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河北省邯郸市一中2013届高三10月份月考数学理试题


河北省邯郸市一中 2013 届高三上学期 10 月份月考 数学(理)试题
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 2 1.已知集合 A ? {3, a } ,集合 B ? {0, b, 1 ? a} ,且 A ? B ? {1} ,则 A ? B ?
A. {0, 1, 3} 2.设 sin( B. {1, 2, 4} C. {0, 1, 2, 3} D. {0, 1, 2, 3, 4}

1 ? ? ) ? ,则 sin 2? ? 4 3 7 1 A. ? B. ? 9 9

?

C.

1 9

D.

7 9

3.已知等差数列 ?a n ? 满足 a 2 ? 3 , S n ? S n ?3 ? 51 (n ? 3) , S n ? 100 ,则 n 的值为 A. 8 4.设函数 f ( x ) ? ? A. B. 9 C. 10 D. 11

? 21? x , x ? 1 ?1 ? log 2 x, x ? 1
B.

则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是 C. [1, ??) D. [0, ??)

? ?1, 2?

? 0, 2?

5. 在等差数列 {an } 中 an A. 3

? 0, 且a1 ? a2 ? ? ? a10 ? 30, 则 a5 ? a6 的最大值等于
C.9 D. 36

B. 6

6. 设 f ?x? 是定义在正整数集上的函数,且 f ?x? 满足:“当 f ?k ? ? k 2 成立时,总可推出
f ?k ? 1? ? ?k ? 1?2 成立”,那么,下列命题总成立的是

A.若 f ?1? ? 1 成立,则 f ?10? ? 100 成立 B. 若 f ?3? ? 9 成立,则当 k ? 1 时,均有 f ?k ? ? k 2 成立 C.若 f ?2? ? 4 成立,则 f ?1? ? 1 成立 D.若 f ? 4 ? ? 16 成立,则当 k ? 4 时,均有 f ?k ? ? k 2 成立

7. 设等比数列 {an } 各项均为正数,且 a5 a6 ? a4 a7 ? 18 ,则 log 3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 a10 ? A. 12 B. 10 C. 8 D. 2 ? log 3 5

8.定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在 [0, 2] 上是增函数,则 A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

9. 将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标 10

伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 A. y ? sin(2 x ?

?
10

)

B. y ? sin(2 x ?

?
5

)

C. y ? sin( x ? 10.现有四个函数① y

1 2

?

10

)

D. y ? sin( x ?

1 2

?
20

)

? x ? sin x ② y ? x ? cos x ③ y ? x? | cos x | ④ y ? x ? 2 x 的部分图

象如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是
y

y

y
y

O

x

O

x

O

x
O x

A.①④②③

B. ①④③②

C. ④①②③

D. ③④②①

11. 已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? cos(? x ? A. [ , ]

?

1 5 1 3 B. [ , ] 2 4 2 4 | sin x | 12.方程 ? k (k ? 0) 有且仅有两个不同的实数解 ? , ? (? ? ? ) ,则以下有关两根关系的 x
结论正确的是 A. sin ? ? ? cos ? C. cos ? ? ? sin ? B. sin ? ? ?? cos? D. sin ? ? ?? sin ?

) 在 ( , ? ) 上单调递减.则 ? 的取值范围是 4 2 3 C. (0, ] D. (0, 2] 4

?

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.答案填在题中横线上.
13. 函数 f ( x) ?

tan x ? 1 ? 1 ? x 2 的定义域为________.

14.如图,由两条曲线 y ? ? x 2 ,4 y ? ? x 2 及直线 y ? ?1 所围成的图形的面积为

15. 已知函数 y ? cos??x ? ? ? (? ? 0, ? ? ?0,2? ?) 的部分图象
如右图所示,则 ? 的值为________.

16.已知正项数列 ? an ? 满足: a1 ? 1, Sn ?

1 1 (an ? ) ,其中 S n 为其前 n 项和,则 S n ? _______ 2 an

三、解答题:本大题共 6 题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. ? 17.(本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 4cos x ? sin( x ? ) ? 1 。 6
(1)求 f ( x) 的最小正周期: (2)求 f ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值。 , ? 6 4? ?

