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2015年高考理科数学试题汇编(含答案):函数的性质


(重庆)16.若函数 f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为 5,则实数 a=_______. 【答案】 a ? 4 或 a ? ?6

考点:绝对值的性质,分段函数. (新课标 1) (13)若函数 f(x)=xln(x+ a ? x )为偶函数,则 a=
2

【答案】1

考点:函数的奇偶性

(安徽) (2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(


2

(A) y ? cos x (B) y ? sin x (C) y ? ln x (D) y ? x ? 1 【答案】A

考点:1.函数的奇偶性;2.函数零点的概念. (安徽) (9)函数 f ? x ? ?

ax ? b

? x ? c?

2

的图象如图所示,则下列结论成立的是( )

(A) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (C) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0

(B) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (D) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0

【答案】C

考点:1.函数的图象与应用. (北京)7.如图,函数 f ? x ? 的图象为折线 ACB ,则不等式 f ? x ? ≥ log2 ? x ? 1? 的解集是
y 2 C

A -1

O

B 2

x

A. ?x | ?1 ? x ≤ 0? C. ?x | ?1 ? x ≤1? 【答案】C 【解析】

B. ?x | ?1 ≤ x ≤1? D. ?x | ?1 ? x ≤ 2?

考点:1.函数图象;2.解不等式. (福建)14.若函数 f ? x ? ? ? 实数 a 的取值范围是 【答案】 (1, 2]

?? x ? 6, x ? 2, ( a ? 0 且 a ? 1 )的值域是 ? 4, ??? ,则 ?3 ? log a x, x ? 2,



考点:分段函数求值域. (广东)3.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 A. y ? x ? e
x

B. y ? x ?

1 x

x C. y ? 2 ?

1 2x

D. y ? 1 ? x 2

【答案】 A . 【解析】令 f ? x ? ? x ? ex ,则 f ?1? ? 1 ? e , f ? ?1? ? ?1 ? e?1 即 f ? ?1? ? f ?1? ,

f ? ?1? ? ? f ?1? ,所以 y ? x ? ex 既不是奇函数也不是偶函数,而 BCD 依次是奇函数、偶
函数、偶函数,故选 A . 【考点定位】本题考查函数的奇偶性,属于容易题. ( 陕 西 ) 9. 设

f ( x) ? ln x,0 ? a ? b , 若 p ? f ( ab ) , q ? f (

a?b ) , 2

r?

1 ( f (a ) ? f (b)) ,则下列关系式中正确的是( ) 2 A. q ? r ? p B. q ? r ? p C. p ? r ? q

D. p ? r ? q

【答案】C

考点:1、基本不等式;2、基本初等函数的单调性. 9.(四川)如果函数 f ? x ? ? 递减,则 mn 的最大值为( (A)16 【答案】B 【解析】 试题分析: m ? 2 时,抛物线的对称轴为 x ? ? 即 2m ? n ? 12 . (B)18

1 ?1 ? n ? 0 ? 在区间 ? , 2 单调 ? m ? 2 ? x 2 ? ? n ? 8? x ? 1? m ? 0, 2 ?2 ? ?
) (D)

(C)25

81 2

n ?8 n ?8 .据题意,当 m ? 2 时, ? ?2 m?2 m?2

2m ? n ?

2m ? n ? 6,? mn ? 18 .由 2m ? n 且 2m ? n ? 12 得 2

m ? 3, n ? 6 .当 m ? 2 时,抛物线开口向下,据题意得, ?

n ?8 1 ? 即 m?2 2

m ? 2n ? 18 .

2n ? m ?

2n ? m 81 ? 9,? mn ? .由 2n ? m 且 m ? 2n ? 18 得 2 2

m ? 9 ? 2 ,故应舍去.要使得 mn 取得最大值,应有 m ? 2n ? 18 (m ? 2, n ? 8) .所以
mn ? (18 ? 2n)n ? (18 ? 2 ? 8) ? 8 ? 16 ,所以最大值为 18.选 B..
考点:函数与不等式的综合应用. ( 四 川 ) 15. 已 知 函 数 f ( x) ? 2 , g ( x) ? x ? ax ( 其 中 a ? R ) . 对 于 不 相 等 的 实 数
x 2

x1 , x2 ,设 m ?
现有如下命题:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,n ? . x1 ? x2 x1 ? x2

(1)对于任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 m ? 0 ; (2)对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 n ? 0 ; (3)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? n ; (4)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? ? n . 其中的真命题有 【答案】① ④ (写出所有真命题的序号).

对(4) ,由 m=-n 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,即 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) . 令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 ? x ? ax ,则 h?( x) ? 2 ln 2 ? 2 x ? a .
x 2 x

由 h?( x) ? 0 得: 2 x ln 2 ? ?2 x ? a ,作出 y ? 2 ln 2, y ? ?2 x ? a 的图象知,方程
x

2 x ln 2 ? ?2 x ? a 必一定有解,所以 h( x) 一定有极值点,即对 于任意的 a,一定存在不相
等的实数 x1 , x2 ,使得 h( x1 ) ? h( x2 ) ,即一定存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? ? n .故正 确. 所以(1) (4) 考点:函数与不等式的综合应用. (天津) ( 7 )已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 2
x?m

? 1 ( m 为实数)为偶函数,记

a ? f (log 0.5 3), b ? f ? log 2 5? , c ? f ? 2m ? ,则 a, b, c 的大小关系为
(A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C ) c ? a ? b (D) c ? b ? a 【答案】C

【解析】 试题分析:因为函数 f ? x ? ? 2
x ?m

? 1 为偶函数,所以 m ? 0 ,即 f ? x ? ? 2 ? 1 ,所以
x
1

log 2 1? ? a ? f (log 0.5 3) ? f ? log 2 ? ? 2 3 ? 1 ? 2log2 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2, 3? ?

b ? f ? log 2 5? ? 2log2 5 ? 1 ? 4, c ? f ? 2m ? ? f (0) ? 20 ? 1 ? 0
所以 c ? a ? b ,故选 C. 考点:1.函数奇偶性;2.指数式、对数式的运算. (浙江)7.存在函数 f ( x) 满足,对任意 x ? R 都有( ) A. f (sin 2 x) ? sin x C. f ( x ?1) ? x ?1
2

B. f (sin 2 x) ? x ? x
2

D. f ( x ? 2x) ? x ?1
2

【答案】D.

考点:函数的概念

(湖南)5.设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x) 是( A.奇函数,且在 (0,1) 上是增函数 C. 偶函数,且在 (0,1) 上是增函数 【答案】A.



B. 奇函数,且在 (0,1) 上是减函数 D. 偶函数,且在 (0,1) 上是减函数

考点:函数的性质.


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