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3[1]11空间向量及其加减与数乘运算1_图文

一、平面向量复习

⒈定义: 既有大小又有方向的量叫向量.

几何表示法: 用有向线段表示; 字母表示法:用字母a、b等或者用有向线段

的起点与终点字母 AB表示.

相等的向量: 长度相等且方向相同的向量.

B

D

A

C

⒉平面向量的加减法运算
⑴向量的加法:

b a
平行四边形法则

a 三角形法则(首尾相连)

⑵向量的减法 三角形法则
b a
减向量终点指向被减向量终点

⒊平面向量的加法运算律
加法交换律: a+b=b+a 加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c)

推广

⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ?? An?1 An ? A1 An

A1

An ?1

A2

An

A3

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ?? An?1 An ? An A1 ? 0

A1

An ?1

A2

An

A3

A4

二、空间向量及其加减运算
⒈空间向量: ⑴定义:空间中具有大小和方向的量叫做向量.
⑵表示方法: ①空间向量的表示方法和平面向量一样; ②同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量; ③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示.

2.空间向量的加法、减法运算

C

b

?

O

B
b aA

OB ? OA ? AB ? a + b CA ? OA ? OC ? a - b

⒊空间向量加法运算律
⑴加法交换律:a + b = b + a; ⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c);

a

b

c

a

b

c

对空间向量的加法、减法的说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广. ⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立. ⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向
量相加.

推广

⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ?? An?1 An ? A1 An

A1

An ?1

A2

An

A3

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ?? An?1 An ? An A1 ? 0

A1

An ?1

A2

An

A3

A4

例1、给出以下命题:

(1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同;
(2)若空间向量 a、b 满足| a |?| b |,则 a ? b ;
(3)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,必有 AC ? A1C1 ;
(4)若空间向量 m、n、p 满足m ? n, n ? p ,则 m ? p ;
(5)空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是( C )

A.1

B.2

C.3

D.4

变式:如图所示,长方体中,AD=2,AA1=1,AB=3。 (1)是写出与 AB 相等的所有向量;
(2)写出与向量 AA1 的相反向量。

平行六面体:平行四边形ABCD平移向量a到
A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体。

D1 A1 a
D
A

C1 B1
C B

D1 A1
D
A

C1 B1
C B

记作ABCD—A1B1C1D1,它的六个面都是平行四边形, 每个面的边叫做平行六面体的棱。

例2 已知平行六面体 ABCD ? A' B'C' D',化简下 列向量表达式,并标出 化简结果的向量:

⑴AB ? BC; ⑵AB ? AD ? AA';

D’ A’

C’ B’

(3) AB ? CB ? AA?

(4) AC? ? D?B ? DC

D

C

A

B

例2、已知平行六面体ABCD ? A' B 'C ' D ',化简下

列向量表达式,并标出化简结果的向量:

⑴AB ? BC; (3) AB ? CB ? AA?

(4) AC? ? D?B ? DC

⑵AB ? AD ? AA';

D’

C’

解:⑴AB ? BC ? AC

A’

⑵AB ? AD ? AA'

B’

? AC ? AA'

 ? AC ? CC'

D

C

? AC'

A

B

始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量

为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

例3、在如图所示的平行六面体中,
求证: AC ? AB? ? AD? ? 2AC?. D’

变式:

A’

已知平行六面体 ABCD ? A?B?C?D?,

则下列四式中:

(1) AB ? CB ? AC;

D

(2) AC? ? AB ? B?C? ? CC?;
A
(3) AA? ? CC?;

(4) AB ? BB? ? BC ? C?C ? AC?.

其中正确的是



C’ B’
C B

例4、如图所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,
下列各式中运算的结果为向量 AC1 的共有( )
(1)( AB ? BC) ? CC1;(2)( AA1 ? A1D1) ? D1C1; (3)( AB ? BB1) ? B1C1; (4)( AA1 ? A1B1) ? B1C1.
A.1 B.2 C.3 D.4
变式:化简:(1)( AB ? CD) ? ( AC ? BD) (2) AB ? CB ? AD ? AD

小结

类比、数形结合

平面向量

空间向量

概念 定义 表示法 相等向量

具有大小和方向的量

加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则 运算

运 加法交换律 a ? b ? b ? a 算 加法结合律 律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)


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