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不等式与解三角形大题


2013-2014 学年度第二学期解三角形和不等式的大题
题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释)

试卷第 1 页,总 6 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)
?
3

1.已知函数 f ( x ) ? 2 sin( x ?

) cos x .

? (1)若 x ? [0, ] ,求 f ( x ) 的取值范围;
2

(2)设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 A 为锐角, f ( A) ?
b ? 2 , c ? 3 ,求 cos( A ? B ) 的值.

3 , 2

【答案】(1) [0, 1 ?

5 7 3 ] (2) 14 2

2.已知向量 m ? (sin( 2 x ?

?

1 ) , sin x) , n ? (1 , sin x) , f ( x ) ? m ? n ? . 6 2 A 2 1 , 2

(1)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a ? 2 3 , f ( ) ? 若 3 sin( A ? C) ? 2 cosC ,求 b 的大小.

? 3? ? ? , k ? Z . ( 2) 4 2 . 【答案】 (1) f ( x) 递减区间是 ? k? ? , k? ? 4 4 ? ? ?
3.已知函数 f(x)=

x 2+2 x+a ,x∈[1,+∞). x

(1)当 a=4 时,求函数 f(x)的最小值; (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)6(2) ? ?3, ?? ? 4.(1)已知 x<

5 1 ,求函数 y=4x-2+ 的最大值; 4 4x ? 5

(2)已知 x>0,y>0 且 +

1 x

9 =1,求 x+y 的最小值. y

【答案】 (1)ymax=1.(2)最小值为 16 5.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化 合物、6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化 合物、6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至 少含 64 个单位的碳水化合物、42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.
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如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 【答案】4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,

? x-4 y ? -3, ? 6.设 z=2x+y,式中变量满足下列条件: ?3 x+5 y ? 25, 求 z 的最大值和最小值. ? x ? 1, ?
【答案】12 3

7.在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. (1)求 cosA 的值; (2)求 c 的值. 【答案】 (1)

6 (2)5. 3

8 . 在 △ ABC 中 , 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c , 已 知 a ? b cos C ? c sin B .(Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值. 【答案】 (Ⅰ) B ?

?
4

; (Ⅱ) 2 ? 1 .

9.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cosA= (1)求 sin
2

1 . 3

B?C 2

+cos2A 的值;

(2)若 a= 3 ,求 bc 的最大值. 【答案】 (1)- (2)

1 9

9 . 4

10.△ABC 中,BC=7,AB=3,且 (1)求 AC; (2)求∠A. 【答案】 (1)5 (2) ?A ? ?120
?

3 sin C = . sin B 5

11 . 已 知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的 三 个 内 角 , 他 们 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 且

co sB co sC ? s i nB s i nC ?
(1)求 A;

1 。 2

(2)若 a ? 2 3, b ? c ? 4, 求 bc 的值,并求 ?ABC 的面积。 【答案】 (1) A ?

2? 1 3 ; (2) S ? ? 4 ? ? 3 3 2 2

12.在 ?ABC 中, sin(C ? A) ? 1,sin B ? . (1)求 sin A 的值;
试卷第 3 页,总 6 页

1 3

(2)设 AC ?

6 ,求 ?ABC 的面积.
3 3

【答案】 (1)? sin A ? (2)? S ?ABC ?

1 AC ? BC ? sin C ? 3 2 2 cos B b ?? . cos C 2a ? c

13.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 13, a ? c ? 4 ,求△ ABC 的面积. 【答案】 (1) B ? (2) S?ABC ?

2? 3

1 3 ac sin B ? 3. 2 4

14. 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边,a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。 【答案】 (1)60°; (2) b ? c ? 2 15.在 ?ABC 中, AB ? (1)求 sin A 的值; (2)求 CB ? CA 的值. 【答案】 (1) sin A ?

2, BC ? 1, cos C ?

3 4

3 3 14 ; (2) CB ? CA ? ab cos C ? 1 ? 2 ? ? 。 4 2 8

2 2 2 16.在△ ABC 中,∠ A ,∠ B ,∠ C 的对边分别是 a, b, c ,且 b ? c ? a ? bc .

(1)求∠ A 的大小; (2)若 a ? 3 , b ? c ? 3 ,求 b 和 c 的值. 【答案】 (1) A ?

?
3

(2) b ? 1, c ? 2



b ? 2, c ? 1 .

? 1 ? 17.若不等式 ax2 ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ?x ? x ? 2? , ? 2 ? (1) 求 a 的值;

(2) 求不等式 ax2 ? 5 x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集. 【答案】 (1) a =-2 (2) {x ? 3 ? x ? } 18.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, C ? 2 A , cos A ? (1)求 cos B,cos C 的值;

1 2

3 . 4

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27 ,求边 AC 的长. 2 9 1 【答案】 (1) , (2)5 16 8
(2)若 BA ? BC ? 19. ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c 且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C 求角 B 的大小; (2)若 ?ABC 的面积为为 【答案】(1) B ?
π . 3

3 3 且 b ? 3 ,求 a ? c 的值; 4

⑵a+c= 2 3 .

2 2 2 20 .在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 b ? c ? a ?

6 bc, 5

AB ? AC ? 3 .
(1)求 ?ABC 的面积; 【答案】 (1) (2)若 c ? 1 ,求 cos( B ?

?
6

) 的值。

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 ; 2 2 5

(2) cos( B ?

?
6

)?

3 1 3 5 1 2 5 15 ? 2 5 cos B ? sin B ? ? (? )? ? ?? 2 2 2 5 2 5 10

21. (本小题满分 10 分) 已知 a ? 0 ,解关于 x 的不等式 (ax ? 1)(x ? 1) < 0 【答案】 0 < a <1 时,

a =1 时, x ? ?
22.在 ?ABC 中,

1 1 >1,1< x < a a 1 1 a >1 时, <1, < x <1 a a

1 cos 2 A ? cos 2 A ? cos A . 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3 , sin B ? 2sin C ,求 S?ABC . 【答案】 (I) A ?

?
3

; (II)

3 3 2

23.(本题满分 12 分) 已知不等式 x 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? 2或x ? 1} (1)求 b 和 c 的值; (2)求不等式 cx 2 ? bx ? 1 ? 0 的解集.

【答案】 (1) b ? ?3, c ? 2 (2) ? x |

? ?

1 ? ? x ? 1? 2 ?
3b

24.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,已知 a ? 2b sin A, c ? (1)求 B 的值;

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(2)若 ?ABC 的面积为 2 3 ,求 a, b 的值 【答案】 (1) B ? 30 ? (2) ?

?a ? 4 或a ? b ? 2 2 ?b ? 2

25. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2 x 2 ? bx ? c ,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 ? 0,5 ? , (Ⅰ) 求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ) 若对于任意 x ? [?1,1] ,不等式 f ( x) ? t ? 2 恒成立,求 t 的取值范围. 【答案】 (1) f ( x) ? 2 x2 ?10 x (2) t ? ?10

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