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山西省忻州市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文

忻州一中 2015?2016 学年度第一学期期末考试 高二数学(文科)试题
一.选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确.每小题 5 分,共 60 分) 1. 设集合 A ? ??1,0,1,2,3? , B ? {x | x ? 0或x ? 2} ,则 A ? B = A.

?3?

B.

?2,3?

C.

??1,3?

D.

?0,1, 2?

2. 已知圆锥底面半径为 4,高为 3,则该圆锥的表面积为 A. 16? B. 20? C. 24? D. 36?

x 3. 函数 f ( x) ? log2 x ? 的零点个数为 (1 2)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4. 执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 8 ,则输出 y 的值 为 A. ?

3 4

B.

1 2

C.

5 2

D. 3

x2 y2 6 5. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 a b 2
此双曲线的渐近线方程为 A. y ? ?2 x C. y ? ? B. y ? ? 2 x D. y ? ?

2 x 2

1 x 2

6. 设 ?,?,? 是三个不重合的平面, m, n 是两条不重合的直线,下列命题中正确的是 A. 若 ? ? ?,? ? ?, 则? ? ? C. 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ∥ ? 7. 下列命题中,真命题是 A. ?x0 ? R, e
x0

B. 若 m ∥ ? , n ∥ ? ,? ? ? ,则 m ? n D. 若 m ? ? , n ? ? , 则 m ∥ n

?0

B. ?x ? R,2 ? x
x

2

C. a ? 1, b ? 1是 ab ? 1 的必要不充分条件 → → →→ → → → → D. 设 a , b 为向量, 则“| a ? b |=| a |?| b |”是 a ∥ b 的充要条件

1

8. 已知向量 a ? (cos x ? sin x, 2 ) , b ? (cosx ? sin x,- 2( ) x ? R) ,则函数

f ( x) ? a ? b 是

A. 周期为 ? 的偶函数 C. 周期为

B. 周期为 ? 的奇函数

? ? 的偶函数 D. 周期为 的奇函数 2 2 2 x ? 4 ln x 的一条切线与直线 x ? y ? 1 ? 0 9. 已知曲线 y ? 4
垂直,则切点的横坐标为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4 3 正视图 4 侧视图

10. 某四面体的三视图如图所示,则该四面体的所有棱中最长的 是 A. 5 2 B. 41 C. 4 2 D. 5

11. 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? m ln x ? 2 x 在定义域内是增函数, 2

俯视图

则实数 m 的取值范围是 A. m ? 1 B. m ? 1 C. m ? 1 D. m ? 1 12. 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,准线方程为 x ? ?1 ,直线 l 与抛物线 C 相交于

A, B 两点.若线段 AB 的中点为 (2,1) ,则直线 l 的方程为
A. y ? 2 x ? 3 B. y ? 2 x ? 1 C. y ? x ? 3 D. y ? x ? 1

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 过 抛 物 线 y ? 8x 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 A( x1 , x2 )、B( x2 , y 2 ) 两 点 , 若
2

AB ? 16,则 x1 ? x2 ? _________.
14. 函数 f ( x) ? (1 ? ax )e (a ? 0) 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是
2 x

_______. 15. F1 , F2 是双曲线的两个焦点,B 是虚轴的一个端点,若△ F1BF2 是一个底角为 30 的
0

等腰三角形,则该双曲线的离心率是_________. 16. 将边长为 2 正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下四个判断: ① AC ? BD ② AB 与平面 BCD 所成 60?角 ③ ?ABC 是等边三角形
2

④若 A、B、C、D 四点在同一个球面上,则该球的表面积为 8? 其中正确判断的序号是_________. 三.解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解 答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, b ? 2 , cos C ? (1)求 a 的值; (2)求 sin A 值. 18. (本小题满分 12 分) 在等差数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,已知 a6 ? S 6 ? ?3 ;数列 {bn } 满足:

