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高考专题训练二十七 坐标系与参数方程(选修4-4)

高考专题训练二十七
班级_______ 姓名_______

坐标系与参数方程(选修 4-4)
时间: 分钟 45 分值: 分 100 总得分_______

一、填空题(每小题 6 分,共 30 分) 1.(2011· 陕西)直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半
?x=3+cosθ ? 轴为极轴建立坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C1:? (θ ? ?y=4+sinθ

为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,则|AB|的最小值为________. 解析:C1:(x-3)2+(y-4)2=1 C2:x2+y2=1. 最小值为|C1C2|-2=5-2=3. 答案:3 2.(2011· 湖北)如图,直角坐标系 xOy 所在的平面为 α,直角坐 标系 x′Oy′(其中 y′与 y 轴重合)所在平面为 β,∠xOx′=45° .

(1)已知平面 β 内有一点 P′(2 2,2),则点 P′在平面 α 内的射 影 P 的坐标为________; (2)已知平面 β 内的曲线 C′的方程是(x′- 2)2+2y′2-2=0, 则曲线 C′在平面 α 内的射影 C 的方程是________. 解析:(1)如图 P′(2 2,2)

在 α 上坐标 P(x,y) x=2 2cos45° =2 2× 2 =2,y=2,∴P(2,2). 2

?x′- 2?2 (2)β 内曲线 C′的方程 +y′2=1 2 同上解法.中心(1,0) 即投影后变成圆(x-1)2+y2=1. 答案:(1)P(2,2) (2)(x-1)2+y2=1

?x=3cosθ ? 3.(2011· 深圳卷)已知点 P 是曲线 C:? (θ 为参数, ?y=4sinθ ?

π 0≤θ≤π)上一点,O 为原点.若直线 OP 的倾斜角为 ,则点 P 坐标 4 为________.
?x=3cosθ ? x 2 y2 ? 解析:由 (0≤θ≤π)可得 + =1(0≤y≤4),由于直 9 16 ?y=4sinθ ?

线 OP 的方程为 y=x,那么由

?x + y =1 ? 9 16 ?y=x?0≤y≤4?

2

2

?x=12 ? 5 ?? ?y=12 ? 5

.

?12 12? 答案:? 5 , 5 ? ? ?

4.(2011· 佛山卷)在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线 l 与 圆 ρ=4 相交于 A、B 两点,若|AB|=4,则直线 l 的极坐标方程为 ________. 解析:设极点为 O,由该圆的极坐标方程为 ρ=4,知该圆的半 径为 4,又直线 l 被该圆截得的弦长|AB|为 4,所以∠AOB=60° ,∴ 极点到直线 l 的距离为 d=4×cos30° =2 3,所以该直线的极坐标方 程为 ρcosθ=2 3. 答案:ρcosθ=2 3 5.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ=-1 的交点的极坐标为________. 分析:本题考查极坐标方程与普通方程的互化. 解析:由 ρ=2sinθ,得 ρ2=2ρsinθ,其普通方程为 x2+y2=2y,
?x2+y2=2y ?x=-1 ? ? ? ρcosθ=-1 的普通方程为 x=-1, 联立 , 解得? , ? ? ?x=-1 ?y=1 ? 3π? 点(-1,1)的极坐标为? 2, 4 ?. ? ? ? 3π? 答案:? 2, 4 ? ? ?

二、解答题(每小题 7 分,共 70 分)
? ?x=cosθ, 6.已知曲线 C1:? (θ 为参数), ?y=sinθ ?

?x= 22t- 曲线 C :? 2 y= t ? 2
2

2, (t 为参数).

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到 曲线 C1′,C2′.写出 C1′,C2′的参数方程.C1′与 C2′公共点的 个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由. 解:(1)C1 是圆,C2 是直线.C1 的普通方程为 x2+y2=1,圆心为 (0,0),半径 r=1. C2 的普通方程为 x-y+ 2=0. 因为圆心(0,0)到直线 x-y+ 2=0 的距离为 1,所以 C2 与 C1 只 有一个公共点. (2)压缩后的参数方程分别为

?x=cosθ, C1′:? 1 ?y=2sinθ

(θ 为参数),

?x= 22t- C ′:? 2 y= t ? 4
2

2, (t 为参数).

1 2 化为普通方程分别为 C1′:x2+4y2=1,C2′:y= x+ , 2 2 联立消元得 2x2+2 2x+1=0, 其判别式 Δ=(2 2)2-4×2×1=0, 所以压缩后的直线 C2′与椭圆 C1′仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点的个数相同.

