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高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数学案含解析新人教A版选


1.3.3 函数的最大(小)值与导数 函数的最大(小)值 下图为 y=f(x),x∈的图象. 问题 1:观察上函数 y=f(x)的图象,试找出它的极大值、极小值. 提示:f(x1),f(x3)为函数的极大值,f(x2),f(x4)为函数的极小值. 问题 2:结合图象判断,函数 y=f(x)在区间上是否存在最大值和最小值?若存在,分 别为多少? 提示:存在.f(x)min=f(a),f(x)max=f(x3). 问题 3:函数 y=f(x)在上的最大(小)值一定是其极值吗? 提示:不一定,也可能是区间端点的函数值. 问题 4:怎样确定函数 f(x)在上的最小值和最大值? 提示:比较极值与区间端点处的函数值,最大(小)的是最大(小)值. 1.函数 y=f(x)在区间上的最值 一般地,如果在区间上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值 与最小值. 2.函数最值的求法 求函数 y=f(x)在闭区间上的最值的步骤如下: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值. 极值与最值的区别与联系 (1)区别 ①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较; 函数的最值是函数在整个区间上函数 值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者. ②函数的极值可以有多个,但最大(小)值只能有一个,极值只能在区间内取得,最值可 以在区间端点处取得. 1 (2)联系 如果在区间(a,b)上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那 么该极值点就是最值点,这里区间(a,b)可以是无穷区间. 求函数的最值 求下列各函数的最值: (1)f(x)=-x +3x,x∈; 54 2 (2)f(x)=x - (x<0). 3 x (1)f′(x)=3-3x =3(1-x)(1+x). 令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 x f′(x) f(x) - 3 (- 3,- 1) - -1 0 极小值 (-1,1) + ? 1 0 极大值 (1,3) - ? 3 0 ? -18 所以 x=1 和 x=-1 是函数在上的两个极值点,且 f(1)=2,f(-1)=-2. 又因为 f(x)在区间端点处的取值为 f(- 3)=0,f(3)=-18, 所以 f(x)max=2,f(x)min=-18. 54 (2)f′(x)=2x+ 2 ,令 f′(x)=0,得 x=-3. x 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-3) - ? -3 0 极小值 (-3,0) + ? 所以当 x=-3 时,f(x)取得极小值,也就是最小值, 故 f(x)的最小值为 f(-3)=27,无最大值. 利用导数求函数最值的方法 (1)若函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线, 在区间(a, b)内只有一个导数值为 0 的点,且在这一点处取得极值,则该点一定是函数的最值点. (2)求一个函数在闭区间上的最值时,一般是找出该区间上导数值为 0 的点,无须判断 出是极大值点还是极小值点, 只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较, 其中 2 最大的就是函数的最大值,最小的就是函数的最小值. 1 2 求函数 f(x)=ln(1+x)- x 在区间

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