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全国新课标卷文理科数学2012-2015试题分类汇编17立体几何(文科)


17 立体几何(文科)
1.(2012 新课标文科 7)如图,网格上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视 图,则几何体的体积为(B) C .12 A .6 B .9 D .18 【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算,是简 单题. 【解析】由三视图知,其对应几何体为三棱锥,其底面为一边长为 6,这边上高为 3,棱锥的高为 3,故其体积为 ? ? 6 ? 3 ? 3 =9, 故选 B. 1.(2012 新课标理科 7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线 画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( B )

1 1 3 2

( A) 6

(B) 9

(C ) ??

( D) ??

【解析】选 B 该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3 此几何体的体积为 V ?

1 1 ? ? 6 ? 3? 3 ? 9 3 2

2.(2012 新课标文科 8)平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离 为 2,则此球的体积为 ( B) (A) 6π (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π 【命题意图】 【解析】 3.(2012 新课标理科 11)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ?ABC 是 边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( A )

( A)

2 6

(B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

【解析】选 A

?ABC 的外接圆的半径 r ?

6 3 2 2 ,点 O 到面 ABC 的距离 d ? R ? r ? 3 3 2 6 3

SC 为球 O 的直径 ? 点 S 到面 ABC 的距离为 2d ?

此棱锥的体积为 V ?

1 1 3 2 6 2 S?ABC ? 2d ? ? ? ? 3 3 4 3 6

另: V ?

1 3 S?ABC ? 2 R ? 排除 B, C, D 3 6

4. ( 2012 新课标文科 19 ) (本小题满分 12 分)如图,三棱柱

ABC ? A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=2AA1,D 是棱 AA1 的中点。
(I) 证明:平面 BDC1 ⊥平面 BDC1 (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计 算,考查空间想象能力、逻辑推理能力,是简单题. 【解析】 (Ⅰ) 由题设知 BC⊥ CC1 ,BC⊥AC, CC1 ? AC ? C ,∴ BC ? 面 ACC1 A1 , ∵ DC1 ? 面 ACC1 A 1 ,∴ DC1 ? BC ,
0 由题设知 ?A 1DC1 ? ?ADC ? 45 ,∴ ?CDC1 = 90 ,即 DC1 ? DC ,
0

1



又∵ DC ? BC ? C , ∴面 BDC ⊥面 BDC1 ;

∴ DC1 ⊥面 BDC ,

∵ DC1 ? 面 BDC1 ,

(Ⅱ)设棱锥 B ? DACC1 的体积为 V1 , AC =1,由题意得, V1 = ? 由三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V =1,

1 1? 2 1 ? 1? 1 = , 3 2 2

∴ (V ? V1 ) : V1 =1:1, ∴平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积之比为 1:1. 5. (2013 新课标文科 11)某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为( ( A ) 16 ? 8? ( B ) 8 ? 8? (D) 8 ? 16? (C) A )

16 ? 16?

6. (2013新课标Ⅰ卷文科15) 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点, AH : HB ? 1: 2 , AB ? 平面 ? , H 为垂足,? 截球 O 所得截面的面积为 ? ,则球 O 的 表面积为_______。

9? 2

7. (2013 新课标Ⅰ卷理科 6) 如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 8cm, 将 一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果 不计容器的厚度,则球的体积为 ( A )

A.

500? cm3 3

B.

866? cm3 3

C.

1372? cm3 3

D.

2048? cm3 3

8. (2013 新课标Ⅰ卷理科 8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A

)

A. 16 ? 8?

B. 8 ? 8?

C. 16 ? 16?

D. 8 ? 16?

CA ? CB , 9.(2013 新课标Ⅰ卷文科 19) (本小题满分 12 分) 如图, 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,
AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60 。
(Ⅰ)证明: AB ? A1C ; (Ⅱ)若 AB ? CB ? 2 , A1C ?

