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高中数学必修2复习资料


必修 2 数学复习资料
第一章 空间几何体 1.1 柱、锥、台、球的结构特征 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1、 三视图: 正视图:从前往后; 侧视图:从左往右; 俯视图:从上往下。 2、 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3、直观图:斜二测画法 4、斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 (二)空间几何体的体积 1、棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 1、柱体的体积 V ? S底 ? h 2、圆柱的表面积 S ? 2?rl ? 2?r 2 3、圆锥的表面积 S ? ?rl ? ?r
2

2、锥体的体积
2

V ?

1 S底 ? h 3

4、圆台的表面积 S ? ?rl ? ?r ? ?Rl ? ?R
2

3、台体的体积

5、球的表面积 S ? 4?R

2

1 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3 4 V ? ?R 3 4、球体的体积 3

第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1、平面含义:平面是无限延展的 2、平面的画法及表示 (1) 平面的画法: 水平放置的平面通常画成一个平行四边形, 0 锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母 ?、?、? 等表示,如平面 ? 、平 A 面 ? 等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相

D α B

C

对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3、三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为

A ?? ? B ?? ? ? ?? L ?? A ? L? B ? L? ?

α ·

A

L

公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α ,
1

A

· α

·

C

·

B

使 A ?? , B ?? , C ?? . 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 β 符号表示为: P ?? ? ? ? ? ? ? ? L, 且P ? L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1、空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2、公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 α
P

·

L

a // b? ? ? a // c c // b ?
强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3、等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4、注意点:① a? 与 b ? 所成的角的大小只由 a 、 b 的相互位置来确定,与 o 的选择无关, 为了简便,点 o 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角 ? ? (0,

?

2

);

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直, 记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a ? ? 来表示

a ??

a ?? ? A

a // ?

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与
2

此平面平行。简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示:

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?
2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面 平行。 符号表示:

a?? ? b?? ? ? ? a ? b ? P ? ? ? // ? a // ? ? ? ? b // ? ?
2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平 行。简记为:线面平行则线线平行。 符号表示:

a // ? ? ? a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示:

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面 ? 互相垂 直,记作 L⊥ ? ,直线 L 叫做平面 ? 的垂线,平面 ? 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平 面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。

?
L
3

p

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了 “直线与平面垂直” 与 “直线与直线垂直” 互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A

l
B

?

?

2、二面角的记法:二面角 ? ? l ? ? 或 ? ? AB ? ? 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图 平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上 方向之间所成的角 ? 叫做直线 l 的倾斜角 . 特别地 , 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 规定

? ? 0? .
2、 倾斜角α 的取值范围: 0 ? ? ? 180 .当直线 l 与 x 轴垂直时, ? ? 90 .
? ? ?

3、 直线的斜率:一条直线的倾斜角 ? (? ? 90 ) 的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写
?

字母 k 表示,也就是 k ? tan ?
4

⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, ? ? 0 , k ? tan0 ? 0 ;
?

?

? ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, ? ? 90 , k 不存在.

由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 ? 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P 1P 2 的斜率: 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) , x1 ? x2 用两点的坐标来表示直线 P

斜率公式: 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们 的斜率相等,那么它们平行,即 l1 // l2 ? k1 ? k2 。 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提, 结论 并不成立.即如果 k1 ? k2 , 那么一定有 l1 // l2 。 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们 的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即 l1 ? l2 ? k1 ? ? 3.2.1 直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k 0

1 ? k1 ? k2 ? ?1 。 k2

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
2、 、直线的斜截式方程:已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b)

y ? kx ? b
3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程:已知两点 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 其中 ( x1 1

? x2 , y1 ? y2 )

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1
2、直线的截距式方程:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ,与 其中 a ? 0, b ? 0 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程:关于 x, y 的二元一次方程 Ax
5

y 轴的交点为 B (0, b) ,

? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)

2、各种直线方程之间的互化。 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题:两直线交点坐标 L1:3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0 解:解方程组

? 0 ?3x ? 4y ? 2 ? ? 0 ?2 x ? 2y ? 2

得 x=-2,y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式: PP 1 2 ? 3.3.3 点到直线的距离公式 1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? 2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2

6


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