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山东省泰安市宁阳二中2013届高三12月质检数学(理)试题解析


山东省泰安市宁阳二中 2013 届高三 12 月质检 数学(理)试题解析
一、选择题(本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的,把正确选项的代号涂在答题卡上.) 1.如果全集 U ? R , A ? {x 2 ? x ? 4} , B ? {3,4},则 A ? A. (2,3) ? (3,4) 【答案】A 【解析】因为 A ? U B = (2,3) ? (3,4) ,故选 A. 【考点定位】本小题主 要考查集合的交并补运算,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题的 关键. 2.设函数 f ( x) ? x 2 ? 6 x ,则 f (x ) 在 x ? 0 处的切线斜率为( A.0 【答案】D B.-1 C.3 D.-6 ) B. (2,4) C. (2,3) ? (3,4]
U

B 等于(



D. (2,4]

【解析】因为 f ' ( x) ? 2 x ? 6 ,所以 f (x ) 在 x ? 0 处的切线斜率为 ?6 ,故选 D. 【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义,属基础题,正确理解导数的几何意义是解答好 本题的关键. 3.已知 sin ? ? A. ?

2 ,则 cos ? 3? ? 2? ? 等于( 3
1 9
C. ?

)

5 3

B.

1 9

D.

5 3

用,属基础题,熟练这部分的公式是解决好本类题目的关键. 4.已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下列命题中的假命题的是( (A) 若m ? ? , m ? ? , 则? // ? (C) 若m // ? , ? ? ? ? n, 则m // n (B) 若m // n, m ? ? , 则n ? ? (D) 若m ? ? , m ? ? , 则? ? ? )

5. 下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是( A. f ( x ) ? 【答案】 C

) D. f ( x) ? ? tan x

1 x

B. f ( x) ?

?x

C. f ( x) ? 2? x ? 2 x

【解析】 由奇函数,排除选项 B;又由减函数,排除 选项 D;又因为反比例函数 f ( x ) ?

1 在x ?0 x

处无意义,所以不能说这个函数其定义域内是减函数,故选 C. 【考点定位】本小题主要考查函数的单调性与奇偶性.函数的性质是函数的主要内容,也是高 考的热点问题,年年必考. 6 .已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于( A.1 或-3 【答案】A B.- 1 或 3 C.1 或 3 D.-1 或 3 )

【解析】由题意知, a ? ?2 且 a ? 0 ,又由两直线平行可得:

a 1 ? ? ?2 ,解 得 a ? 1 或 3 a?2

a ? ?3 ,故选 A.
【考点定位】本小题主要考查两直线平行的条件,要注意特殊情况. 7.如果 | x ? 1 | ? | x ? 9 |? a 对任意实数 x 总成立,则 a 的取值范围是( A. {a | a ? 8} B. {a | a ? 8} C. {a | a ? 8} ) D. {a | a ? 8}

8.已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 等于( A. 7 B. 5 C. ??

?

) D. ??

9. 如图所示,已知 AB ? 2BC, OA ? a, OB ? b, OC ? c, 则下列等式中成立的是(
? ? ? (A) c ? 3 b ? 1 a

??? ?

??? ??? ? ?

? ??? ?

? ??? ?

?



(B) c ? 2b ? a (D) c ? 3 a ? 1 b
2 2 ? ? ?

?

? ?

? ? ? (C) c ? 2a ? b
【答案】A

2

2

【解析】 OC ? OB ? BC = OB ?

??? ?

? ? ? ? ? ??? ??? ??? 1 ??? ??? 1 ??? 1 ??? 3 ? 1 ? ? ? AB = OB ? OB ? OA = b ? a ,故选 A. 2 2 2 2 2

【考点定位】本小题主要考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理,难度不大,熟练平面 向量的基础知识是解答好本类问题的关键. 10.关于 x 的方程 x2 ? x cos A cos B ? cos2 △ABC 中一定有( D. A ? B ? 【答案】A 【解析】因为关于 x 的方程 x2 ? x cos A cos B ? cos2

?
2

C ? 0 有一个根为1 ,则 2 B ) A. A ? B B. ? C C.A ? C

cos A cos B ? cos 2

C C 1 ? cos C 1 ? cos( A ? B) ? 1 ,即 cos A cos B ? sin 2 ? ? ,所以 2 2 2 2 2cos A cos B ? 1 ? cos( A ? B) ? 1 ? cos A cos B ? sin A sin B ,即 cos( A ? B) ? 1,所以 A ? B ? 0 ,故 A ? B ,选 A.
)

C ? 0 有一个根为 1 ,所以 2

【考点定位】本小题主要考查三角变换,解三角形的基础知识,难度不大. 11.若一个螺栓的底面是正六边形,它的主视图和俯视图如图所示,则它的体积是(

A. 27 3 +12π C. 27 3 ? 3?

B. 9 3 ? 12? D. 54 3 +3π

【答案】C 【解析】 由三视图可知,该几何体由一个棱柱和一个圆柱构成, 所以其体积为

6?

