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高中数学必修4优秀课件:1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)(人教A版必修4)_图文

1.4.2 正弦函数、余弦函数的
性质(二)

1.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性;(重点) 2.会利用三角函数的单调性判断一组数的大小,会求给 出的三角函数的单调区间.(重点、难点)

1.请回答:什么叫做周期函数?

对于函数 f ( x),如果存在一个非零常数T,使得当 x 取定义
域内的每一个值时,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. 2.正弦函数、余弦函数是否是周期函数?周期是多少? 最小正周期是多少?

2k?(k ? Z且k ? 0) 正弦函数、 余弦函数都是周期函数,
都是它的周期,最小正周期是 2? .

3.函数的周期性对于研究函数有什么意义?
对于周期函数,如果我们能把握它在一个周期内的情况, 那么整个周期内的情况也就把握了.这是研究周期函数的 一个重要方法,即由一个周期的情况,扩展到整个函数 的情况.

一、奇偶性探究 1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性,你有什么发现?
y
1 -3?
? 5? 2

正弦曲线关于原点0对称 x
?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

0
-1

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

y
1 -3?
? 5? 2

余弦曲线关于y轴对称 x
?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

0
-1

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

2.根据图象的特点,猜想正余弦函数分别有什么性质?如何

从理论上验证?
sin(-x)=-sinx(x?R) y=sinx(x?R) 是奇函数

定义域关于原点对称
cos(-x)=cosx(x?R) y=cosx(x?R) 是偶函数

二、单调性探究 ? 3? 1.当 x ? [? , ] 时,正弦函数在哪些区间上是增函数? 2 2 在哪些区间上是减函数?
y
1 -3?
? 5? 2

y=sinx
?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

y
1 -3?
? 5? 2

y=sinx
?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x sinx

?

?
2



0
0



? 2



?
0



3? 2

-1 (x?R)
?

1

-1

y=sinx

还有其他单调区间吗?
?

增区间为 [ 减区间为

?
2



[ 2

?

2 3? , ] 2

]

其值从-1增至1 其值从1减至-1

y
1 -3?
? 5? 2

y=sinx
?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

2.由上面的正弦曲线你能得到哪些正弦函数的增区间和

减区间?怎样把它们整合在一起? ? 3? ? ?? ? ? ?? ? 3? 5? ? ? ?? 5 ? ,? ,? ??,,k ? ? 2 k? ? , , ?? ? 2k ? Z, ? 增区间: ?? ? 2 ?2 2 ?? 2 ? 2 2?? ? 2 2 ?
? ? 3? ? 3 ??? ? 3? ? ? 5? 7? ? 减区间: ? ? ? 2 ? , ? , ?? 2 ?Z ,k ? , k? ? , k , ? ? 2 ?2 ? 2 2 ? ? 2 2 ? ?2 2

周 期 性

y
1 -3?
? 5? 2

y=sinx
?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

3.正弦函数有多少个增区间和减区间?观察正弦函数的

各个增区间和减区间,函数值的变化有什么规律? 正弦函数有无数多个增区间和减区间.
在每个增区间上,函数值从 ?1 增大到 1 , 在每个减区间上,函数值从 1 减小到 ?1 .

? ? ? 正弦函数在每一个闭区间 ? ? 2k?, ? 2k? ? , (k ? Z) ? ? 2 ? 2 ?
上都是增函数,其值从-1增大到1; 在每一个闭区间 ? ? ? 2k?, 3? ? 2k?? ,(k ? Z) 上都是减函数, ? ? 2 ?2 ? 其值从1减小到-1.

4.余弦函数可以得到怎样相似的结论呢?

y ? cos x
-3?
? 5? 2

y
1

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

x
2?
5? 2

3?

7? 2

4?

???? 2k?,2k??,k ? Z 上都是增函数, 余弦函数在每个闭区间____________________
?1 增大到____ 1 ; 其值从____

2k?, ?? 2k? ,k ? Z 上都是减函数, 在每个闭区间____________________
?1 1 减小到____. 其值从____

?

?

三、最大值和最小值探究

y ? sin x
-3?
? 5? 2

y
1
?

-2?

?

3? 2

-?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

? ? 2k?, k ? Z 时取得最大值__ 正弦函数当且仅当x=______________ 1; 2 ? ? ? 2k?,k ? Z ?1 当且仅当x=_____________ 时取得最小值___. 2

三、最大值和最小值探究

y ? cos x
-3?
5? ? 2

y

1 -2?
3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

余弦函数当且仅当x=__________ 1 ; 2k?, k ? Z 时取得最大值___

? ? 2k?,k ? Z 时取得最小值___. 当且仅当x=___________ ?1

例1.下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大
值、最小值时的自变量x的集合,并说出最大值、最小值分 别是多少. (1)y ? cos x ? 1, x ? R; (2)y ? ?3sin 2x, x ? R.

