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新高中数学第二章解三角形2-3解三角形的实际应用举例习题精选北师大版必修5

新高中数学第二章解三角形 2-3 解三角形的实际应用举例习题精选北 师大版必修 5
课后篇巩固探究 1.

如图所示,为了测量某湖泊两侧 A,B 间的距离,某同学首先选定了与 A,B 不共线的一点 C,然后 给出了四种测量方案:(△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别记为 a,b,c)

①测量 A,C,b ②测量 a,b,C ③测量 A,B,a ④测量 a,b,B
则一定能确定 A,B 间距离的所有方案的序号为( A.①②③ B.②③④ C.①③④ )

D.①②③④

解析:已知三角形的两角及一边 ,可以确定三角形,故①③正确;已知两边及夹角 ,可以确定三 角形,故②正确;已知两边与其中一边的对角,满足条件的三角形可能有一个或两个,故④错误. 故选 A. 答案:A 2.已知某路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成 45°角,树干也倾斜为与地面成 75°角,树 干底部与树尖着地处相距 20 m,则折断点与树干底部的距离是( )m.

A.

B.10

C.

D.20

解析:如图,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°, 所以∠OAB=60°. 由正弦定理知, ,

所以 AO=

(m).

-1-/8

答案:A 3.已知一艘船以 4 km/h 的速度与水流方向成 120°的方向航行,已知河水流速为 2 km/h,则经 过 A.2 C.2 h,该船实际航程为( km km B.6 km D.8 km )

解析:如图,因为|

|=2 km/h,| |=

|=4 km/h,∠AOB=120°,

所以∠OAC=60°,|

=2
经过 答案:B

(km/h). h,该船的实际航程为 2

=6(km).

4.甲船在 B 岛的正南方 10 km 处,且甲船以 4 km/h 的速度向正北方向航行,同时乙船自 B 岛出 发以 6 km/h 的速度向北偏东 60°的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是 ( A. ) min B. h C.21.5 min D.2.15 h

解析:如图,设经过 x h 后甲船处于点 P 处,乙船处于点 Q 处,两船的距离为 s,则在△BPQ 中 ,BP=(10-4x) km,BQ=6x km,∠ PBQ=120°,由余弦定理可知 s =PQ =BP +BQ -2BP·BQ·cos∠
2 2 2 2

PBQ,即 s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)·6x·cos 120°=28x2-20x+100.
当 x=答案:A -2-/8 时,s 最小,此时 h= min.

5.已知一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°,与灯塔 S 相距 20 海里,随后货轮 按北偏西 30°的方向航行 30 分后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( A.20( C.20( )海里/时 )海里/时 B.20( D.20( )海里/时 )海里/时 )

解析:设货轮航行 30 分后到达 N 处, 由题意可知∠NMS=45°,∠MNS=105°, 则∠MSN=180°-105°-45°=30°. 而 MS=20 海里,在△MNS 中, 由正弦定理得 ,

即 MN=

=

=

=10(

)(海里).

故货轮的速度为 10( 答案:B

)÷ =20(

)(海里/时).

6.飞机沿水平方向飞行,在 A 处测得正前下方地面目标 C 的俯角为 30°,向前飞行 10 000 m 到 达 B 处,此时测得正前下方目标 C 的俯角为 75°,这时飞机与地面目标的水平距离为( A.2 500( C.4 000 m )

-1) m
D.4 000 m

B.5 000

m

解析:如图,∠BAC=30°,∠DBC=75°,AB=10 000 m,

所以∠ACB=45°. 由正弦定理,得 ,

-3-/8

又 cos 75°=

,

所以 BD= 答案:A

·cos 75°=2 500(

-1)(m).

7.台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心 30 km 内的地区为危险区, 城市 B 在 A 的正东 40 km 处,B 城市处于危险区内的持续时间为( A.0.5 h C.1.5 h B.1 h D.2 h
2 2 2

)

解析:设 t h 后,B 市处于危险区内,则由余弦定理得(20t) +40 -2×20t×40cos 45°≤30 . 化简得 4t -8
2

t+7≤0,所以 t1+t2=2

,t1·t2= .

从而|t1-t2|= 答案:B 8.

=1.

如图,已知海岸线上有相距 5 n mile 的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向.海上停泊 着两艘轮船,甲位于灯塔 A 的北偏西 75°方向,与 A 相距 3 n mile 的 D 处;乙船位于灯塔 B n mile.