C
6 ,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积。

C1 B1 A1

B A
9.【答案】 (I)取 AB 的中点 O,连接 OC O 、 OA 、A 1O 1B ,因为 CA=CB, 所以 OC ? AB ,由于 AB=A A1,∠BA A1=600,故 ?AA, B 为等边三角形,所以 OA 1 ⊥ AB.

因为 OC?OA 1 =O,所以 AB ? 平面 OA 1 C.又 A 1 CC 平面 OA 1 C,故 AB ? AC。 (II)由题设知

?ABC与?AA1B都是边长为2的等边三角形,

AA1 B都是边长为2的等边三角形,所以
2 OC ? OA1 ? 3, 又AC ? 6,则AC ? OA12,故OA1 ? OC. 1 1

因为OC

AB ? O, 所以OA1 ? 平面ABC,OA1为棱柱ABC -A1B1C1的高,
ABC

又?ABC的面积S

? 3,故三棱柱ABC-A1 B1C1的体积V =S

ABC

? OA1 ? 3.

10. (2013 新课标卷Ⅱ文科 9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到
正视图可以为(A)

(A)

(B)

(C)

(D)

10. (2013 新课标卷Ⅱ理科 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到
正视图可以为(A)

(A)

(B)

(C)

(D)

11. (2013 新课标卷Ⅱ文科 15)已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________. 24? 12. (2013 新课标卷Ⅱ文科 18) (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1) 证明: BC1//平面 A1CD; (2) 设 AA1= AC=CB=2,AB=2

,底面边长为

,则以

,求三棱锥 C 一 A1DE 的体积.

13. (2013 新课标卷Ⅱ理科 4)已知 m, n 为异面直线, m ? 平面 ? , n ? 平面 ? 。直线 l 满 足 l ? m, l ? n, l ? ? , l ? ? ,则(D) (A) ? // ? ,且 l // ? (C) ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l (B) ? ? ? ,且 l ? ? (D) ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

14. (2014 新课标卷Ⅰ文科 8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几 何体的三视图,则这个几何体是( B ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

【答案】 :B 【解析】 :根据所给三视图易知,对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选 B 15. (2014 新课标卷Ⅰ理科 12)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某 多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为 ( C )

A .6 2

B .4 2

C .6

D .4

16.(2014 新课标卷Ⅰ文科 16)如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测 M 点 的 仰 角 ?MAN ? 60? , C 点 的 仰 角 ?CAB ? 45? 以 及 量观测点.从 A 点测得 ?MAC ? 75? ; 从 C 点 测 得 ?MCA ? 60? . 已 知 山 高 BC ? 100m , 则 山 高 MN ? ____150____ m .

【答案】 :150

【解析】在直角三角形 ABC 中, 由条件可得 AC ? 100 2 , 在△MAC 中, 由正弦 定

理可得

AM AC 3 ,故 AM ? AC ? 100 3 ,在直角△ MAN ? 0 0 0 0 sin 60 sin? 180 ? 60 ? 75? 2

中, MN ? AM sin 600 ? 150 .

17.(2014新课标卷Ⅰ文科19)(本题满分12分) 如图, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O , 且 AO ? 平 面 BB1C1C .
(I)证明: B1C ? AB; (II)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , BC ? 1,
?

求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高.
【解析】 : (I)连结 BC1 ,则 O 为 BC1 与 B1C 的交点,因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以

B1C ? BC1
面 ABO , 故 B1C ? AB

,又 AO ? 平面 BB1C1C ,故 BC ? AO 1

B1C ? 平面 ABO ,由于 AB ? 平

………6 分

(II) 作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H, 由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC. 又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC. 因为 ?CBB1 ? 60? , , 所以△ BC ? 1, CBB1 为等边三角形,又

BC=1,可得OD=

3 ,由于 AC ? AB1 ,所以 4

OA ?

