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(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测): 专题6.2 等差数列及其求和(练)

专题 6.2 等差数列及其求和 【基础巩固】 一、填空题 1.(2017·南京模拟)在等差数列{an}中,已知 a1+a7=10,则 a3+a5=________. 【答案】10 【解析】∵{an}是等差数列, ∴a3+a5=a1+a7=10. 2.(2017·南通调研)已知数列{an}是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列{an}的公差 d= ________. 【答案】-3 3.中位数为 1 010 的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为________. 【答案】5 【解析】设该数列的首项为 a1,根据等差数列的性质可得 a1+2 015=2×1 010,从而 a1=5. 4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=30,则 S30=________. 【答案】60 【解析】∵S10,S20-S10,S30-S20 成等差数列, ∴2(S20-S10)=S10+S30-S20, ∴40=10+S30-30,∴S30=60. 5.(2017·徐州、宿迁、连云港模拟)在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则 3a9-a11 的值 为________. 【答案】48 【解析】由 a1+3a8+a15=5a8=120,得 a8=24,故 3a9-a11=3(a1+8d)-(a1+10d)=2a1+14d =2(a1+7d)=2a8=48. 6.设数列{an},{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,则 a37+b37=________. 【答案】100 【解析】设{an},{bn}的公差分别为 d1,d2,则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn) =d1+d2, ∴{an+bn}为等差数列,又 a1+b1=a2+b2=100, ∴{an+bn}为常数列,∴a37+b37=100. 7.(2017·泰安模拟)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=-11,a5+a9=-2,则当 Sn 取 最小值时,n=________. 【答案】7 【解析】设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由? ?a1=-13, ? ?d=2. ? ? ?a2=-11, ?a5+a9=-2, ? ? ?a1+d=-11, 得? ?2a1+12d=-2, ? 解得? ∴an=-15+2n. 15 由 an=-15+2n≤0,解得 n≤ .又 n 为正整数, 2 ∴当 Sn 取最小值时,n=7. 8.正项数列{an}满足 a1=1,a2=2,2an=an+1+an-1(n∈N ,n≥2),则 a7=________. 【答案】 19 2 2 2 * 二、解答题 9.等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=[an],求数列{bn}的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0, [2.6]=2. 解 (1)设数列{an}首项为 a1,公差为 d, ? ?2a1+5d=4, 由题意有? ?a1+5d=3. ? a1=1, ? ? 解得? 2 d= . ? ? 5 2n+3 . 5 所以{an}的通项公式为 an= (2)由(1)知,bn=? ?2n+3?. ? ? 5 ? 2n+3 当 n=1,2,3 时,1≤ <2,bn=1; 5 2n+3 当 n=4,5 时,2≤ <3,bn=2; 5 2n+3 当 n=6,7,8 时,3≤ <4,bn=3; 5 2n+3 当 n=9,10 时,4≤ <5,bn=4. 5 所以数列{bn}的前 10 项和为 1×3+2×2+3×3+4×2=24. 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λ Sn-1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ ; (2)是否存在 λ ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 【能力提升】 11.(2017·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有 一道这样的题目:把 100 个面包分给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和 1 的 是较小的两份之和,则最小的一份为________. 7 5 【答案】 3 【解析】依题意,设这 100 份面包所分成的五份由小到大依次为 a-2m,a-m,a,a+m,a +2m,则有 ? ?5a=100, ? ?a+?a+m?+?a+2m?=7?a-2m+a-m?, ? 11a a 5 解得 a=20,m= ,a-2m= = ,即 24 12 3 5 其中最小一份为 . 3 12.(2017·泰州模拟)已知正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S12=24,则 a6·a7 的最大值 为________. 【答案】4 【解析】在等差数列{an}中,∵S12=6(a6+a7)=24,∴a6+a7=4,令 x>0,y>0,由基本不等 式可得 x·y≤? ?x+y?2,当且仅当 x=y 时“=”成立.又 a >0,a >0,∴a ·a ≤?a6+a7?2=4, ? 6 7 6 7 ? 2 ? ? 2 ? ? ? 当且仅当 a6=a7=2 时,“=”成立.即 a6·a7 的最大值为 4. Sn 2n-3 a9 13. 设等差数列{an}, {bn}的前 n 项和分别为 Sn, Tn, 若对任意自然数 n 都有 = , 则 Tn 4n-3 b5+b7 + a3 b8+b4 的值为________. 19 【答案】 41 【解析】∵{an},{bn}为等差数列, ∴ ∵ a9 a3 a9 a3 a9+a3 a6 + = + = = . b5+b7 b8+b4 2b6 2b6 2b6 b6 S11 a1+a11 2a6 2×11-3 19 = = = = , T11 b

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