?x=-1- 22t 7.已知直线 l:? 2 y=2+ t ? 2
点,求线段 AB 的长.

与抛物线 y=x2 交于 A,B 两

?x=-1- 22t, 解:把? 2 ?y=2+ 2 t,

代入 y=x2,得 t2+ 2t-2=0,

∴t1+t2=- 2,t1t2=-2.由参数的几何意义,得 |AB|= ?t1+t2?2-4t1t2= 10. 8.(2011· 福建)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4
? ?x= 3cosα, =0,曲线 C 的参数方程为? (α 为参数). ? ?y=sinα

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以
? π? 原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为?4,2?, ? ?

判断点 P 与直线 l 的位置关系; (2)设点 Q 是曲线 C 上一个动点, 求它到直线 l 的距离的最小值.
? π? 解:(1)把极坐标系下的点 P?4,2?化为直角坐标系,得 P(0,4). ? ?

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x-y+4=0, 所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为( 3cosα,sinα) 从而点 Q 到直线 l 的距离为:

d=

| 3cosα-sinα+4| = 2
? ?

? π? 2cos?α+6?+4 ? ?

2

? π? = 2cos?α+6?+2 2, ? π? 由此得,当 cos?α+6?=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 2. ? ? ? π? 9.已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ2-4 2ρcos?θ-4?+6=0,求: ? ?

(1)曲线 C 的普通方程; (2)设点 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,求 xy 的最大值和最小值.
? π π? cos sin 解:(1)原方程可化为 ρ2-4 2ρ?cosθ· 4+sinθ· 4 ?+6=0,即 ? ?

?ρ =x +y , ? ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0.∵ ?x=ρcosθ, ?y=ρsinθ, ?
2 2 2

∴x2+y2-4x-4y+6

=0,即(x-2)2+(y-2)2=2,此方程即为所求普通方程. (2)设 x-2 y-2 =cosθ, =sinθ,则 xy=(2+ 2cosθ)(2+ 2sinθ) 2 2

= 4 + 2 2 (cosθ + sinθ) + 2cosθsinθ. 设 t = cosθ + sinθ , 则 t = 2
? π? sin?θ+4?,∴t∈[- 2, 2],t2=1+2cosθsinθ,从而 2cosθsinθ=t2 ? ?

-1. ∴xy=3+2 2t+t2.当 t=- 2时, 取得最小值 1; t= 2时, xy 当 xy 取得最大值 9.

10.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建
? π? 2 立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsin?θ+4?= .圆 O 的参数方 2 ? ?

?x=- 22+rcosθ 程为? 2 y=- +rsinθ ? 2

(θ 为参数,r>0).

(1)求圆心的极坐标; (2)当 r 为何值时,圆 O 上的点到直线 l 的最大距离为 3? 解:(1)圆心坐标为?-
? ?

2 2? ,- ?, 2 2?

设圆心的极坐标为(ρ,θ), 则 ρ=
? 2? ? 2? ?- ?2+?- ?2=1, 2? ? 2? ? ? ?

? 5 ? 所以圆心的极坐标为?1,4π?.

(2)直线 l 的极坐标方程为 ρ?

? 2 ? 2 2 sinθ+ cosθ?= 2 , 2 ? 2 ?

∴直线 l 的普通方程为 x+y-1=0, ∴圆上的点到直线 l 的距离
? ? 2 2 ?- +rcosθ- +rsinθ-1? 2 2 ? ?

d=

2
? ? π? ? ?- 2+ 2rsin?θ+ ?-1? 4? ? ? ?



即 d=

2

. 2+ 2r+1 =3, 2

∴圆上的点到直线 l 的最大距离为 ∴r= 4- 2 . 2

11.(2011· 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次 联考)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐

标系的 x 轴的正半轴重合, 且两个坐标系的单位长度相同, 已知直线
?x=-1+tcosα ? l 的参数方程为? (t 为参数), 曲线 C 的极坐标方程为 ρ ? ?y=1+tsinα

=4cosθ. (1)若直线 l 的斜率为-1,求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标; (2)若直线 l 与曲线 C 的相交弦长为 2 3,求直线 l 的参数方程. 解:(1)直线 l 的普通方程为 y-1=-1(x+1),即 y=-x, 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-4x=0. ①代入②得:2x2-4x=0,解得 x=0 或 x=2.
? 7π? ∴A(0,0),B(2,-2),极坐标为 A(0,0),B?2 2, 4 ?. ? ?