3 ? 9 ? 2 ? ? ?12 ? 3 = 27 3 ? 3? ,故选 C. 4

【考点定位】本小题主要考查立体几何中的三视图,考查空间几何体的体积的计算,考查想象 能力以及逻辑推理能力. 12. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数 f ' ( x), f ' (0) ? 0 ,且 f (x) 的值域为 [0,??) , 则

f (1) 的最小值为( f ' (0)
B.



A.3

5 2

C.2

D.

3 2

第Ⅱ卷(非选择题 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.

?

?
2

?? 2

(sin x ? cos x)dx ?
?



【答案】2 【解析】原式= ? cos x ? sin x | 2? =2.
? 2

【考点定位】 本小题主要考查定积分的计算,属基础题.定积分的计算是新课标新增内容,是理 科数学高考的重点内容之一,年年必考.

? x, y ? 0 ? 14. 设 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? x? y ?3 ?

.

15.已知 A(1,2), B(3,4), C(-2,2), D(-3,5), 则向量 AB 在向量 CD 上的投影为

??? ?

??? ?

.

2 10 5 ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】因为 AB ? (2,2) , CD ? (?1,3) ,所以 AB ? CD ? ?2 ? 6 ? 4 , | CD |? 10 ,所以
【答案】

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 4 2 10 AB ? CD ? = 向量 AB 在向量 CD 上的投影为 ??? = . 5 10 | CD |
【考点定位】本小题主要考查平面向量数量积的几何意义,正确理解平面向量数量积的几何 意义是解答好本类题目的关键. 16.给出下列四个命题: ①命题“ ?x ? R, cos x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R,cos x ? 0 ”; ②若 0 ? a ? 1 ,则函数 f ( x) ? x ? a ? 3 只有一个零点;
2 x

③若 lg a ? lg b ? lg(a ? b) ,则 a ? b 的最小值为 4; ④对于任意实数 x ,有 f (? x) ? f ( x) ,且当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,则当 x ? 0 时,

f ' ( x) ? 0 .其中正确命题的序号是

(填所有正确命题的序号)

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 内,a, b, c 分别为角 A, C 所对的边, B, a,b,c 成等差数列, a=2c, (Ⅰ) cs 且 求o

A

的值; (Ⅱ)若 S ?ABC ?

3 15 ,求 b 的值. 4
3 c, 2

【解析】 (Ⅰ)因为 a,b,c 成等差数列,所以 a+c=2b, ……………………2 分 又 a ? 2c ,可得 b ? …………………………4 分

9 2 2 c ? c ? 4c 2 b2 ? c2 ? a 2 4 1 所以 cos A ? ? ? ? ,……………………6 分 3 2bc 4 2 ? c2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ) cos A ? ?

1 15 , A ? (0, ? ) ,所以 sin A ? , ……………………8 分 4 4

因为 S ?ABC ?

3 15 1 , S ?ABC ? bc sin A , 4 2 1 1 3 15 3 15 bc sin A ? ? c 2 ? ,………………………………10 分 2 2 2 4 4
…………………………12 分

所以 S ?ABC ?

得 c2 ? 4,即c ? 2, b ? 3 .

【考点定位】 本题主要考查余弦定理、 三角形的面积公式和等差数列等基础知识, 属基础题, 熟练其基础知识是解答好本类问题的关键. 18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?a n ? 为递增数列,满足 a 32 ? 5a1 ? 5a 5 ? 25 ,在等比数列

,b ?bn ?中 3 ? a 2 ? 2,b4 ? a3 ? 5,b5 ? a 4 ?13.
(Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式 bn ; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证:数列 ?Sn ?

? ?

5? ? 是等比数列 4?

【解析】
2 18.解 : (1)由已知, ab ? 5(a1 ? a2 ) ? 25 2 ? a3 ? 10a3 ? 25

整理,得(a3 ? 5) 2 ? 0 ? a3 ? 5?????????????????????? 2分 设等差数列?an ?的公差为d , 等比数列?bn ?的公比为q 由b42 ? b3 ? b5 ? (a3 ? 5) 2 ? (a2 ? 2) ? (a4 ? 13) ?100 ? (7 ? d )(18 ? d ) ? d 2 ? 11d ? 26 ? 0 ? (d ? 13)(d ? 2) ? 0 ? d ? 2, d ? ?13(不合题意,舍去) ???????????? 5分 ?b ? 5? q ? b 5 b4 ? 2, b1 ? 3 ? b3 b2 4 5 n ?1 ? 2 ? 5 ? 2?3 ) ???? 7分 4

C1 B1

A1

? bn ? b3 ? q n ?3 ? 5 ? 2n ?3 (bn ? b1q n ?1 ?

5 (1 ? 2n ) b1 (1 ? q n ) 4 5 5 (2) ? S n ? ? ? ? 2n ? (n ? N ? ) 1? q 1? 2 4 4 5 5 ? S n ? ? ? 2n ???????????????????? 9分 4 4 5 5 n ?1 Sn ?1 ? ?2 4?4 则 ? 2(n ? N ? )?????????????11分 5 5 n Sn ? ?2 4 4 5? 5 ? ? 数列 ? S n ? ? 是以 为首项2为公比的等比数列?????12分 4? 2 ?