的北偏西 60°方向,与 B 相距 5 n mile 的 C 处,则两艘船之间的距离为 解析:连接 AC,BC=AB=5 n mile,∠ABC=60°, 所以△ABC 为等边三角形,所以 AC=5 n mile, 且∠DAC=180°-75°-60°=45°. 在△ACD 中,由余弦定理得 CD =(3 故两艘船之间的距离为 答案: 9.
2

) +5 -2×3

2

2

×5×cos 45°=13,所以 CD=

n mile.

n mile.

-4-/8

如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶 B 处测得地面上一点 A 的俯角 α =60°,在塔底 C 处测得点

A 的俯角 β =45°.已知塔高 60 m,则山高为
解析:在△ABC 中,BC=60 m,∠BAC=15°,∠ABC=30°, 由正弦定理,得 AC=

.

=30(

)(m).

所以 CD=AC·sin 45°=30( 答案:30( 10.

+1)(m).

+1)m

如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从点 A 测得点 M 的仰角∠

MAN=60°,点 C 的仰角∠CAB=45°及∠MAC=75°,从点 C 测得∠MCA=60°.已知山高 BC=50 m,
则山高 MN= m. m.

解析:在 Rt△ABC 中,∠CAB=45°,BC=50 m,所以 AC=50

在△AMC 中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°, 由正弦定理得, ,因此 AM=50 m.

在 Rt△MNA 中,AM=50 答案:75 11.

m,∠MAN=60°,由

=sin 60°,得 MN=50

=75(m).

导学号 33194045 如图,CM,CN 为某公园景观湖畔的两条木栈道,∠MCN=120°. 现拟在两条木栈道的 A,B 两处设置观景台,记 BC=a,AC=b,AB=c(单位:百米). (1)若 a,b,c 成等差数列,且公差为 4,求 b 的值;

-5-/8

(2)已知 AB=12,记∠ABC=θ ,试用 θ 表示观景路线 A-C-B 的长,并求观景路线 A-C-B 长的最大 值. 解(1)因为 a,b,c 成等差数列,且公差为 4, 所以 a=b-4,c=b+4, 因为∠MCN=120°, 所以由余弦定理得,(b+4) =(b-4) +b -2b(b-4)cos 120°,解得 b=10. (2)由题意,得 ,
2 2 2

所以 AC=8 所 θ +8 以

sin θ ,BC=8 观 景

sin(60°-θ ), 路 线

A-C-B





AC+BC=8

sin

sin(60°-θ )=8

sin(60°+θ )(0°<θ <60°). 百米.

所以当 θ =30°时,观景路线 A-C-B 长的最大值为 8 12.

导学号 33194046 如图,一艘船由西向东航行,测得某岛 M 的方位角为 α ,前进 5 km 后测得此岛的方位角为 β .已知该岛周围 3 km 内有暗礁,现该船继续东行. (1)若 α =2β =60°,问该船有无触礁危险? (2)当 α 与 β 满足什么条件时,该船没有触礁的危险? 解(1)设岛 M 到直线 AB 的距离 MC 为 d km,则

AC=dtan α km,BC=dtan β km.
由 AC-BC=AB, 得 dtan α -dtan β =5,d=

.

当 α =2β =60°时,d= 所以此时没有触礁的危险.

>3,

(2)方法一:要使船没有触礁危险,只要使 d>3, 即

>3.

因为 0<β <α < ,所以 tan α -tan β >0,

-6-/8

所以 tan α -tan β < ,

所以当 α ,β 满足 tan α -tan β < 时,该船没有触礁的危险.

方法二:设 CM=x km,由

,



,解得 x=

,

所以当

>3 时没有触礁危险.

13.某海军护航舰艇在某海域执行护航任务时,收到某渔船在航行中发出的求救信号 ,海军舰 艇在 A 处获悉后,立即测出该渔船在方位角为 45°、距离 A 为 10 n mile 的 C 处,并测得渔船 正沿方位角为 105°的方向,以 9 n mile/h 的速度航行,海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度 前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间(角度精确到 0.1°, 时间精确到 1 min).

解如图,设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为 x h, 则 AB=21x n mile,

BC=9x n mile, AC=10 n mile,
∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°-105°)=120°, 根据余弦定理可得 AB =AC +BC -2AC·BC·cos 120°, 即(21x) =10 +(9x) -2×10×9xcos 120°, 亦即 36x -9x-10=0, 解得 x1= ,x2=- (舍去), 所以 AB=14 n mile,BC=6 n mile. 由余弦定理可得 cos ∠BAC=
2 2 2 2 2 2 2

-7-/8

=

≈0.928 6,所以∠BAC≈21.8°,

所以方位角为 45°+21.8°=66.8°,又因为 h=40 min,所以舰艇应以北偏东 66.8°的方 向航行,靠近渔船需要 40 min.

-8-/8


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