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2015-2016年石家庄市质检一理科数学(含答案)_图文

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2015 年高三数学质量检测一 理科答案
一、选择题: 1-5BBCAD BDDBC 二、填空题: 13. 8 14. ? , ? 3 3 16. ? ?1,1? AC

? 1 2? ? ?

15.

5?

三、解答题

17.解:(Ⅰ) 由已知,得 S2 2 ? S1 ? S4 即 a1 (4a1 ? 6d ) ? (2a1 ? d )2 又由 a1 ? 1 , d ? 0 故, an ? 2n ? 1
(Ⅱ)由已知可得 bn

……………………… 1 分

得 2a1d ? d 2 ……………………… 3 分 ……………………… 5 分

得d ? 2

?

1 , (2n ? 1)(2n ? 1)

……………………… 6 分

Tn ?

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 3 3? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1)

?
?

1? 1 1 1 1 1 1 1 ? ( 1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2? 3 3 5 5 7 2 n ? 1 2n ? 1 ? ? ?
n 2n ? 1

…………………… 10 分
? ?

18. 解:(Ⅰ)由 2a sin ? C ?

??

? ? 3b 3?

变形为 2 sin

? ?? ? A? sin C cos ? cosC sin ? ? 3 sin B 3 3? ?

sin Asin C ? 3 sin A cosC ? 3 sin?? ? ? A ? C ?? sin Asin C ? 3 sin A cosC ? 3 sin? A ? C ?
sin A sin C ? 3 sin A cosC ? 3 sin A cosC ? 3 cos A sin C
………………2 分

7

sin A sin C ? 3 cos A sin C
因为 sin C

?0

所以 sin A ?

3 cos A
………………4 分 ………………6 分

tan A ? 3
又? A ?

?0, ? ?? A ? ?

3

(Ⅱ)在 ?ABD 中, AB ? 3 , BD ? 13 , A ?
利用余弦定理,

?
3

AB2 ? AD2 ? 2 ? AB ? AD ? cos A ? BD2
………………8 分

解得 AD ? 4 ,
又 D 是 AC 的中点

? AC ? 8
………………12 分

S ?ABC ?

1 ? AB ? AC ? sin A ? 6 3 2

19. (Ⅰ)证明:取 AD 的中点 E,连接 PE,BE,BD. ∵PA=PD=DA,四边形 ABCD 为菱形,且∠BAD=60° ,∴△PAD 和△ABD 为两个全等的等边三角形, 则 PE⊥AD, BE⊥AD,∴AD⊥平面 PBE, 又 PB?平面 PBE,∴PB⊥AD; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

(Ⅱ)解:在△PBE 中,由已知得,PE=BE= 3,PB= 6,则 PB2=PE2+BE2, ∴∠PEB=90° ,即 PE⊥BE,又 PE⊥AD,∴PE⊥平面 ABCD; 以点 E 为坐标原点,分别以 EA,EB,EP 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图 坐标系,则 E(0,0,0), C(-2, 3,0),D(-1,0,0),P(0,0, 3), 则→ DP =(1,0, 3),→ DC =(-1, 3,0), 由题意可设平面 APD 的一个法向量为 m=(0,1,0); . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 设平面 PDC 的一个法向量为 n=(x,y,z),
E. A P

所示空间直角 z

D B

C

x

y

? ?x+ 3z=0, ?n·→ ? DP =0 由? 得:? 令 y=1,则 x= 3,z=-1,∴n=( 3,1,-1); ?-x+ 3y=0, ? ?n·→ DC =0 ?
则 m·n=1,∴cos<m, n >= 1 5 m·n = = , 5 | m|| n | 5 . . . . . . . . . . . . .11 分 5 . . . . . . . .12 分 5

由题意知二面角 A-PD-C 的平面角为钝角,所以,二面角 A-PD-C 的余弦值为- 20.解: (I)北方工厂灯具平均寿命:

x北方=350 ? 0.12+450 ? 0.28+550 ? 0.4+650 ? 0.12+750 ? 0.08=526 小时;…………3 分
南方工厂灯具平均寿命:
8

x南方=350 ? 0.12+450 ? 0.28+550 ? 0.36+650 ? 0.24=522 小时. …………6 分
(Ⅱ)设北方工厂两件灯具能够正常使用的事件分别为 A,B;南方工厂两件灯具能够正常使用的 事件分别为 C,D;

(A) =P (B) =P (C) =P (D) = 由题意可知: P
则:采购北方工厂灯具的概率

3 ; 5

…………8 分

P ? P( ABCD) ? P( ABCD) ? P( ABCD) ? P( ABCD) ? P( ABCD)
?3? ?? ? ?5?
2 2 ? ? 3 ?2 ? 192 1 ? 3 ?? 2 ?? 2 ? . ?1 ? ? ? ? ? C2 ? ?? ?? ? ? 5 5 5 5 625 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?

