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复习回顾：

面面垂直的判定

（１）利用定义

［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］

（２）利用判定定理［线面垂直 面面垂直］

? ? 线面垂直

l ?? ? ? ?? ? ? l ? ??

线线垂直

l

B

A 面面垂直

思考2

如图，长方体中，α⊥β,

(1)α里的直线都和β垂直吗？ 不一定 (2)什么情况下α里的直线和β垂直？

D1

与AD垂直

C1

F

A1

α

B1

E

A

D

β

B

C

思考3

? ? ? ,? ? ? ? CD， AB ? ? , AB ? CD,

垂足为B，那么直线AB与平面β 的位置关系如何？ 为什么？ 垂直

Eβ D α C B

A

证明:在平面 ? 内作BE⊥CD,

垂足为B.

则∠ABE就是二面角? ? CD ? ?

的平面角.

Eβ

∵ ? ? ? , ∴AB⊥BE.

又由题意知AB⊥CD,

D

α C

B

A

且BE ?

CD=B

∴AB⊥? .

平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直． 符号表示:

?

C?

? ?? ? ? ? ? CD AB ? ?

? ? ? ? ? ? AB ? ? ? AB ? CD ? AB ? CD ? B ? ?

A B D

关键点： ①线在平面内. ②线垂直于交线.

?

C?

A B D

作用： ①它能判定线面垂直.

② 它能在一个平面内作与这个平面垂 直的垂线.

面面垂直

线面垂直

（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）

思考4

设平面? ⊥平面 ? ，点P在平面? 内，过点P作平

面? 的垂线a，直线a与平面 ? 具有什么位置关系?

直线a在平面? 内 α a

β

α

a

β

P

P

思考5

已知平面? ? ?，? ? ? ? AB，直线a∥?，

垂直

a ? AB，试判断直线a与?的位置关系.

α b B l β a

A

例1

如图，已知平面?，?，? ? ?，直线a满足a ? ?,

a ? ?，试判断直线a与平面?的位置关系.

分析：寻找平面α内与a平行的直线.

α

b

l β

a

A

例2.已知平面?，?，? 满足? ? ? ，? ? ? ，? ? ? ? l , 求证：l ? ? .

分析：作出图形. （法一） l β m b （法二）

aα

β n m b

l

α a n A

γ

γ

证法1：设 ? ? ? ? n, ? ? ? ? m,

在α内作直线a ⊥n 在β内作直线b⊥m l β b a n α

? ? 同理b ? ? ?

?a??

? b / /a? ? a ? ? ? ? b / /? ? ? b ? ? b ?? ? ? ? b / /l ? ? ? ? ? ? ? l? ?? l ? ?. ? b?? ? ? ? ? l? ?

γ

m

证法2：设 ? ? ? ? n, ? ? ? ? m, 在γ内任取一点A（不在m,n上）， l β a γ m b A n α

在γ内过A点作直线 a ⊥n，

在γ内过A点作直线 b⊥m，

? ?? ? ? ? ? ? ? n? ? a ? ? ? a?n l ?? ?

a?l ? 同理b ? l a ?b ? A

? l ? ?.

结论 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两 个平面的交线垂直于这个平面. 如图：

l

α γ

β

判断线面垂直的两种方法： ①线线垂直→线面垂直； ②面面垂直→线面垂直.

例3．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平 面ABC，平面SAB⊥平面SBC。 求证：AB⊥BC。 S

证明：过A点作AD⊥SB于D点. ∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC， ∴ AD⊥BC. 又∵ SA ⊥ 平面ABC， ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A ∴BC ⊥ 平面SAB. ∴BC ⊥AB.

A B D C

如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED 是等边三角形，四边形ABCD是矩形， （1）求证：EA⊥CD （2）若AD＝1，AB＝ 2 ，求EC与平面 ABCD所成的角。

E

D

C

M

A B

1.平面与平面垂直的性质定理： 面面垂直 线面垂直

C

?

?

A

D

2.面面垂直的性质推论： α P a

β

B

α b a l

β

A

α

l γ

β

a ??

a∥α

l ??

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