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人教A版高中数学选修4-4 简单曲线的极坐标方程 名师公开课市级获奖课件(43张)_图文

三、 简单曲线的极坐标方程 课标定位 1.了解极坐标方程的意义. 2.掌握直线和圆的极坐标方程. 3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题. 1.利用化极坐标方程为直角坐标方程解题.(重点) 2.常与方程、三角函数和解三角形结合命题. 3.直线和射线的极坐标方程是易错点,理解推导直线和 圆的极坐标方程的根据是正、余弦定理.(难点) 预习学案 我国自主研制的 “ 神舟七号 ” 载人航 天飞船成功发射,并按预定方案返回地 球. 它的运行轨道是以地球中心为一个焦点 的椭圆, 椭圆的近地点和远地点距离地面分 别为 n km 和 m km(常数 m>n>0),且地球半 径为 k km. 你能写出“神舟七号”运行的椭圆轨道的极坐标方程吗? 1.曲线与方程的关系 在平面直角坐标系中,平面曲线C可以用方程f(x,y)=0表 示.曲线与方程满足如下关系: (1)曲线C上___________ 点的坐标 都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为____________ 坐标的点 都在曲线C上. 2.曲线的极坐标方程 一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极 坐标中至少有一个满足方程____________ f(ρ,θ)=0 ,并且坐标适合方程 ______________ 的点都在曲线 C 上,那么方程 ____________ f(ρ,θ)=0 f(ρ,θ)=0 叫 做曲线C的极坐标方程. 3. 曲线 圆心在极点,半径 为 r 的圆 圆心为 C(r,0),半径 为 r 的圆 圆心为 ? π? C?r,2?,半 ? ? 图形 极坐标方程 ρ=r (0≤θ<2π) ρ=2rcos θ ? π π? ?- ≤θ< ? 2? ? 2 ρ=2rsin θ (0≤θ<π) θ=α(ρ∈R)或 θ=π+α(ρ∈R) 径为 r 的圆 过极点, 倾斜角为 α 的直线 曲线 过点 A(a,0), 与极轴 垂直的直线 过点 ? π? A?a,2?,与极 ? ? 图形 极坐标方程 ρcos θ=a ? π π? ?- <θ< ? 2? ? 2 ρsin θ=a (0<θ<π) ρsin αcos θ-ρcos αsin θ =asin α(0<θ<π) 轴平行的直线 过点 A(a,0), 且与极 轴成 α 角的直线的 极坐标方程 π 1.极坐标方程 ρ=1 且 θ=2表示( A.点 C.直线 B.射线 D.圆 ) π 解析: 由 ρ=1,θ=2知,其表示圆心在 极点,半径为 1 的圆上的一点 A,如图所示. 答案: A π 2.过极点倾斜角为3的直线的极坐标方程可以为( π A.θ=3 4π C.θ= 3 ,ρ≥0 解析: ) π B.θ=3,ρ≥0 π 4π D.θ=3和 θ= 3 ,ρ≥0 π π 过极点且倾斜角为3的直线的极坐标方程为 θ=3 π 4 或 θ=3+π=3π,ρ≥0,故选 D. 答案: D π 3.极坐标系中,ρ≥0,过点(1,0)倾斜角为2的射线的极坐 标方程为________. 解析: 由题意知,其图形为 故其极坐标为 ρcos 答案: ρcos ? π? θ=1?0≤θ<2?. ? ? ? π? θ=1?0≤θ<2? ? ? 4.求以C(4,0)为圆心,半径等于4的圆的极坐标方程. 解析: 设 P(ρ,θ)为圆 C 上任意一点(不与 O、A 点重合), 圆 C 交极轴于另一点 A,则|OA|=8, 在 Rt△AOP 中,|OP|=|OA|cos θ,即 ρ=8cos θ, 经验证点 O、点 A 也满足该等式, 所以 ρ=8cos θ.这就是圆 C 的极坐标方程. 课堂讲义 圆的极坐标方程 在极坐标系中,求半径为 r,圆心为 的极坐标方程. [思路点拨] 先设圆上的任意一点为 M(ρ,θ),再根据圆的 性质建立等式,转化为变量 ρ,θ 的方程即可. 设点M?ρ,θ? ―→ 列方程f?ρ,θ?=0 ―→ 检验特殊点 ―→ 结果 ? 3π? C?r, 2 ?的圆 ? ? [解题过程] 由题意知, 圆经过极点 O, 设 OA 为其一条直 径,设 M(ρ,θ)为圆上除点 O,A 以外的任意一点, 如图所示,则|OA|=2r,连接 AM, 则 OM⊥MA, 在 Rt△OAM 中,|OM|=|OA|cos∠AOM, 即 ?3π ? ρ=2rcos? 2 -θ?,故 ? ? ρ=-2rsin θ. 经验证,点 ? 3π? O(0,0),A?2r, 2 ?的坐标皆满足上式, ? ? 所以满足条件的圆的极坐标方程为 ρ=-2rsin θ. [规律方法] 求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况 一样,就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系,然后列出方程 f(ρ,θ)=0,再化简并检验特殊点. 极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解 直角或斜三角形. [变式训练] 1.在极坐标系中,求: (1)圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程; (2)圆心为C(2,π),半径为2的圆的极坐标方程. 解析: (1)设所求圆上任意一点 M(ρ,θ), 结合图形(1),得|OM|=2,∴ρ=2,0≤θ<2π. (2)设所求圆上任意一点 M(ρ,θ),结合图形(2), (1) 在 Rt△OAM 中, (2) ∠OMA=90° ,∠AOM=π-θ,OA=4. OM ∵cos∠AOM= OA ,∴OM=OA· cos∠AOM. 即 ρ=4cos(π-θ),故 ρ=-4cos θ 为所求. 射线或直线的极坐标方程 π 求过点 A(1,0)且倾斜角为4的直线的极坐标方程. [思路点拨 ] 解答本题先设直线上任意一点 M(ρ, θ) ,建 立等式转化为关于ρ,θ的方程,再化简即可.也可通过直线的 直角坐标方程求解. [解题过程] 方法一:设 M(ρ,θ)为直线上除点 A 以外的任 π 3π

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