7 3 ,△ ABC 的面积为 . 4 4

bn?1 ? 2bn , b2 ? b4 ? 20 .
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ? 2 n ,求数列 {cn } 前 n 项和 Tn .
a

19. (本小题满分 12 分) 某地区有 100 名学员参加交通法规考试,考试成绩的频率分布直方图如图所示.其中 成绩分组区间是: 第 1 组: 第 2 组: 第 3 组: 第 4 组: [75,80) , [80,85) , [85,90) , [90,95) , 第 5 组: [95,100] .
频率 组距

0.07 0.06

a
0.02 0.01

O

75 80 85 90 95 100

分数

(1)求图中 a 的值,并估计此次考试成绩的中位数(结果保留一位小数) ; (2)在第 2、4 小组中用分层抽样的方法抽取 5 人,再从这 5 人中随机选取 2 人进行 面试,求至少有一人来自第 2 小组的概率. 20. (本小题满分 12 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ,当 x ? 1 时, f ( x) 取得的极值 ? 3

3

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若对于任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? 2m ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面三角形 ABC 是等边三角形,侧棱 AA1 ? 底面 ABC , D 为棱 AB 的中点 (1)求证: 平面A1CD ? 平面AA 1 B1 B (2)求证:BC1∥平面 A1CD (3)若 AB=1,AA1= 3 ,求三棱锥 D-A1B1C 的体积
C D A B C1 B1 A1
2

22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 离心率为

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 3x 的焦点重合, 2 a b

3 . 2 (1)求椭圆 C 的方程;
(2) 设过点 A (0,?2) 且斜率为 k (k ? 0) 直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 P、Q ,当线

段 PQ 的长度为

4· 2 时,求三角形 OPQ ( O 为坐标原点)的面积. 5

附加题(每小题 5 分,共 15 分)

23. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,若点 F2 关于一条渐近线的对 4 9

称点为 M ,则 | F1 M | =____________. 24. 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ?1, g ( x) ? kx ,若方程 f ( x) ? g ( x) 有两个不相等的实根, 则实数 k 的取值范围是____________. 25. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 2b ? 2c ,则 cos C 的最小值
4

为____________. 忻州一中 2015?2016 学年度第一学期期末考试 高二数学(文科)参考答案及评分标准 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5: CDABC 6-10: DDAAB 11-12:BA 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 12 14.

a ? 0或a ? 1

15.

6 2

16. ①③④

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)解:(1)∵ cos C ?

3 且0 ? C ? ? 4
∴a ?1
2

∴ sin C ?

7 4

???2 分

∵S ?

1 7 absin C ? 2 4
2 2

???5 分

(2) 由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cosC ? 2 ∴c ? 由正弦定理得:

2

???8 分 ???10 分

a c 14 ? 得 sin A ? sin A sin C 8 18. (12 分)解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d .

? a1 ? 5d ? ?3 ? a1 ? 2 解得 ? ?d ? ?1 ?6a1 ? 15d ? ?3 ∴ an ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? n ∵ bn?1 ? 2bn ∴数列 {bn } 是公比为 2 的等比数列 ∵ b2 ? b4 ? 2b1 ? 8b1 ? 20 得: b1 ? 2
则? ∴ bn ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n

???3 分

???6 分 ∵

c n ?1 1 ? cn 2 1 ∴数列 {cn } 是首项为 4,公比为 的等比数列 2 1 n ( 4 1( - 2 )) ∴ Tn ? ? 8(1 ? 2 ?n ) 1 1? 2
(2) c n ? 2
3? n

?

