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高考真题分类第39讲 数学归纳法【参考答案】

第 39 讲 数学归纳法 《参考答案》 【第 1 题】 【答案】 【解析】 (Ⅰ)用数学归纳法证明: xn ? 0 当 n ? 1 时, x1 ? 1 ? 0 假设 n ? k 时, xk ? 0 , 那么 n ? k ? 1 时,若 xk ?1 ≤ 0 ,则 矛盾, 故 xk ?1 ? 0 . 0 ? xk ? xk ?1 ? ln(1 ? xk ?1 ) ≤ 0 , 因此 xn ? 0 (n ? N ) * 所以 1 1 1 1 1 1 ? ≥ 2( ? ) ≥ ??? ≥ 2n ?1 ( ? ) ? 2n ?2 xn 2 x1 2 xn ?1 2 故 xn ≤ 1 n?2 2 1 1 ? 综上, n ?1 ≤ xn ≤ n ? 2 (n ? N ) . 2 2 【第 2 题】 【答案】 【解析】 (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (??, ??) , f ?( x) ? 1 ? e x . 所以 xn ? xn ?1 ? ln(1 ? xn ?1 ) ? xn ?1 因此 0 ? xn?1 ? xn (n ? N ) * 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递减. 故 f ( x) 的单调递增区间为 (??,0) , 单调递减区间为 (0, ??) . 当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 1 ? x ? e x . 1 1 1 1 ,得 1 ? ? e n ,即 (1 ? )n ? e . ① n n n b1 11 (Ⅱ) ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? 1 ? 2 ; a1 1 令x? (Ⅱ)由 xn ? xn ?1 ? ln(1 ? xn ?1 ) ? xn ?1 得 2 xn xn?1 ? 4 xn?1 ? 2 xn ? xn ?1 ? 2 xn ?1 ?( xn?1 ? 2) ln(1 ? xn?1 ) 记函数 f ( x) ? x ? 2 x ? ( x ? 2) ln(1 ? x) ( x ≥ 0) 2 b1b2 b1 b2 1 ? ? ? 2 ? 2(1 ? )2 ? (2 ? 1)2 ? 32 a1a2 a1 a2 2 ; b1b2 b3 b1b2 b3 1 ? ? ? 32 ? 3(1 ? )3 ? (3 ? 1)3 ? 43 . a1a2 a3 a1a2 a3 3 由此推测: 函数 f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,所以 b1b2 a1a2 bn ? (n ? 1) n . an ② f ( x) ≥ f (0) =0, 因此 2 xn ?1 ? 2 xn ?1 ? ( xn ?1 ? 2) ln(1 ? xn ?1 ) ? f ( xn ?1 ) ≥ 0 下面用数学归纳法证明②. (1)当 n ? 1 时,左边 ? 右边 ? 2 ,②成立. b b bk ? (k ? 1) k . ( 2) 假设当 n ? k 时, ②成立, 即 1 2 a1a2 ak 当 n ? k ? 1 时,bk ?1 ? (k ? 1)(1 ? 假设可得 b1b2 bk bk ?1 b1b2 ? a1a2 ak ak ?1 a1a2 bk bk ?1 ? ak ak ?1 1 k ?1 ) ak ?1 ,由归纳 k ?1 故 2 xn ?1 ? xn ≤ (Ⅲ)因为 xn xn ?1 (n ? N? ) 2 xn ? xn?1 ? ln(1 ? xn?1 ) ≤ xn?1 ? xn?1 ? 2 xn ?1 所以 xn ≥ 由 1 得 2n ?1 1 k ?1 ) ? (k ? 2)k ?1 . k ?1 所以当 n ? k ? 1 时,②也成立. 根据(1) (2) ,可知②对一切正整数 n 都成立. ? (k ? 1)k (k ? 1)(1 ? (Ⅲ)由 cn 的定义,②,算术-几何平均不等式,bn 的定义及①得 Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? cn ? 第 1 页,共 7 页 xn xn ?1 ≥ 2 xn ?1 ? xn 得 2 1 1 1 1 ? ≥ 2( ? ) ? 0 xn ?1 2 xn 2 (a1 )1 ? (a1a2 ) 2 ? (a1a2 a3 ) 3 ? 1 1 1 1 1 1 1 ?(a1a2 下面用数学归纳法证明等式 1 an ) n nf n?1 ( x) ? xf n ( x) ? sin( x ? n? ) 对所有的 n ? N* 都成 2 (b )1 (b b ) 2 (b b b ) 3 ? 1 ? 1 2 ? 1 2 3 ? 2 3 4 (b b bn ) n ? 1 2 n ?1 ? b1 b ?b b ?b ?b ? 1 2? 1 2 3? 1? 2 2 ? 3 3? 4 1 ? ] n(n ? 1) ? 1 ]? n(n ? 1) ? b1 ? b2 ? ? bn n(n ? 1) 立. (i)当 n=1 时,由上可知等式成立. (ii)假设当 n=k 时等式成立, 即 kf k ?1 ( x) ? xf k ( x) ? sin( x ? k? ) . 2 ? ? 因为 [kf ( x) ? xf ( x)] ? kf ( x) ? f ( x) ? xf ?( x) k ?1 k k ?1 k k 1 1 ? b1[ ? ? 1? 2 2 ? 3 ?b2 [ 1 1 ? ? 2 ? 3 3? 4 ?bn ? 1 n(n ? 1) ? (k ? 1) f k ( x) ? f k ?1 ( x), [sin( x ? k? )]? ? cos( x ? k? ) ? ( x ? k? )? 2 2 2 ? sin[ x ? (k ? 1)? ], 2 (k ? 1)? ]. 2 1 1 1 )

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