1 1 7 21 B1C ? ,由 OH·AD=OD·OA,且 AD ? OD 2 ? OA2 ? ,得OH= 2 2 4 14

又O为B1C的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为

21 21 ,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为 7 7

……………………….12 分 18.(2014 新课标卷Ⅱ文科 6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗 线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削 得到,则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为( C ) A.

17 27

B.

5 9

C.

10 27

D.

1 3

18. (2014 新课标卷Ⅱ理科 6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1 (表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半 径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原 来毛坯体积的比值为( C )

A.

17 27

B. 5

9

C. 10

27

D.

1 3

19.(2014 新课标卷Ⅱ文科 7)正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的底面边长为 2 ,侧棱长为 3 , D 为 BC 中点,则三棱锥 A ? B1DC1 的体积为( C ) (A) 3

(B)

3 2

(C) 1

(D)

3 2

20.(2014 新课标卷Ⅱ文科 18) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD , E 是 PD 的中 点. (1)证明: PB //平面 AEC ; (2)设

AP ? 1, AD ? 3

, 三 棱 锥 P? A B D 的体积

V?

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4

20 解:

(I) 设 BD 与 AC 的交点为 O, 连结 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点,又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC, 所以 PB∥平面 AEC.

(Ⅱ)V ?

1 3 PA ? AB ? AD ? AB . 6 6

由V ?

3 3 ,可得 AB ? . 2 4

作 AH ? PB 交 PB 于 H 。 由题设知 BC ? 平面 PAB ,所以 BC ? AH ,故 AH ? 平面 PBC 。 又 AH ?
PA ? AB 3 13 . ? PB 13

所以 A 到平面 PBC 的距离为

3 13 . 13

21、 (2015 新课标 1 卷文科 6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富 的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五 尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米 堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米有( B ) (A) 14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛 21. (2015 新课标 1 卷理科 6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有 如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几 何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四 分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的体积和堆 放的米各位多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3, 估算出堆放的米有( B ) (A) 14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛

22、 (2015 新课标 1 卷文科 11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个 几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示, 2r 若该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? ( B ) (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 r 正视图 r

2r 22. (2015 新课标 1 卷理科 11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个 几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16 + 2r 俯视图

r

20 ? ,则 r=(B ) (A)1 (B)2

(C)4

(D)8

23. (2015 新课标 1 卷文科 18) (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD ,

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II) 若 ?ABC ? 120 ,AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为

6 , 求该三棱锥的侧面积. 3

24. (2015 新课标 II 卷文科 6)一个正方体被一个平面截取一部

分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( D ) A.
1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

25 (2015 新课标Ⅱ卷理科 6) 一个正方体被一个平面截去一部分后, 剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体 积的的比值为( D )
1 1 (D) 6 5 26. (2015 新课标 II 卷文科 10)已知 A 、 B 是球 O 的球面上两点,

(A)

1 8

(B)

1 7

(C)

?AOB ? 90? , C 为该球面上的动点.若三棱锥 O ? ABC 体积的

最大值为 36,则球 O 的表面积为( C ) A. 36? B. 64? C. 144 ? D. 256?

26(2015 新课标Ⅱ卷理科 9)已知 A , B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90? ,C 为 该球面上的动点, 若三棱锥 O ? ABC 体积的最大值为 36 , 则球 O 的表面积为( C ) (A) 36π (B) 64π (C) 144π (D) 256π 27、 (2015 新课标 II 卷文科 19) (本小题满分 12 分) 如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,分 别在 A1B1, D1C1 上,A1E= D1F=4.过点 E,F 的平面 α 与此长方体的 面相交,交线围成一个正方形. (I)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) (II)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值.
27.解: (Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如图:
A A1 D1 F E D B C1 B1 C

(Ⅱ)作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为 EHGF 为正方形,所 以 EH=EF=BC=10.于是 MH= EH 2 ? EM 2 ? 6, AH ? 10, HB ? 6 .因为长方体被平面 ? 分为 两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比值为

9 7 ( 也正确) 7 9


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