8 2n

???9 分 ???12 分

19. (12 分)解: (1)由(0.01+0.02+a+0.06+0.07)×5=1 得:a=0.04 ???3 分 设此次考试成绩中位数的估计值为 x:0.05+0.2+(x-85)×0.07=0.5 x≈88.6 ???6 分
5

(2)由频率分布直方图知:第 2、5 小组中的人数分别为 20,30 ∴从第 2、4 小组中抽取的人数分别为 2,3,分别设为 a,b 和 c,d,e???8 分 这 5 人 中 随 机 选 取 2 人 所 有 基 本 事 件 为 : (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d), (c,e),(d,e)共 10 个, ???10 分 其中至少有一个来自第 2 小组的基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e), (b,c),(b,d),(b,e) 共 7 个

7 10 / 2 20.(12 分) 解: (1)由 f ( x) ? 3ax ? 2bx , ? f ?(0) ? 0 当 x=1 时, f ( x) 的极值为 - 3 ,? ? , f ( 1 ) ? ? 3 ? ?a?6 解得: ? ? f ( x) ? 6 x 3 ? 9 x 2 ?b ? ?9 / f ( x) ? 18x 2 ? 18x ,
故至少有一人来自第 2 小组的概率 P ? 由 f?(x)>0 得 x<0 或 x>1,由 f?(x)<0 得 0<x<1 ∴函数 f ( x) 的单调递增区间是 ?? ?,0? 和 ?1,??? , 单调递减区间是 ?0,1?
2

???12 分 ???1 分

???4 分

???7 分
2

2 (2) f ( x) ? 2m ? m ? 0 对任意 x ? 0 恒成立,即 f ( x) ? m ? 2m 对任意 x ? 0 恒成立

成立,即 f min ( x) ? m ? 2m . 由(1)知当 x ? 1 , f min ( x) ? f (1) ? ?3

???9 分 ???10 分

3 ???12 分 2 21. (12 分)解: (1)∵三角形 ABC 是等边三角形且 D 为棱 AB 的中点,∴ CD ? AB

? ? 3 ? m ? 2m 2 ,即 2m 2 ? c ? 3 ? 0 ,? m ? ?1 或 m ?

又 平面ABC ? 平面AA 1 B1 B 且交线为 AB ∴ CD ? 平面AA 1 B1 B ,又 CD ? 平面A1CD ∴ 平面A1CD ? 平面AA 1 B1 B ???4 分

(2) 连接 AC1 ,设 AC1 ? A1C ? O ,连接 OD ,则 O 为 AC1 的中点, 在三角形 AC1 D 中, OD 是中位线,∴ OD ∥BC1 又 OD ? 平面A1CD , BC1 ? 平面 A1CD,
6

???6 分

由线面平行的判定定理知:BC1∥平面 A1CD (3) 由(1)知: CD ? 平面AA 1 B1 B 且 CD ?

???8 分

3 2

由 VD ? A1B1C ? VC ? A1B1D ?

1 1 1 3 1 S?A1B1D ? CD ? ? ? 1 ? 3 ? ? ???12 分 3 3 2 2 4
???2 分

22.(12 分) 22 解:(1) 抛物线 y 2 ? 4 3x 的焦点为 , ( 3,0)

?c ? 3 ? ? ?c 3 ? ? 2 ?a

解得 ?

?a ? 2 ?b ? 1
x2 ? y2 ? 1 4
???4 分

故所求椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1得 (2)设直线 l 的方程为: y ? kx ? 2 ,代入 4 2 2 ( 1 ? 4k ) x ? 16kx ? 12 ? 0 3 由 ? ? 16 (4k 2 ? 3) ? 0 得: k 2 ? 4
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ? 从而 | PQ |? 1 ? k | x1 ? x2 |?
2

16 k 12 , x1 x 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

???7 分

4 1 ? k 2 ? 4k 2 ? 3 4 2 ? 5 4k 2 ? 1

???9 分 ???10 分

两边平方,解得: k ? ?1 ,此时直线 l 的方程为: y ? ? x ? 2 原点 O 到直线 l 的距离为 d ? ∴三角形 OPQ 的面积 S ? 附加题: (每小题 5 分) 23. 4

2 2

? 2
???12 分

1 4 | PQ | ?d ? 2 5

1 ) 24.( ,

1 2

25.

6- 2 4

7


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