解:这两个函数都有最大值、最小值.
(1)使函数 y ? cos x ? 1, x ? R 取得最大值的 x 的集合为

?x x ? 2k?, k ? Z? , 最大值为 1 ? 1 ? 2.
使函数 y ? cos x ? 1, x ? R 取得最小值的 x 的集合为

?x x ? ? ? 2k?, k ? Z? , 最小值为 ?1 ? 1 ? 0.

使函数 y ? ?3sin z, z ? R取得最大值的 (2)令 z ? 2 x,

? ? z 的集合是 ? ?z z ? ? ? 2k?, k ? Z? , 2 ? ?

? ? 由 2x ? z ? ? ? 2k?,得 x ? ? ? k?. 2 4

因此使函数 y ? ?3sin 2x, x ? R取得最大值的 x 的集合为

? ? ? ?x x ? ? ? k?, k ? Z ?. 4 ? ?
最大值为3.

同理使函数 y ? ?3sin 2x, x ? R取得最小值的 x 的集合为

? ? ? ?x x ? ? k?, k ? Z ?. 4 ? ?

最小值为-3.

例2.利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小: ? ? 17? ? (1) sin( ) 与 sin( ? ); (2) cos( ? 23? ) 与cos( ? ). 18 4 10 5 解: (1)因为 ? 2 ? ? 10 ? ? 18 ? 0, 又 y=sinx 在 [?
? ? ?

?
2

想一想:用正弦函数 的哪个单调区间进行 比较?

, 0] 上是增函数,

? ? 所以sin( ? ) > sin( ? ). 10 18

(2)

cos( cos(

23? ? 5

)=cos )=cos
?

23? 5

= cos =cos

3? 5

,

17? ? 4

17? 4

? . 4

因为 0 ?

?
4

3? ??, 5

又 y=cosx 在

[0, ? ] 上是减函数,
17? ? 4

? 3? 所以cos > cos , 即cos( 4 5

) > cos(

?

23? 5

).

1 ? 例3.求函数 y ? sin( x ? ), x ? ? ?2?, 2?? 的单调递增区间. 2 3 1 ? 解:令 z ? x ? , 函数 y ? sin z 的递增区间是 2 3

? 1 ? ? ? ? ? ? 由 ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k?, ? ? 2k ? , ? 2k ? . ? ? 2 2 3 2 2 ? 2 ? 5? ? 得 ? ? 4k? ? x ? ? 4k?, k ? Z. 3 3 ? ? 5? ? B ? ? ? 4k ? ? x ? ? 4k ? , k ? Z 设 A ? ??2? ,2? ? , ? ?, 3 ? 3 ? ? 5? ? ? 可得 A ? B ? ? ? , ? . ? 3 3? ? 5? ? ? 所以原函数的单调递增区间为 ? ? , ? . ? 3 3?

1.观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的区间:

(1)sin x ? 0

(2)sin x ? 0

? 2k?, ? ? 2k?? , k ? Z
(3) cos x ? 0
? ? (? ? 2k?, ? 2k?), k ? Z 2 2

? ? ? 2k?,2? ? 2k?? ,k ? Z
(4) cos x ? 0
? 3? ( ? 2k?, ? 2k?), k ? Z 2 2

2.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合,并

写出最大值、最小值各是多少.

x (2)y ? 2 ? cos , x ? R (1)y ? 2sin x, x ? R 3 ? ? ? 最大值为2 答案:(1) ?x x ? ? 2k?, k ? Z ? 2 ? ? ? ? ? 最小值为-2 ?x x ? ? ? 2k?, k ? Z ? 2 ? ?
(2) ?x x ? 3? ? 6k?, k ? Z? 最大值为3 最小值为1

?x x ? 6k?, k ? Z?

3.比较下列各组中两个三角函数值的大小:

(1)sin 250? ____ sin 260?
15? 14? (2) cos ____ cos 8 9

?

?

(3)cos515? ____ cos530?
54? 63? (4)sin(? ) ____ sin(? ) 7 8

?

?

? 4.(1)求函数 y ? 3sin(2x ? ), x ? ? 0, ?? 的单调递减区间. 4 ? ? 5? ? , ? ? ?8 8 ? ? x (2)求函数 y ? sin( ? ), x ? ? ?2?, 2?? 的单调递增区间. 3 2 ?? ? 5? ? ? ?2?, ? ? 和 ? , 2?? ? 3? ?3 ? ?

函数

奇偶性

正弦函数 奇函数

单调性(单调区间) ? ? [ ? +2k?, +2k?],k?Z 单调递增 2 2 ? 3? [ +2k?, +2k?],k?Z 单调递减
2
2

余弦函数

偶函数

[??+2k?,2k?],k?Z [2k?,2k?+?],k?Z

单调递增 单调递减

求函数的单调区间: 1. 直接利用相关性质; 2. 利用图象寻找单调区间.

霸祖孤身取二江,子孙多以百城降。豪华
尽出成功后,逸乐安知与祸双?

——王安石


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