相同.

(2)正确.∵A→B=D→C

∴|A→B|=|D→C|且A→B∥C→D.

又∵A,B,C,D 不共线,

∴四边形 ABCD 是平行四边形.

反之,在?ABCD 中,A→B=D→C.

(3)正确.∵a=b,

∴a,b 的长度相等且方向相同.

∵b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同.

故 a=c.

(4)不正确.由 a∥b,知 a 与 b 方向相同或相反.

(5)正确.a=b?|a|=|b|,|a|=|b|?/ a=b.

(6)不正确.A→B=C→D,|A→B|=|C→D|,A→B与C→D同向.

故选 C.

2.设 A,B,C 是空间任意三点,下列结论错误的是( )

A.A→B+B→C=A→C B.A→B+B→C+C→A=0

C.A→B-A→C=C→B D.A→B=-B→A

[答案] B

[解析] 注意向量的和应该是零向量,而不是数 0.

3.已知空间向量A→B,B→C,C→D,A→D,则下列结论正确的是( )

A.A→B=B→C+C→D

B.A→B-D→C+B→C=A→D

C.A→D=A→B+B→C+D→C

D.B→C=B→D-D→C

[答案] B

[解析] 根据向量加减法运算可得 B 正确.

4.在平行六面体 ABCD—A′B′C′D′中,与向量A→A′相等的向量(不含AA→′)的个数

是( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

[答案] C

[解析] 利用向量相等的定义求解.

5.两个非零向量的模相等是这两个向量相等的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[答案] B

[解析] 两个非零向量的模相等,这两个向量不一定相等,但两向量相等模必相等,故

选 B.

6.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若A→1B1=a,A→1D1=b, A→1A=c,则下列向量中与B→1M相等的向量是( )
A.-12a+12b+c

B.12a+12b+c

C.12a-12b+c

D.-12a-12b+c

[答案] A [解析] B→1M=B→1B+B→M

=A→1A+12B→D

=A→1A+12(B→1A1+B→1C1)

=-12a+12b+c.∴应选 A.

7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中

(1)(A→B+B→C)+C→C1

(2)(A→A1+A→1D1)+D→1C1

(3)(A→B+B→B1)+B→1C1

(4)(A→A1+A→1B1)+B→1C1.

运算的结果为向量A→C1的共有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

[答案] D

8.给出下列命题:

①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个圆;

②若空间向量 a、b 满足|a|=|b|,则 a=b;

③若空间向量 m、n、p 满足 m=n,n=p,则 m=p;

④空间中任意两个单位向量必相等;

⑤零向量没有方向.

其中假命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

[答案] D

[解析] ①假命题.将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时,它们的终点将构

成一个球面,而不是一个圆;

②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相 同,但②中向量 a 与 b 的方向不一定相同;
③真命题.向量的相等满足递推规律; ④假命题.空间中任意两个单位向量模长均为 1,但方向不一定相同,所以不一定相等, 故④错; ⑤假命题.零向量的方向是任意的. 9.空间四边形 ABCD 中,若 E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 边上的中点,则下 列各式中成立的是( ) A.E→B+B→F+E→H+G→H=0 B.E→B+F→C+E→H+G→E=0 C.E→F+F→G+E→H+G→H=0 D.E→F-F→B+C→G+G→H=0 [答案] B [解析] E→B+F→C=E→B+B→F=E→F, E→H+G→E=G→H,

易证四边形 EFGH 为平行四边形,

故E→F+G→H=0,

故选 B.

10.(2010·上海高二检测)已知平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O,且O→A=a,O→B=b,

则B→C=( )

A.-a-b

B.a+b

C.12a-b

D.2(a-b)

[答案] A

[解析] B→C=B→O+O→C=B→O-O→A=-b-a,故选 A.

二、填空题

11.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若C→A=a,C→B=b,C→C1=c,则A→1B=________.

[答案] b-c-a

[解析] A→1B=C→B-C→A=C→B-(C→A+C→C1)=b-(a+c)=b-c-a. 12.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点且 2O→A+O→B+O→C=0,那么A→O=

________.

[答案]

→ OD

[解析] ∵D 为 BC 中点,

∴O→B+O→C=2O→D,

又O→B+O→C=-2O→A

∴O→D=-O→A即O→D=A→O. 13.已知空间四边形 ABCD,连结 AC、BD,设 M、N 分别是 BC、CD 的中点,则M→N用 A→B、A→C、A→D表示的结果为______________________.

[答案] 12(A→D-A→B) [解析] M→N=12B→D=12(A→D-A→B) 14.已知平行六面体 ABCD—A′B′C′D′,则下列四式中: ①A→B-C→B=A→C; ②AC→′=A→B+B′→C′+C→C′; ③A→A′=C→C′; ④A→B+B→B′+B→C+C→′C=AC→′. 正确的是________.
[答案] ①②③ [解析] A→B-C→B=A→B+B→C=A→C,①正确;A→B+B′→C′+C→C′=A→B+B→C+C→C′=

AC→′,②正确;③显然正确. 三、解答题 15.如图所示的是平行六面体 ABCD—A1B1C1D1,化简下列各式.
(1)A→B+A→D+A→A1; (2)D→D1-A→B+B→C. [解析] (1)A→B+A→D+A→A1=A→B+B→C+C→C1=A→C1 (2)D→D1-A→B+B→C=D→D1-(A→B-A→D) =D→D1-D→B=B→D1 16.如图所示的是平行六面体 ABCD—A′B′C′D′,化简下列各式.
(1)A→B+B→B′-D′→A′+D→′D-B→C; (2)AC→′-A→C+A→D-A→A′. [解析] (1)原式=A→B+A→A′+A→D-A→A′-A→D=A→B (2)原式=C→C′+A→D-A→A′=A→D. 17.若 G 为△ABC 的重心,求证G→A+G→B+G→C=0. [解析] 证明:延长 AG 交 BC 于 D,在 AD 延长线上取点 E,使 DE=GD,则四边形 BGCE 为平行四边形,所以G→E=G→B+G→C,又由重心知G→E=-G→A,故G→A+G→B+G→C=0. 18.如图所示,在四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AD,BC 的中点,求证E→F=12(A→B+D→C).
[解析] 证明:E→F=E→A+A→B+B→F,①

E→F=E→D+D→C+C→F,② ①+②,得 2E→F=(E→A+A→B+B→F)+(E→D+D→C+C→F)=A→B+D→C, ∴E→F=12(A→B+D→C).

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