18. (本题满分 12 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般 情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当 桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

19. (本题满分 12 分)已知等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,公差 d ? 0, 且S 3 ? S 5 ? 50, (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)设 ?

a1 , a 4 , a13 成等比数列.

? bn ? ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . ? an ?

20.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知

cos ? 2 cos A C c2 a ? ? cos B b sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B ? , b ? 2, 求 ?ABC 的面积 S。 4
21. (本题满分 12 分)

设 f ( x) ?

x 1 , 且f ( x) ? x有唯一解, f ( x1 ) ? , xn ?1 ? f ( xn )( n ? N *) . a( x ? 2) 1003

(1)求实数 a; (2)求数列{xn}的通项公式;
2 2 a n ?1 ? a n 4 ? 4009 , bn ? (n ? N *) ,求证:b +b +…+b <n+1. (3)若 a n ? xn 2a n ?1 a n
1 2 n

22.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? xe , ( x ? R) . (1)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2)已知函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称; 证明:当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) (3)如果 x1 ? x2 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明 x1 ? x2 ? 2

?x

高三数学(理)10 月试卷答案
一、选择题:CACDC DBDCA CB

?? ? 二、填空题:15、 ? ,1? ?4 ?

16、

4 3

17.

7? 4

18.

n

三、解答题:
17.(本题满分 10 分)

解: (Ⅰ)因为

f ( x) ? 4 cos x sin(x ?

?
6

) ? 1 ? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x

? 2 sin(2 x ?

?
6

)

所以 f (x) 的最小正周期为 ?
?

?
6

(Ⅱ)因为

?x?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? . 3

于是,当
2x ?

2x ?

?
6

?

?
2

,即x ?

?
6 时, f (x) 取得最大值 2;

?
6



??

?

,即x ? ? 时, f ( x) 6 6 取得最小值—1.

?

18. (本题满分 12 分) 解:(1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b. 1 a=- , ? 3 ?200a+b=0, 再由已知得? 解得 ………………………………4 分 200 ?20a+b=60, ? b= . 3

? ? ?

故函数 v(x)的表达式为

?60, (0 ? x ? 20) ? ……………………………………………………6 分 v( x) ? ? 200 ? x , (20 ? x ? 200) ? 3 ?
(2)依题意并由(1)可得 ?60 x, (0 ? x ? 20) ? ………………………………………8 分 f ( x) ? ? x(200 ? x) , (20 ? x ? 200) ? 3 ? 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60× 20=1200;……9 分 1 1?x+?200-x??2 10000 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ 3 3? 2 ? = 3 . ……………10 分 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 .……………11 分 3

10000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3333. 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. ………12 分 19. (本题满分 12 分) (Ⅰ)依题意得 3? 2 4?5 ? d ? 5a1 ? d ? 50 ?3a1 ? 2 2 ? ?(a ? 3d ) 2 ? a (a ? 12 d ) 1 1 ? 1 解得 ?

?a1 ? 3 , ?d ? 2

? a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, a n ? 2n ? 1 . 即
(Ⅱ)

bn ? 3 n ?1 , bn ? a n ? 3n ?1 ? (2n ? 1) ? 3n?1 an

Tn ? 3 ? 5 ? 3 ? 7 ? 32 ? ? ? (2n ? 1) ? 3 n ?1 3Tn ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n

? 2Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 3n ?1 ? (2n ? 1)3n

3(1 ? 3 n ?1 ) ? (2n ? 1)3 n 1? 3 n ? ?2n ? 3 ? 3? 2?
∴ Tn ? n ? 3 n .

a b c ? ? ? k, 20.(本题满分 12 分)解: (1)由正弦定理,设 sin A sin B sin C 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? ? , ? . k sin B sin B cos B sin B 则 b 所以
即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B ,化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ).

又 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? 2sin A

sin C ? 2. 因此 sin A

sin C ?2 (2)由 sin A 得 c ? 2a.