C B D 第 19 题图

A

【考点定位】本题主要考查等差等比数列的定义、通项公式与前 n 项和公式的应用,考查 考生分析问题与解决问题的能力. z 19(本小题满分 12 分) C1 已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 5, AC ? 4, BC ? 3 ,

A1

AA1 ? 4 ,
点 D 在 AB 上. (1)若 D 是 AB 中点,求证: AC1 ∥平面 B1CD ;

B1

C B x D

A

y

BD 1 ? 时,求二面角 B ? CD ? B1 的余弦值. (2)当 AB 5
【解析】 (1)证明:连结 BC1,交 B1C 于 E,DE. ∵ 直三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是 AB 中点, ∴侧面 B B1C1C

? ?3x ? 4 z ? 0 ???? ?? ? ??? ?? ? ? ? 由 B1C ? n 2 ? 0 , CD ? n 2 ? 0 , 得 ?12 , 4 ? 5 x? 5 y ?0 ?
所以 x ? ?

?? ? 4 4 , y ? 4 , n2 ? ( ? , 4,1) . 3 3

? ? a ?b 3 设二面角 B ? CD ? B1 的大小为 ? , cos ? ? ? ? ? . ………………………11 分 a b 13
所以二面角 B ? CD ? B1 的余弦值为

3 . 13

……………………12 分

【考点定位】本题主要考查空间中线线与线面的平行问题的证明、空间二面角的求解,考查 考生空间想象能力、逻辑推理能力,以及分析问题与解决问题的能力. 20. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a . (Ⅰ)写出函数的最小正周期及单调递减区间;

3 , ] 时,函数 f (x) 的最大值与最小值的和为 ,求 f (x) 的解析式; 2 6 3 ? (Ⅲ)将满足(Ⅱ)的函数 f (x) 的图像向右平移 个单位,纵坐标不变横坐 标变为原来 12 1 ? 的 2 倍,再向下平移 ,得到函数 g (x) ,求 g (x) 图像与 x 轴的正半轴、直线 x ? 所围 2 2
(Ⅱ)当 x ? [ ? 成图形的面积。

? ?

(2)由题意知 g ( x) ? sin x

……………… (10 分) ……………… (12 分)

?

?
2

0

s i nx d x? ? c o sx | 2 =1
0

?

【考点定位】本题主要考查三角变换、三角函数的图象与性质、定积分的计算等基础知识, 考查同学们分析问题与解决问题的能力. 21. (本小题满分 12 分) 如图所示, 将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN , 要求 B 点在 AM 上, D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB ? 3 米, AD ? 2 米. (I)要使矩形 AMPN 的面积 大于 32 平方米,则 DN 的长 应在什么范围内? (II)当 DN 的长度是多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并 求出最小值. 【解析】 (I)设 DN 的长为 x ( x ? 0 )米,则 AN ? x ? 2 米



DN AN

?

DC AM

,∴ AM ?

3? x ? 2? , ……………………2 分 x
2

∴ S AMPN

3? x ? 2? ? AN ? AM ? x

由 S AMPN

3 ? x ? 2? ? 32 得 ? 32 , x
2

2 又 x ? 0 ,得 3x ? 20 x ? 12 ? 0 ,解得: 0 ? x ?

2 或 x?6 3

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln 2x ? 1 ? mx(m ? R). (I)求函数 f ( x) ? ln 2x ? 1 ? mx(m ? R) 的单调区间; (II)若函数 2 f ( x) ? m ? 1恒成立, 求m 的取值范围; (III)当 m ? ?1, 且0 ? b ? a ? 1时, 证明 : 【解析】 (I)函数 f ( x)的定义域为 (?

4 f (a) ? f (b) ? ? 2. 3 a ?b

1 ,?? ). 2

f ( x) ?

1 1 1 ln( 2 x ? 1) ? mx ( x ? ? ), f ?( x) ? ? m. …………1 分 2 2 1 ? 2x

? 2x ? 1 ? 0,?当m ? 0时, f ?( x) ? 0. …………2 分
当 m ? 0时, 令f ?( x) ? 0, 解得 x ? 列表如下:

1? m 1 ?? . 2m 2
1? m 2m
0 极大值

x
f ?(x )
f (x)

1 1? m (? , ) 2 2m
+

(

1? m ,?? ) 2m



综上所述,当 m ? 0时, f ( x)的增区间是 ( ? 当 m ? 0时, f ( x)的增区间是 ( ?

1 ,?? ) ; 2

1 1? m 1? m , ), 减区间是 ( ,?? ). …………5 分 2 2m 2m

(II)若函数 2 f ( x) ? m ? 1恒成立, 只需2 f ( x)的最大值小于等于 ? 1. m 当 m ? 0时,2 f ( x) ? ln(2 x ? 1) ? 2mx, 当 x ? ??时,2 f ( x) ? ?? ,故不成立。 …………7 分



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