① ②

(2)由题意可得圆心 C(2,0)到相交弦的距离为 22-? 3?2=1,设 直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y-1=k(x+1),则 y=kx+k+1, ∴ |2k+k+1| 3 =1,∴k=0 或 k=- . 2 4 k +1

? ?x=-1+t ∴l:? ?y=1 ?

?x=-1-4t ? 5 (t 为参数)或? 3 ?y=1+5t ?

(t 为参数).

x 2 y2 12. 已知 A、 是椭圆 + =1 与 x 轴、 轴的正半轴的两交点, B y 9 4 在第一象限的椭圆弧上求一点 P,使四边形 OAPB 的面积最大. π 解:设点 P 的坐标为(3cosθ,2sinθ),其中 0<θ< , 2 ∵S 四边形 AOBP=S△APB+S△AOB,其中 S△AOB 为定值,故只需 S△APB 最大即可.因为 AB 为定长,故只需点 P 到 AB 的距离最大即 可 . AB 的 方 程为 2x+ 3y- 6= 0, 点 P 到 AB 的 距 离为 d=

|6cosθ+6sinθ-6| ? π? ? 6 ? π ? = · 2sin?θ+ 4?-1?,∴θ= 时,d 取最大值, 4 ? ? ? 13 13 ?
?3 2 ? 从而 S△APB 取最大值,这时点 P 的坐标为? , 2 ?. ? 2 ? ?x=1+2cosθ ? 13.已知圆 C 的参数方程为? (θ 为参数),P 是圆与 ? ?y=2sinθ

y 轴的交点, 若以圆心 C 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, x 求过点 P 的圆的切线的极坐标方程.
?x=1+2cosθ ? 解:依题意,圆 C:? 是以(1,0)为圆心,2 为半径 ? ?y=2sinθ

的圆,与 y 轴交于(0,± 3),如图所示.设 R 是切线上一点,∵PR 为圆 C 的切线,∴△CPR 为直角三角形,∴CR· cos∠RCP=CP,又
? 2π? π ∠PCO= ,∴极坐标方程为 ρcos?θ- 3 ?=2;若取圆与 y 轴负轴交 3 ? ? ? 2π? 点,则极坐标方程为 ρcos?θ+ 3 ?=2. ? ?

14.(2011· 辽宁)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程
?x=cosφ ?x=acosφ, ? ? ? 为 (φ 为参数), 曲线 C2 的参数方程为? (a>b>0, ?y=sinφ ?y=bsinφ, ? ?

φ 为参数).在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射

线 l:θ=α 与 C1,C2 各有一个交点.当 α=0 时,这两个交点间的距 π 离为 2,当 α= 时,这两个交点重合. 2 (1)分别说明 C1,C1 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; π π (2)设当 α= 时, 与 C1, 2 的交点分别为 A1, 1, α=- 时, l C B 当 4 4 l 与 C1,C2 的交点分别为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 解:(1)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 α=0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0), 因为这两点间的距离为 2,所以 a=3. π 当 α= 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1),(0, 2 b),因为这两点重合,所以 b=1. x2 2 (2)C1,C2 的普通方程分别为 x +y =1 和 +y =1, 9
2 2

π 2 当 α= 时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x= ,与 C2 交点 4 2 B1 的横坐标为 x′= 3 10 . 10

π 当 α=- 时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1, 4 B1 关于 x 轴对称,因此四边形 A1A2B2B1 为梯形. 故四边形 A1A2B2B1 的面积为 ?2x′+2x??x′-x? 2 = . 2 5

15.(2011· 课标)在直线坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
?x=2cosα → → ? ? (α 为参数),M 是 C1 上的动点,P 点满足OP=2OM, ? ?y=2+2sinα

P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ π = 与 C1 的异于极点的交点为 A, C2 的异于极点的交点为 B, 与 求|AB|. 3
?x y ? 解:(1)设 P(x,y),则由条件知 M?2,2?,由于 M 点在 C1 上, ? ?

所以

?x=2cosα, ?2 ?y ?2=2+2sinα. ?

?x=4cosα, ? 即? ? ?y=4+4sinα.

从而 C2 的参数方程为
?x=4cosα, ? ? (α 为参数) ?y=4+4sinα. ?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =8sinθ. π π 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin , 3 3 π π 射线 θ= 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3.


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