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新高中数学第一章立体几何初步1-3三视图学案北师大版必修2(1)

新高中数学第一章立体几何初步 1-3 三视图学案北师大版必修 2(1)

[核心必知] 1.三视图中的实虚线 在绘制三视图时, 分界线和可见轮廓线都用实线画出. 不可见边界轮廓线, 用虚线画出. 2.绘制三视图时的注意事项 (1)绘制三视图时,要注意: ①主、俯视图长对正; ②主、左视图高平齐; ③俯、左视图宽相等,前后对应. (2)画简单组合体的三视图的注意事项: ①首先,确定主视、俯视、左视的方向.同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能 不同. ②其次,注意简单组合体是由哪几个基本几何体组成的,并注意它们的组成方式,特别 是它们的交线位置. 3.简单几何体的两种基本组成形式 (1)将基本几何体拼接成组合体. (2)从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体. [问题思考] 一个简单几何体的三视图:主视图、左视图和俯视图完全一样,这个几何体是正方体或 球,对吗? 提示:不一定是正方体.球的主视图、左视图和俯视图是完全一样的圆,而正方体的三 视图与观察角度有关,有时三种视图的形状不完全相同.

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讲一讲 1.画出如下图所示的空间几何体的三视图(阴影面为主视面)(尺寸不作严格要求).

[尝试解答] 三视图如图所示:

1.在画三视图时,要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕,一组平行光线分 别从前面、左面、上面垂直照射,我们画的是影子的轮廓,再验证几何体的轮廓线,看到的 画实线,不能看到的画虚线. 2.作三视图时,一般俯视图放在主视图的下面,长度和主视图一样,左视图放在主视 图的右面,高度与主视图一样,宽度与俯视图一样. 练一练 1.画出如图所示的空间几何体的三视图(阴影面为主视面)(尺寸不作严格要求).

解:三视图如图.

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讲一讲 2.画出下列几何体的三视图(阴影面为主视面).

[尝试解答] 三视图如图所示.

对既有拼接,又有切、挖较复杂的组合体,关键是观察清楚轮廓线和分界线,并注意被 遮挡部分的轮廓线用虚线表示,在画三视图时,很容易漏画轮廓线,或把虚线画成了实线, 要注意检查. 练一练 2.画出如图所示的组合体的三视图.(阴影部分为主视面,尺寸不作严格要求)

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解:这个组合体的三视图如图:

讲一讲 3.如图所示的是一些立体图形的三视图,画出它的实物图.

[尝试解答]

根据三视图还原几何体实物,要仔细分析和认真观察三视图,进行充分的空间想象,综 合三视图的形状, 从不同的角度去还原. 看图和想图是两个重要的步骤, “想”于“看”中,

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形体分析的看图方法是解决此类问题的常用方法. 练一练 3.根据以下三视图想象物体原形,并画出物体实物草图.

解:实物草图如图:

画出右图的物体的三视图.

[错解]

[错因] 三视图出现多处错误.首先,主视图和左视图的高应该是相同的,而所画的视 图没有做到这一点;其次,左视图的宽应该和俯视图的高一致,这一点也没有做到;再次, 主视图的长与俯视图的长应对齐,这点还是没有做到;最后,图中有一条看不到的棱应该用 虚线表示出来,所以答案存在多处错误. [正解] 如图所示.

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1.如图所示的一个几何体,它的俯视图是(

)

解析:选 C 根据三视图的画法及特点可知 C 正确. 2.(湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( )

解析:选 C A 是两个圆柱的组合体,B 是一个圆柱和一个四棱柱的组合体,C 选项的正 视图与侧视图不相同, D 可以是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱与一个四棱柱的组合 体. 3. 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示, 则该几何体的左视图为( )

解析:选 B 依题意,侧视图中棱的方向从左上角到右下角,故选 B.

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4.一个几何体的主视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的 ________(填入所有可能的几何体前的编号). ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱

解析:只要判断正视图是不是三角形就行了,画出图形容易知道三棱锥、四棱锥、圆锥 一定可以,对于三棱柱,只需要倒着放就可以了,所以①②③⑤均符合题目要求. 答案:①②③⑤ 5 .如图是由小正方体组成的几何图形的三视图,则组成它的小正方体的 个数是 ________.