1 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B及 cos B ? , b ? 2, 4 1 得4=a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? . 4 由余弦定理 解 得 a=1 因 此 c=2 又 因 为
1 cos B ? , 且G ? B ? ? . 4

sin B ?
所以 21.解: (1)由

15 1 1 15 15 S ? ac sin B ? ?1? 2 ? ? . . 2 2 4 4 4 因此

x 1 ? x, 得ax( x ? 2) ? x,? ax 2 ? (2a ? 1) x ? 0,当且仅当a ? 时, a( x ? 2) 2
1 2x .此时f ( x) ? . 2 x?2 2 xn 1 1 1 1 1 ? f ( x n )得 ? x n ?1 ,? ? ? .所以{ }是以 为 首 项 , xn ? 2 x n ?1 x n 2 xn x1

f ( x) ? x有唯一解x ? 0,? a ? ( 2)由x n ?1

2 x1 1 1 1 1 2005 公 差 为 的 等 差 数 .由f ( x1 ) ? 列 ,得 ? ,? ? , 2 1 0 0 3 x1 ? 2 1 0 0 3 x1 2 ? 1 1 1 n?2004 2 ? ? ( n ? 1) ? ? xn ? . x n x1 2 2 n?2004
2 a 2 ? an 2 n ? 2004 ,? a n ? ? 4 ? 4009 ? 2n ? 1,? bn ? n ?1 ? n ? 2004 2 2a n ?1 a n

(3) ? x n ?

(2n ? 1) 2 ? ( 2n ? 1) 2 4n 2 ? 1 2 1 1 ? 2 ?1? 2 ?1? ? , 2( 2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 4n ? 1 4n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 ?1? n ? ? n ? 1. 2n ? 1
22.(本题满分 12 分) 【解】 (Ⅰ)

f ? ? x ? ? ?1 ? x ? e? x f ?? x?, f ? x?

.令

f ? ? x ? ? ?1 ? x ? e? x ? 0

,则 x ? 1 .

当 x 变化时,

的变化情况如下表:

x
f ?? x?
f ? x?
所以

? ??,1?
?


1

?1, ?? ?
?


0
极大值

f ? x? f ? x?

在区间

? ??,1? 内是增函数,在区间 ?1, ?? ? 内是减函数.
f ?1?
.且

函数

在 x ? 1 处取得极大值

f ?1? ?

1 e.

(Ⅱ)因为函数 所以

y ? g ? x?

的图象与函数

y ? f ? x?

的图象关于直线 x ? 1 对称,

g ? x? ? f ?2 ? x?

,于是

g ? x ? ? ? 2 ? x ? e x?2





F ? x? ? f ? x? ? g ? x?

,则

F ? x ? ? xe? x ? ? x ? 2 ? e x ?2
2 x? 2



F ? ? x ? ? ? x ? 1? ? e 2 x ? 2 ? 1? e ? x



当 x ? 1 时, 2x ? 2 ? 0 ,从而 e 于是函数 因为

? 1 ? 0 ,又 e? x ? 0 ,所以 F ? ? x ? ? 0 ,

F ? x?

在区间

?1, ?? ? 上是增函数.
,所以,当 x ? 1 时,

F ?1? ? e?1 ? e?1 ? 0

F ? x ? ? F ?1? ? 0

.因此

f ? x? ? g ? x?



(Ⅲ)(1) 若 (2) 若

? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 0 ,由(Ⅰ)及 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,得 x1 ? x2 ,与 x1 ? x2 矛盾; ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 0 .不妨设 x1 ? 1, x2 ? 1 .
,所以

? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 0 ,由(Ⅰ)及 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,得 x1 ? x2 ,与 x1 ? x2 矛盾;
f ? x2 ? ? g ? x2 ? ? f ? 2 ? x2 ?
2 ? x2 ? 1
,又

根据(1),(2)可得 由(Ⅱ)可知 因为 所以

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? g ? x2 ? ? f ? 2 ? x2 ? f ? x?
在区间



x2 ? 1

,所以

x1 ? 1


,由(Ⅰ) ,

? ??,1? 内是增函数,

x1 ? 2 ? x2

,即

x1 ? x2 ? 2


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