…………10 分

…………12 分

21. 解: (Ⅰ)由题意

c 7 ? ① , 2a ? 8 ②, a 4

…………2’

2 2 2 又 a ? b ? c ③,由①②③解得: a ? 4, b ? 3 ,

所以求椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 16 9 .

…………4’

(Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? k ( x ? m) ( k ? 0 ) ,且 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,直线 AQ、BQ 的斜率分别为 k1 , k2 , 将 y ? k ( x ? m) 代入

x2 y 2 ? ? 1 得: 16 9

(9 ? 16k 2 ) x2 ? 32k 2mx ?16k 2m2 ?144 ? 0 ,
32k 2 m 16k 2 m2 ? 144 , x1 ? x2 ? 由韦达定理可得: x1 ? x2 ? . 9 ? 16k 2 9 ? 16k 2
由 k1 ? k2 ? 0 得,

…………7’

y1 y ? 2 ? 0 ,将 y1 ? k ( x1 ? m), y2 ? k ( x2 ? m) 代入,整理得: x1 ? n x2 ? n

2 x1 x2 ? (m ? n)( x1 ? x2 ) ? 2mn ? 0. x1 x2 ? n( x1 ? x2 ) ? n 2


2 x1 x2 ? (m ? n)( x1 ? x2 ) ? 2mn ? 0.

…………10’

32k 2 m 16k 2 m2 ? 144 x ? x2 ? , x1 ? x2 ? 整理可解得 mn ? 16. 将 1 9 ? 16k 2 9 ? 16k 2 代入,
22 解:(Ⅰ)由已知 f ?( x ) ? x ? a ? , f ?(2) ? 2 ? a ? ? 0 , a ? ?3 ………1 分 .. x 2

…………12’

2

2

9

所以 f ?( x ) ? x ? 3 ?

2 x 2 ? 3 x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) ,x?0 ? ? x x x

由 f ?( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1, 或 x ? 2 ; 由 f ?( x ) ? 0 ,得 1 ? x ? 2 ,………3 分 所以函数的单调递增区间是 (0,1),(2, ??) ,单调递减区间是 (1, 2) .………4 分 (Ⅱ)由(1)可知极小值 f ? 2? ? 2ln 2 ? 4 ;极大值为 f ?1? ? ?

5 2

可知方程 f ( x) ? m 三个实根满足 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ? x3 ………5 分 设 h1 ( x) ? f ? x ? ? f ? 2 ? x ? , x ? (0,1)

h1? ( x ) ? f ? ? x ? ? f ? ? 2 ? x ? ?

4( x ? 1)2 ?0 x(2 ? x )

则 h1 ( x) ? h1 (1) ? f ?1? ? f ? 2 ? 1? ? 0 , 即 f ? x ? ? f ? 2 ? x ? , x ? (0,1) 所以 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? 2 ? x1 ? , 由(1)知函数 f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上单调递减, 从而 x2 ? 2 ? x1 ,即 x1 ? x2 ? 2 ①………8 分 同理设 h2 ( x) ? f ? x ? ? f ? 4 ? x ? , x ? (1,2)

2( x ? 2)2 ? ? ? h2 ( x ) ? f ? x ? ? f ? 4 ? x ? ? ?0 x(4 ? x )

h2 ( x) ? h2 (2) ? f ? 2? ? f ? 4 ? 2? ? 0 )
即 f ? x ? ? f ? 4 ? x ? , x ? (1,2)

f ? x3 ? ? f ? x2 ? ? f ? 4 ? x2 ? ,
由(1)知函数 f ? x ? 在 ? 2, ??? 上单调递增, 从而 x3 ? 4 ? x2 ,即 x3 ? x2 ? 4 ②………11 分 由①②可得 x3 ? x1 ? 2 得证. ………12 分

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