解析:由三视图我们可以得出该几何体的直观图,如图所示. 答案:5 6.画出该组合体的三视图.

解:组合体由正六棱柱和圆柱组合而成,其三视图如图所示.

一、选择题 1.已知某空间几何体的三视图如图所示,则此几何体为( )

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A.圆台 C.四棱柱

B.四棱锥 D.四棱台

解析:选 D 由主视图和左视图可以判断一定为棱台或圆台,又由俯视图可知其一定为 棱台且为四棱台. 2.(湖南高考)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是 一个面积为 2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( A. 3 2 2+1 2 B.1 )

C.

D. 2

解析:选 D 由已知,正方体的正视图与侧视图都是长为 2,宽为 1 的矩形,所以正视 图的面积等于侧视图的面积,为 2. 3.三棱柱 ABC?A1B1C1,如下图所示,以 BCC1B1 的前面为正前方画出的三视图,正确的是 ( )

解析:选 A 正面是 BCC1B1 的矩形,故主视图为矩形,左侧为△ABC,所以左视图为三 8 / 11

角形,俯视图为两个有一条公共边的矩形,公共边为 CC1 在面 ABB1A1 内的投影. 4.(福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以 是( ) A.球 C.正方体 B.三棱锥 D.圆柱

解析:选 D 球的三视图是三个相同的圆;当三棱锥为正三棱锥时其三视图可能是三个 全等的三角形;正方体的三视图可能是三个相同的正方形;不论圆柱如何放置,其三视图形 状都不会完全相同. 5.一个几何体的三视图如图所示,其中主视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视 图为正六边形,那么该几何体的左视图的面积为( )

A.

3 2

2 B. 3

C.12

D.6

解析:选 A 由主视图、左视图、俯视图之间的关系可以判断该几何体是一个底面为正 六边形的正六棱锥. ∵主视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形,此三角形的高为 3,∴左视图的高为 3. 俯视图中正六边形的边长为 1,其小正三角形的高为 1 3 ∴左视图的面积为 × 3× 3= . 2 2 二、填空题 6 .如图所示,为一个简单几何体的三视图,它的上部是一个 ________ ,下部是一个 ________. 3 3 ,∴左视图的底为 ×2= 3, 2 2

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解析:由三视图可知该几何体图示为

所以,其上部是一个圆锥,下部是一个圆柱. 答案:圆锥 圆柱 7.用小正方体搭成一个几何体,如图是它的主视图和左视图,搭成这个几何体的小正 方体的个数最多为________个.

解析:其俯视图如图所示时为小正方体个数最多情况(其中小正方形内的数字表示小正 方体的个数)共需 7 个小正方体. 1 1 2 1 1 1

答案:7 8.如图(1),E、F 分别为正方体的面 ADD1A1 和面 BCC1B1 的中心,则四边形 BED1F 在该正 方体的面上的射影可能是图(2)中的________(要求:把可能的图的序号都填上).

解析:根据平行投影的理论,从正方体的上下、前后、左右三个角度分别投影,从上往 下投影,选择②,从前往后投影,选择②,从左往右投影,选择③. 答案:②③

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三、解答题 9.如图所示,图②是图①中实物的主视图和俯视图,你认为正确吗?如果不正确,请 找出错误并改正,然后画出它的左视图.

解:图①是由两个长方体组合而成的,主视图正确,俯视图错误.俯视图应该画出不可 见轮廓(用虚线表示),左视图轮廓是一个矩形,有一条可视的交线(用实线表示),正确画法 如图所示.

10.某建筑由若干个面积相同的房间组成,其三视图如下,其中每一个小矩形表示一个 房间.

(1)该楼有几层?共有多少个房间? (2)画出此楼的大致形状. 解:(1)由主视图和左视图可知,该楼共 3 层,由俯视图可知,该楼一楼有 5 个房间, 结合主视图与左视图,易知二楼和三楼分别有 4 个,1 个房间,故共 10 个房间. (2)此楼的大致形状如图:

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